Divulgación Misterios integrales que no resuelvo.

[inakigarber]

Buenas noches. Me intriga la siguiente integral.

$$E_c=\int{\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$$

Es la integral de la energia cinética relativista y cuyo desarrollo se demuestra en este blog siguendo la integración por partes. Pensé que siguiendo el metodo de integración por sustitución llegaria al mismo punto, pero llego a una situación muy distinta.
1) Llamo $\frac{v^2}{c^2}=B, por tanto , dB=\frac{2vdv}{c^2}, \boxed{dv=\frac{c^2dB}{2v}}$
2) Sustituyo y saco las constantes $\frac{mc^2}{2}\int{\frac{dB}{\sqrt{1-B}}}$
3) Llamo $1-B=F$ , por lo que $dF=-dB$
4) Sustituyo por segunda vez y me queda; $\frac{-mc^2}{2}\int{\frac{dF}{\sqrt{F}}}$
5) Esta integral queda como $-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$
Definida entre los puntos v=v y v=0 me queda.
$\boxed{-mc^2\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}+mc^2}}$
que no me coincide con el resultado que sí obtengo siguiendo los pasos descritos en el blog y que ahora detallo.
$\boxed{E_c= \dst\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} - m_0c^2}$
Creo no haberme equivocado en los pasos que he seguido.
Me pregunto si no podra haber situaciónes en que el metodo de sustitución llege a conclusiones erroneas. Y si es asi me gustaria saber cuales son y porque. Supongo que sabiendolo dejare de hacer tantos borrones y quiza mi autoestima suba un poco

[arivasm]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

O falta un enlace, o falta la pregunta, o algo... ¿Por qué te intriga? ¿Qué es lo que no resuelves?

[inakigarber]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

Buenas noches, no sabia que estabas metido por aqui. Cuando escribo post que tienen cierta parrafada prefiero ir editandolos poco a poco porque alguna vez el Pc me ha dejado colgado. Ahora creo que esta mas claro que me intirga. Por cierto, he cometido un error al escribir en el Pc la formula final. La raiz no incluye al termino de la derecha.
Sería. $\boxed{-mc^2\sqrt{1+\frac{v^2}{c^2}}+mc^2}$

[javier m]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

Según wolfram tu integral está bien, lo que me parece que está mal es tu interpretación, ¿por qué dices que

$E_c=\int{\frac{mv \dd v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$?


http://www.wolframalpha.com/input/?i...c%29^2%29%29dv

[inakigarber]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

Según wolfram tu integral está bien, lo que me parece que está mal es tu interpretación, ¿por qué dices que

$E_c=\int{\frac{mv \dd v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$?


http://www.wolframalpha.com/input/?i...c%29^2%29%29dv

Lo puse así porque v es la variable. El resto son constantes. Como habras visto es la integral de la energia cinética relativista a partir del momento lineal relativista. Donde v es la única variable. En el post que enlacé cat in a box lo resovio en un primer paso por partes y despues haciendo un cambio de variable. Yo he pretendido hacerlo por cambio de variable. Tengo la sensación de que a veces una misma integral resuelta por distintos metodos da resultados incompatibles. Por tanto uno debe estar mal. ¿Cuando debo utilizar la integración por partes? ¿cuando el cambio de variable?. Gracias

[javier m]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

amigo inakigarber,el proceso de integración que haces es correcto, pero es que la energía cinética no está dada por esa expresión que pones al principio, mira que cat lo que pone es

$E_c=\dst\int_0^v v d\left(\dst\frac{m_0}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} v\right)$

ahí utiliza partes y llega a la expresión

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde la integral de la derecha la resuelve exactamente igual a como tu lo hiciste.

[inakigarber]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

amigo inakigarber,el proceso de integración que haces es correcto, pero es que la energía cinética no está dada por esa expresión que pones al principio, mira que cat lo que pone es

$E_c=\dst\int_0^v v d\left(\dst\frac{m_0}{\dst\sqrt{1-\dst\frac{v^2}{c^2}}} v\right)$

ahí utiliza partes y llega a la expresión

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde la integral de la derecha la resuelve exactamente igual a como tu lo hiciste.

Mi error ha consitido en confundir la derivada del momento con la derivada de la velocidad. Es evidente que no es lo mismo. En esto de la física y de la matematica estoy en plan autodidacta y voy aprendiendo a costa de meter la pata. Eso no me desanima. Dentro de dos años espero seguir metiendo la pata en otras meteduras de pata distintas.

[javier m]

Re: Misterios integrales que no resuelvo.

ok, suerte en tu honorable labor