Punto en una superficie

[quasarilla]

Hola,

Me he encontrado con este ejercicio y no se realmente que tengo que hacer ni como plantearlo. Creo que se trata de hallar maximos y minimos en una funcion pero no se si podria usar Lagrange ni como usar el punto que me dan. ¿Podrian orientarme un poco?

Ejercicio: Determina que punto de la superficie z + x^2 + y^2 =2 esta más cerca del punto (14,0,1).

Gracias de antemano

[Dramey]

Re: Punto en una superficie

Calculas la distancia de todos los puntos de tu superficie al punto.
Después derivas, e igualas a cero y con eso ya tienes el mínimo de distancia.

[pod]

Re: Punto en una superficie

Es un problema de multiplicadores de Lagrange. La distancia (al cuadrado) entre un punto cualquiera y el dado será $(x-14)^2 + y^2 + (z-1)^2$. Por lo tanto, la función de Lagrange a optimizar es:

$$f_L = (x-14)^2 + y^2 + (z-1)^2 - \lambda \Big( z + x^2 + y^2 -2 \Big)\ .$$

[carroza]

Re: Punto en una superficie

Hola,

Ejercicio: Determina que punto de la superficie z + x^2 + y^2 =2 esta más cerca del punto (14,0,1).

Hola. Se puede hacer como dice Pod, pero tambien se puede hacer de forma más bonita:

a) Tu superficie es un paraboloide de revolución en torno al eje z, y tu punto (14,0,1) esta en el plano (x,z). Por tanto, el punto mas cercano esta en el plano (x,z) tambien. Por tanto, y=0. El problema entonces te queda:

Ejercicio: Determina que punto de la curva z + x^2 =2 esta más cerca del punto (14,1).

b) Para cada punto de la curva z=2-x^2 puedes calcular la recta perpendicular.

Su pendiente será m=-1/(dz/dx) = 1/2x; Calcula el valor de x que hace que que la recta

z'-(2-x^2) = m (x'-x) pase por el punto z'=1, x'=14, y tienes tu solución.

[Dramey]

Re: Punto en una superficie

¿Y no se puede hacer como he dicho? Mucho me temo que voy a tener que repasar los apuntes de cálculo

[pod]

Re: Punto en una superficie

¿Y no se puede hacer como he dicho? Mucho me temo que voy a tener que repasar los apuntes de cálculo

Sí, pero las derivadas serían más complicadas.

[quasarilla]

Re: Punto en una superficie

He resuelto el ejercicio:

$( x - 14 )^2 + y^2 + ( z - 1 )^2 - L ( Z + X^2 + Y^2 - 2 ) = \frac{\ dL} {dF}$

$\frac{\ dL} {dx} = 2x - 28 - 2xL$

$\frac{\ dL} {dy} = 2y - 2yL$

$\frac{\ dL} {dy} = - ( z +x^2 + y^2 - 2 )$

Se iguala a cero y se obtiene P (2,0,-2)

Gracias a tod@s

[pod]

Re: Punto en una superficie

Tienes que mejorar la notación: llama a la función de una forma, no la llames como una derivada