2o ciclo derivada de la delta de Dirac

[reti]

En el siguiente trabajo sobre sobre la delta de Dirac (http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/20081/Capitulo6.pdf ) se puede encontrar en el teorema 6.14 la siguiente expresion:


$\delta\left( x \right)$=$1/2\pi{\int}^{+\infty}_{ -\infty}{e}^{ikx }\dd k$


por otro lado la derivada de esa misma delta de Dirac esta definida en ese mismo trabajo (colorario 6.3) como:


${\delta}^{`}\left( x \right)$=$ik/2\pi{\int}^{ +\infty}_{ -\infty}{e}^{ikx }\dd k$


Se me ha ocurrido unir ambas igualdades con lo que se tiene:


${\delta}^{`}\left( x \right)$= $ik \delta\left( x \right)$


Mi pregunta es la siguiente: "Si esta ultima expresion es cierta, ¿ que significado y que valor tiene el parametro "k" que aparece en la expresion?

[gdonoso94]

Re: derivada de la delta de Dirac

No funciona el enlace.

Saludos

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola,
Ojo, la delta de dirac es una distribución singular y aunque por comodidad se escriba usando la integral de esa exponencial (hay un teorema que demuestra que se puede), no pueden sacarse esas conclusiones. Para ver cómo es su derivada lo que debe hacer es tomarse una distribución regular (que sí puede escribirse en forma integral) y mirar cómo actúa, de ahí se puede deducir el comportamiento del operador derivada sobre la delta de Dirac, también. No sé si estás familiarizado con el concepto de distribución, por eso. Fíjate que además esa relación no cuadra dimensionalmente (la delta Dirac tiene unidades de inverso de su argumento).
Yo creo que nunca había visto que derivasen la integral, esa integral tiene límites infinitos y saber si se puede commutar la derivada con una integral cuyos límites no son finitos, si no recuerdo mal no es algo trivial.

Saludos!

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

No se que ha podido pasar, ayer ese enlace funcionaba. He vuelto a mirar y vuelto a encontrar la direccion del articulo al que hace referencia la pregunta:

http://tesis.uson.mx/digital/tesis/d.../Capitulo6.pdf

que es la misma que puse con anterioridad (no tengo idea de que es lo que ha pasado). Las formulas estan en el teorema 6.2 (pag 8) y en el colorario 6.3 del teorema 6.16 (pag 9).

Hola,
Ojo, la delta de dirac es una distribución singular y aunque por comodidad se escriba usando la integral de esa exponencial (hay un teorema que demuestra que se puede), no pueden sacarse esas conclusiones. Para ver cómo es su derivada lo que debe hacer es tomarse una distribución regular (que sí puede escribirse en forma integral) y mirar cómo actúa, de ahí se puede deducir el comportamiento del operador derivada sobre la delta de Dirac, también. No sé si estás familiarizado con el concepto de distribución, por eso. Fíjate que además esa relación no cuadra dimensionalmente (la delta Dirac tiene unidades de inverso de su argumento).
Yo creo que nunca había visto que derivasen la integral, esa integral tiene límites infinitos y saber si se puede commutar la derivada con una integral cuyos límites no son finitos, si no recuerdo mal no es algo trivial.

Saludos!

Gracias "arreldepi" por la respuesta.

Desconozco el tema de las distribuciones porque siempre fui muy reacio y nunca acabe de entender eso de la delta de Dirac. Lo que si que me parece es que la igualdad es dimensionalmente correcta:

= (1)

La derivacion del lado izquierdo equivale a dividir por "x" yaque se deriva por x. El "k" es claro que se trata del numero de ondas y su dimension es 1/x, con lo que la ecuacion parece dimensionalmente correcta.

Mi pregunta va mas por el lado de que en la expresion (1) aparece "k" como un parametro fantasma que no se sabe muy bien de donde sale y que en principio puede tener cualquier valor, mas que por el lado de su naturaleza que como digo es claro que se trata del numero de ondas.

¿Es correcta la expresion? ¿Se pueden extraer conclusiones puesta asi fuera de cualquier integral?

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola.

No puedes sacar la k de la integral. La expresión correcta es

$\delta'(x) = \int k e^{ikx} dk$

con los factores, y los límites adecuados

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola.

