1r ciclo Sumas superiores e inferiores.

[Mossy]

Hola,

tengo dudas con un ejercicio de integración. Dice así:

Hallar las sumas inferiores y superiores de la función de Dirichlet

$f: x\in[a, b]\longrightarrow f(x)= \left\{\begin{array}{cl}<br /> 1 & \text{si}\ x\in\mathbb{Q} \\<br /> 0 & \text{si}\ x\in\mathbb{I}<br /> \end{array} \right.\\$

relativas a cualquier partición $P$ de $[a, b]$

No sé muy bien cómo proceder. ¿Habría que tomar una partición compuesta de racionales y otra de irracionales? ¿Se toma la misma? Es que al ser totalmente discontinua se me hace un poco difícil pensar cómo serían los rectángulos y eso.

[Weip]

Re: Sumas superiores e inferiores.

Esta es una imagen de mis apuntes de Cálculo Integral de tu función en el intervalo $[0,1]$:

Si te fijas, el ínfimo es y el supremo es $1$, por lo que las sumas inferiores son y las superiores, $1$. Supongo que lo sabes, pero esta es una función típica que se suele poner de ejemplo de función que no es integrable Riemann.

Espero que te haya servido como orientación, ahora te toca escribirlo todo formalmente.

[Mossy]

Re: Sumas superiores e inferiores.

Si te fijas, el ínfimo es y el supremo es $1$, por lo que las sumas inferiores son y las superiores, $1$.

Cierto cierto, fallo tonto. No caía en ese detalle, me despistaba un poco lo de los racionales e irracionales.

Creo que ya lo tengo. ¡Gracias!

[Weip]

Re: Sumas superiores e inferiores.

Una cosilla que igual no ha quedado del todo clara en mi mensaje, recuerda que el ínfimo y el supremo los has de multiplicar por la longitud del intervalo y hacer la suma correspondiente para obtener las sumas inferiores y superiores respectivamente. Lo digo por si acaso porque en el dibujo sólo aparece la función en el intervalo $[0,1]$, que tiene longitud $1$.

[Mossy]

Re: Sumas superiores e inferiores.

Sí, ya me había dado cuenta que eso era para el caso $[0,1]$. Para un intervalo general $[a,b]$, me sale $U(f;P) = b-a$ y $L(f;P)=0$, puesto que $M_k = 1$ $\forall k= 1,...,n$ y $m_k =0$ $\forall k=1,...,n$