1r ciclo Teorema Fundamental del Cálculo

[Jorge 2014]

Mi problema es que no sé cómo se aplica el th. fundamental del cálculo cuando en la parte de abajo de la integral hay algo diferente a un número real o a x. En este caso, por ejemplo, ¿cómo sería? Yo lo he intentado, pero...

$G(x) = {\int}^{{x}^{3}}_{{x}^{2}} cos(t) dt \to G'(x) = (cos({x}^{3}) - cos({x}^{2})) \cdot (3{x}^{2} - 2x)$

[pilimafiqui]

Re: Th. Fundamental del cálcula

G'(x) es el resultado de la integral del cos (t) entre los dos valores y después tienes que operar.

[Jorge 2014]

Re: Th. Fundamental del cálcula

¿Significa eso que está bien pero me falta realizar la multiplicación?

[Weip]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Mi problema es que no sé cómo se aplica el th. fundamental del cálculo cuando en la parte de abajo de la integral hay algo diferente a un número real o a x. En este caso, por ejemplo, ¿cómo sería? Yo lo he intentado, pero...

$G(x) = {\int}^{{x}^{3}}_{{x}^{2}} cos(t) dt \to G'(x) = (cos({x}^{3}) - cos({x}^{2})) \cdot (3{x}^{2} - 2x)$

No es correcto, ahora te explico. Para lo que quieres calcular hay una formula que es consecuencia directa del teorema fundamental del cálculo (supongo que te han hablado de ella en clase; si no dímelo y lo razonamos de otra forma):

$\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dst {\int}^{b(x)}_{a(x)} f(t) dt = b'(x) f(b(x)) - a'(x) f(a(x))$

Aplicando esta fórmula a tu problema tenemos que:

$G'(x)=\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d x} } \dst {\int}^{{x}^{3}}_{{x}^{2}} \cos(t) dt = 3x^2 \cos(x^3) - 2x \cos(x^2)$

Aquí solo he sustituido y he calculado dos derivadas elementales. Yo creo que te has liado con los paréntesis y por eso no te ha salido bien.

Espero haberte ayudado.

G'(x) es el resultado de la integral del cos (t) entre los dos valores y después tienes que operar.

$G'$ es el resultado de derivar una integral mediante el teorema fundamental del cálculo. También se podría integrar y luego derivar, no sé si es eso a lo que te referías.

[Jorge 2014]

Re: Th. Fundamental del cálcula

$\dst \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \dst {\int}^{b(x)}_{a(x)} f(t) dt = b'(x) f(b(x)) - a'(x) f(a(x))$

Es la primera vez en mi vida que veo esa fórmula

[Umbopa]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Es sencilla de demostrar, llamamos

$F(x) = \int f(x) dx$

entonces

$\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(x) dx = \frac{d}{dx} (F(b(x))-F(a(x))) = b'(x) f(b(x)) - a'(x) f(a(x))$

[Weip]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Es la primera vez en mi vida que veo esa fórmula

Entonces integra usando la regla de Barrow y luego deriva. Aunque entonces no estarás usando el teorema fundamental del cálculo estrictamente. De todas formas lee atentamente la demostración de Umbopa. Sé que es una expresión un poco difícil de leer, pero así podrás interiorizar mejor el teorema fundamental del cálculo. Además aprenderás a entender expresiones complicadas con una sola lectura.

[beliytxuri]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Piensa que $\int_{a}^{b(x)} f(x) dx$ no es otra cosa que la composición de la función $b(x)$ y la función $F(x) = \int_{a}^{x} f(x) dx$.
Como sabemos derivar ambas, no hay más que aplicar la regla de la cadena.

[Jorge 2014]

Re: Th. Fundamental del cálculo

Vale; a ver si lo he pillado.

Definimos $F(x) = \int f(x) \cdot dx$

Si tenemos $\frac{d}{ dx} ({\int}_{a(x)}^{b(x)} f(t) \cdot dt) = \frac{d}{dx} (F(b(x)) - F (a(x))) = D[F(b(x))] \cdot b'(x)$ $- D[F(a(x))] \cdot a'(x)$, y la derivada de $F'(X) = fx$*.

Por lo tanto: $\frac{d}{ dx} ({\int}_{a(x)}^{b(x)} f(t) \cdot dt) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$.

Para realizar el paso marcado con "*" se ha utilizado la regla de la cadena teniendo en cuenta que $b(x)$ es la función compuesta de $F(x)$ (lo mismo para $a(x)$).

[alexpglez]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Si, es eso mismo. Como hay una función en el límite inferior, también hay que tenerla en cuenta para calcularlo, y luego para calcular la derivada, directamente no se puede hacer por el teorema fundamental del cálculo, pero aplicando la regla de derivación de funciones compuestas si, dandote ese resultado.

$$\frac{\dd F(b(x))}{\dd x}=\frac{\dd b(x)}{\dd x}\frac{\dd F(b(x))}{\dd b(x)}=b'(x)f(b(x))$$

[Weip]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Si lo de los límites superior e inferior cuesta, siempre se puede poner la integral de la siguiente forma:

$\dst \int_{a(x)}^{b(x)} f(x)dx=\dst\int_{a(x)}^c f(x)dx + \dst \int_{c}^{b(x)} f(x)dx=\dst \int_{c}^{b(x)} f(x)dx - \dst\int_{c}^{a(x)} f(x)dx$

Con $c \in \mathbb{R}$. Por cierto, sé que nos entendemos, pero mejor que pongas límites a:

Definimos $F(x) = \int f(x) \cdot dx$

Más que nada porque tu profesor no sabrá qué quieres decir.

[beliytxuri]

Re: Th. Fundamental del cálcula

Y ya, para ser estrictos estrictos, tampoco es conveniente utilizar la misma variable en los límites de integración y en el integrando:

$\dst \int_{a(x)}^{b(x)} f(x)dx=\dst\int_{a(x)}^c f(x)dx + \dst \int_{c}^{b(x)} f(x)dx=\dst \int_{c}^{b(x)} f(x)dx - \dst\int_{c}^{a(x)} f(x)dx$

no es del todo correcto y puede llevar a confusión.

La mejor notación es:

$\dst \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt=\dst\int_{a(x)}^c f(t)dt + \dst \int_{c}^{b(x)} f(t)dt=\dst \int_{c}^{b(x)} f(t)dt - \dst\int_{c}^{a(x)} f(t)dt$

Aunque, a veces, todos (y yo el primero, lo he hecho en este mismo hilo, sin ir más lejos) cometemos abusos de notación, si se pueden evitar, mejor.
Salud.

[Weip]

Re: Th. Fundamental del cálcula

no es del todo correcto y puede llevar a confusión.

Correcto es. Otra cosa es que no cueste nada "generalizarlo" poniendo una $t$ en vez de una $x$.