No puedes sacar la k de la integral. La expresión correcta es

$\delta'(x) =1/2\pi{\int}^{+\infty}_{ -\infty}{ike}^{ikx }\dd k<br /> <br />$

con los factores, y los límites adecuados

Es logico esto que dices, pero el documento parece muy seguro de lo que afirma. He intentado hacer esa integral por partes y me he metido en un lio tremendo :

$1/2\pi{e}^{ikx }\dd k = \dd u \to u = 1/2\pi{\int}^{+\infty}_{ -\infty}{e}^{ikx }\dd k = \delta(x)$

$ik = iv \to i \dd k = i \dd v$

Hasta ahora, la cosa bien, pero ...

$\delta'(x) = u i v - {\int}^{+\infty}_{ -\infty} u i\dd v = ik/2\pi{\int}^{ +\infty}_{ -\infty}{e}^{ikx }\dd k - {\int}^{+\infty}_{ -\infty} \delta(x) i\dd k =$

$= ik\delta(x)- \delta(x) i{\int}^{+\infty}_{ -\infty} \dd k = ik\delta(x)- \delta(x) i k{]}^{+\infty }_{ -\infty} = ik\delta(x)-0 = ik\delta(x)$


demasiado bonito para ser cierto. ¿no?

¿Entonces la expresion del trabajo no es valida y se debe a un error de escritura.?

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

Si integras por partes, cuando pones uv tienes que evaluar u y v en los límites de la integral. Por tanto no puedes poner "k", sino infinito. Obviamente, esto diverge, por lo que no puedes aplicar la integración por partes.

No me he visto el trabajo, pero obtener como resultado de una integral en k, que es algo que va de -infinito a infinito, una expresión en términos de la propia k (cuánto vale esa k?), me parece un error de bulto.

Saludos.

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

Si integras por partes, cuando pones uv tienes que evaluar u y v en los límites de la integral. Por tanto no puedes poner "k", sino infinito. Obviamente, esto diverge, por lo que no puedes aplicar la integración por partes.

No me he visto el trabajo, pero obtener como resultado de una integral en k, que es algo que va de -infinito a infinito, una expresión en términos de la propia k (cuánto vale esa k?), me parece un error de bulto.

Saludos.

Si. La deduccion es una caca, en eso estoy de acuerdo. Pero si tengo en cuenta tu observacion:

$\delta'(x) = ik\delta(x){]}^{+\infty }_{ -\infty}- \delta(x) i k{]}^{+\infty }_{ -\infty} = [ik\delta(x)- \delta(x) i k{]}^{+\infty }_{ -\infty} = [0 {]}^{+\infty }_{ -\infty} = 0$

La intencion de conocer como se expresa la derivada de la funcion "delta" de Dirac es averiguar la ecuacion diferencial de la que es solucion la funcion delta. La ecuacion diferencial encontrada ...


=

es muy evidente que no puede ser valida ya que esa ecuacion es nada menos que la ecuacion de Dirac (sin las matrices) para soluciones estacionarias. Y es que soy un pelin tonto por no darme cuenta que la unica ecuacion diferencial que verifica la delta es:


$\hat{x} \delta\left(x \right)= x\delta\left( x \right)$

que no es precisamente una ecuacion diferencial y que indica, o parece indicar, que su derivada $\frac{\mathrm{d} \delta\left( x \right)}{\mathrm{d}x }$es nula.

La $\delta'(x)$ es identicamente nula, ¿verdad?. Esa es la razon de que no haya manera de encontrar su expresion analitica por ningun lado, ¿no?.

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

La $\delta'(x)$ es identicamente nula, ¿verdad?. Esa es la razon de que no haya manera de encontrar su expresion analitica por ningun lado, ¿no?.

Es identicamente nula, salvo en el entorno de x=0, donde parte de cero, va a +infinito, luego a cero, luego a -infinito, y luego a cero otra vez.

Para ver eso, debes tener en cuenta que la función delta, y sus derivadas, son expresiones límite que nos inventamos los físicos (para horror de los matemáticos puristas), para representar funciones muy localizadas.

Si quieres hacerte una idea de la función delta y sus derivadas, aproxima la delta por una gaussiana de anchura pequeña.

$\delta(x) \simeq {1 \over a} \exp(-x^2/a^2)$, en el límite $a \to 0$ (de nuevo me como los factores $\sqrt{\pi}$).

entonces

$\delta'(x) \simeq {- 2x \over a^3} exp(-x^2/a^2)$.

Saludos

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

No es nada facil entender esto de las distribuciones, que es lo parece ser la delta de Dirac, y sus derivadas.

He encontrado este articulo muy interesante no solo porque habla de la distribucion si no porque aparece en la introduccion la bibliografia del que se considera el padre de las distribuciones el señor Laurent Schwartz y que creo merece la pena conocer:
[FONT=CMR12]
http://www.google.es/url?sa=t&rct=j&...44990110,d.d2k


Sigo sin entender esto de las distribuciones y el significado fisico que se le puede dar a decir que "el electron esta en un estado descrito por la distribucion delta", suponiendo que se le pueda dar algun significado fisico.

Con respecto a la derivada de una distribucion y en particular de la distribucion delta,$\delta(x)$ , he encontrado este articulo de la Wikipedia en ingles (aqui), donde se puede ver la siguiente expresione:

$\delta^{ \left( k\right)}\left[ \varphi\right]= {(-1)}^{k}{\varphi}^{(k)}(0)$

afirmando que la distribucion delta es infinitamente derivable como distribucion. Luego despues de una operacion al limite un tanto sospechosa afirma:

$x \delta'(x) = -\delta(x)$


Expresion que no puede ser cierta desde el punto de vista de las funciones,porque una simple integracion directa de la expresion como una ecuaqcion diferencial te daria para la funcion delta la expresion $\delta(x)= \frac{a}{x }$ cosa que evidentemente no es cierta.

La distribucion de Dirac, como distribucion que es, me resulta dificil darle algun significado fisico y menos si se dice de ella eso de que es un posible estado fisico del una particula. Asi la expresion que aparece en cualquier libro de fisica cuantica:

$\hat{x}\delta(x) = x\delta(x)$

para definir el operador de posicion , sus autovalores y sus autofunciones no parece tener el significado fisico que se le da, lo mismo que no lo tien esa expresion diferencial.

Si quieres hacerte una idea de la función delta y sus derivadas, aproxima la delta por una gaussiana de anchura pequeña.

, en el límite (de nuevo me como los factores ).

entonces

.

No se si tiene sentido ese paso al limite de la sucesion de derivadas. Posiblemente si, aunque habria que verlo con detalle.

[/FONT]

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola, va un rollo largo:

El problema está en que la delta de Dirac es una distribución no regular. Una distribución, es algo que "come" funciones y devuelve un numerito real. Con lo cual, toma elementos de un espacio funcional y lo transforma en un elemento del cuerpo de los reales (o complejos).

Una distribución regular $T_f$ se puede escribir como

$$T_f\phi(x)=\langle f(x),\phi(x)\rangle = \int\limits_{-\infty}^\infty \dd x f(x)\phi(x),$$

donde $\phi(x)$ es una función infinitamente diferenciable y de dominio compacto. (A partir de ahora no escribiré la T y pondre siempre el <,>)

Lo que sucede entonces es que aparece la delta de Dirac. La delta de dirac es una distribución: yes. Pero no es una distribución regular (se puede demostrar), con lo cual no puede escribirse en forma integral. Fíjate que esta expresión

$$\langle \delta_a,\phi(x) \rangle = \int\limits_{-\infty}^\infty \dd x \delta(x-a)\phi(x) = \phi(a),$$

si la entendemos como entenderíamos una integral del tipo $\int_2^5 x^2\dd x$ no tiene sentido, ya que la """"función"""" delta sólo es diferente de cero en un punto, con lo cual, estaríamos integrando una función cuya medida en la recta real es nula y esa integral debería ser por definición cero.

Pero qué pasa? Que bueno, usar la delta de dirac dentro del signo integral facilita mucho la vida, y tampoco es "tan grave" si uno es consciente de que realmente lo que está haciendo no es lo que está escribiendo. Así que formalmente, metemos la delta dentro de las integrales y obtenemos resultados correctos sin ningún problema. Y ya puestos decimos, si la ponemos dentro de una integral, parece que sea una función cualquiera, no? Pues vamos a darle propiedades xD. Como uno ve que, por ejemplo:

$$\int\dd x\delta(x)x\phi(x) = 0,$$

pues decimos que una de las propiedades de la delta es $x\delta(x) = 0$, pero esto sólo tiene sentido cuando va multiplicado por una función $\phi(x)$ y se integra.

Lo que deberíamos escribir en realidad es:

$$\langle \delta _0, x\phi(x)\rangle = 0,$$

pero como nos gusta mucho usar integrales y, siendo conscientes del pequeño detalle de antes, podemos seguir usando integrales, pues lo metemos dentro de una integral y sacamos las propiedades famosas de la delta de dirac.

Por ejemplo, la de la derivada. Un resultado del cálculo funcional es que dada una distribución (cualquiera!!) $f(x)$, se satisface que:

$$\langle f'(x),\phi(x)\rangle = -\langle f(x), g'(x)\rangle$$

esto lo puedes demostrar para una distribución regular (!!) escribiendo la integral de (1) e integrando por partes (ten en cuenta que $\phi$ se anula en el infinito, o mucho antes). Entonces, como el resultado es bueno para una regular, nos olvidamos de que lo hemos encontrado usando la integral, y lo aplicamos a TODAS las distribuciones, regulares y no regulares.

Vamos a comprobar la que a ti te molesta para una distribución regular y luego miraremos qué hacer con la delta de Dirac (parto de que ya sabemos que (5) es verdad, compruébalo si quieres, es una línea):

$$\begin{aligned}<br /> \langle f'(x),x\phi(x)\rangle & = \int\dd x f'(x) x\phi(x) \\<br /> & =-\int\dd x f(x)[x\phi(x)]' \\<br /> & =-\int \dd x f(x)\phi(x) + xf(x)\phi'(x) \\<br /> & = -\langle f(x), \phi(x) \rangle - \langle f(x),x\phi'(x)\rangle <br /> <br /> \end{aligned}$$

Para el caso de la delta de Dirac, es decir, cuando $f(x) = \delta(x)$ , sabemos de (4) que el segundo término de la última igualdad es cero. Así que nos quedaría lo siguiente:

$$\langle\delta'(x),x\phi(x)\rangle = -\langle\delta(x),\phi(x)\rangle = -\phi'(0)$$

En notación formal de Dirac:

$$\int\dd x\delta'(x)x\phi(x) = -\int \dd x \delta(x)\phi(x) = -\phi(0),$$

con lo cual, podemos escribir la propiedad (recordando que sólo tiene sentido multiplicada por una función $\phi(x)$ e integrada):

$$x\delta'(x) = -\delta(x) .$$

Espero haber aclarado algo
Pregunta si alguna cosa no está clara!
Saludos!

PD: En realidad, cuando lo pongo entre <,> no debería escribir $\delta(x)$, si no que dentro de ellos debería poner $\delta_0$ o $\delta_a$, ya que NO es una función.

[pod]

Re: derivada de la delta de Dirac

Para más info introductoria a las distribuciones (aunque no a la derivada de distribuciones) podéis mirar el hilo Delta de Dirac.

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

Gracias, arreldepi.

Una duda: para aplicar (5), estás reduciendote a un espacio de funciones que se anulen en el infinito, no?
Estamos hablando del espacio de Hilbert de funciones normalizables?

Saludos

[pod]

Re: derivada de la delta de Dirac

Gracias, arreldepi.

Una duda: para aplicar (5), estás reduciendote a un espacio de funciones que se anulen en el infinito, no?
Estamos hablando del espacio de Hilbert de funciones normalizables?

Saludos

Las distribuciones normales se definen sobre el espacio de funciones test (en definitiva, las distribuciones son el espacio dual al espacio de funciones test, por eso hay una relación tan estrecha entre ambos), que son infinitamente derivables y de soporte compacto (es decir, existe un intervalo cerrado [a, b] fuera del cual son estrictamente cero).

Después, se pueden relajar estas condiciones, pero entonces hablamos de "distribuciones temperadas". Puedes ver la definición exacta de estas distribuciones temperadas en la wikipedia, las funciones test sobre las que se definen tiene unas condiciones un poco más fuertes que las funciones de cuadrado integrable.

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

, que son infinitamente derivables y de soporte compacto (es decir, existe un intervalo cerrado [a, b] fuera del cual son estrictamente cero).

Hola. ¿No es esto imposible? Si las funciones son infinitamente derivables, y son cero fuera de un intervalo, ¿no podría hacer una prolongación analítica, y concluir que también son cero dentro del intervalo?