Secundaria Duda con derivada

[Sealfe]

Buenas, no sé de donde sale ese -1. He hecho el ejercicio, lo he comprobado y lo tengo igual hasta ese punto a excepción del -1. Seguramente será una tontería, pero no lo consigo ver.

Un saludo y gracias de antemano

[Weip]

Re: Duda con derivada

Si aplicas la regla de la cadena, $D_x ((1-x)^3)=3(1-x)^2 D_x (1-x)$ y $D_x(1-x)=-1$. Al final te queda $3(1-x)^2 (-1)=-3(1-x)^2$.

[Sealfe]

Re: Duda con derivada

Buenas.
Gracias por la respuesta, ya vi qué estaba haciendo mal.
Una duda más

Cuando empecé con derivadas había algún ejercicio en el que te daban una derivada y tenías que decir cual era la función de la que provenía. Eran derivadas muy fáciles del tipo f'(x)=4
El caso es que con derivadas algo más complejas ya no puedo resolverlo (tampoco me lo piden). ¿Me lo explicarán más adelante o se supone que debería saberlo?

Un saludo!

PS: Ignora la imagen, la he adjuntado sin querer y no sé eliminarla

[angel relativamente]

Re: Duda con derivada

Cuando empecé con derivadas había algún ejercicio en el que te daban una derivada y tenías que decir cual era la función de la que provenía. Eran derivadas muy fáciles del tipo f'(x)=4
El caso es que con derivadas algo más complejas ya no puedo resolverlo (tampoco me lo piden). ¿Me lo explicarán más adelante o se supone que debería saberlo?

Al proceso de encontrar la primitiva de una función se le llama integración, y obviamente te lo explicarán más adelante. Hay diversos métodos de integración y seguro que cuando te lo expliquen sabrás resolverlo. Si ahora te piden hallar primitivas de funciones sencillitas, eso es lo que se llaman integrales inmediatas. Aquellas que a ojo puedes "derivar a la inversa". Supongo que si te ponen ese tipo de ejercicios es para que cuando veas integrales sea más sencillo.

PS: Ignora la imagen, la he adjuntado sin querer y no sé eliminarla

Dale a editar mensaje, ponte en modo avanzado y abajo te saldrá gestionar archivos adjuntos.

Saludos

[alexpglez]

Re: Duda con derivada

Sobre las integrales inmediatas, supongo que serán ejercicios para adelantarlo si es que todavía no lo has visto. Tiene una utilidad bastante útil, sabes que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Si sabes la velocidad y supones que viene de una derivada e intentas hallar esa función primitiva, estás obteniendo la función posición. Vamos a poner el ejemplo que has puesto:

$$v=x' =4 \; (m/s)$$

La velocidad, la derivada de la posición, es de 4 m/s . Eso significa que:

$$x =4t$$

Puesto que derivando da 4, pero también como la derivada de una constante es 0, $D_x C=0$ puedes añadir una constante arbitraria en el resultado anterior, sin que eso modifique que $v=4 \; m/s$

$$x =4t + C$$

Y qué significa C, pues si por ejemplo decimos que en $t=0$ está en la posición $x=3 \; m$. Sustituimos en el resultado anterior y nos da que $C=3 \; m$, y por lo tanto la función de posición quedaría:

$$x =3+4t$$

¿A qué es bastante útil? Esto como introducción, cuando veas integración lo entenderás mucho mejor.

En un partido de tenis un jugador a 2m de la red golpea la pelota con una velocidad de 108km/h a una altura de 2m con un ángulo de 5° por encima de la horizontal. La red tiene 90cm de altura, ¿pasa la pelota la red? Justificá resolviendo el problema
me lo pueden resolver por favorrr

Lo siento, pero no está bien ubicada la pregunta, ya que no tiene ninguna relación con la derivada. Puedes abrir otro hilo en Mecánica Newtoniana http://forum.lawebdefisica.com/forum...ica-newtoniana además de que primero debes decirnos que has intentado. Así que abre el hilo, y te ayudaremos, te doy una pequeña pista, descompón la velocidad en sus componentes $v_x$ y $v_y$ y prueba a escribir las ecuaciones de movimiento.

PD: Cuidado aplicando la regla de la cadena, no hay que olvidarse nada.

[Sealfe]

Re: Duda con derivada

Perfecto, gracias!

Alexgplez. Pues sí, parece útil. De momento solo he visto derivada de manera "matemática", sin saber alguna aplicación que tiene para física.
Lo que supongo que es imposible saber si te dan solo la derivada es saber la constante.
Simple curiosidad, ya llegaré, pero es que me parece imposible si no te dan algún dato más

[angel relativamente]

Re: Duda con derivada

De momento solo he visto derivada de manera "matemática", sin saber alguna aplicación que tiene para física.

Te habrán definido la derivada de $f(x)$ "matemática" como la función que en cada punto te da la pendiente de la recta tangente a dicho punto de $f(x)$. Básicamente puedes entender la derivada como la función que te da las pendientes. Si la función es, por ejemplo, $x(t)$, donde x es la posición y t es el tiempo, la pendiente de dicha función en cada punto (cómo varía en cada instante la posición) se le llama velocidad. Y por eso la derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad en física.

Lo que supongo que es imposible saber si te dan solo la derivada es saber la constante.
Simple curiosidad, ya llegaré, pero es que me parece imposible si no te dan algún dato más

No solo es que sea imposible, es que no tiene sentido buscarla. La primitiva de una función no es única. Se dice que para cada función hay una familia de primitivas, y que todas ellas difieren entre sí de una constante. Por eso se representa con un +C, lo que quiere decir: para cada valor de C real, esta función será una primitiva. Luego solo si te dan un intervalo de definición para la integral podrás determinar de entre todas las primitivas posibles, la que toca en tu caso (esto es, encontrar la C concreta).

Saludos,

[Sealfe]

Re: Duda con derivada

Hmmm.
Entonces, para cada f(x) hay una única f'(x). Pero para cada f'(x) hay infinitas f(x) ya que no se puede conocer la constante?

Sobre lo de definición de derivada, ya me hacía una idea que iba por ahí. Sabía que sirve para obtener pendientes, pero no en qué conceptos físicos se usa. Entender eso ya fue un paso, ya que aunque lo entendía de manera matemática no veía muchas aplicaciones.

Estoy haciendo más ejercicios de la regla de cadena y, aunque logro resolverlos, no entiendo qué pasos hay que seguir para simplificar el resultado.

El 19 lo entiendo, pero tardaría bastante en realizar el último paso. Se sigue algún patrón para la simplificación?
Un saludo y gracias!

Edito: No hace falta que me expliquéis cada ejercicio. Si cada uno es diferente ya intentaré buscarme la vida, no quiero molestar

[Weip]

Re: Duda con derivada

Entonces, para cada f(x) hay una única f'(x). Pero para cada f'(x) hay infinitas f(x) ya que no se puede conocer la constante?

Sí. Recuerda que la derivada se define como un límite y el límite de una función, si existe, es único. A lo segundo que dices se le llama integración indefinida. Las hay de otros tipos (definidas) en las que no aparecen constantes y que son más habituales en física. Pero ten presente que no todas las funciones se pueden derivar o integrar. Incluso existen funciones que se pueden integrar pero que no se conoce en términos de funciones elementales como logaritmos, senos, cosenos, polinomios... Un ejemplo de esto último es la función $e^{-x^2}$. ¿Qué función si la derivas te da $e^{-x^2}$? A pesar de ser tan sencilla, no tiene primitiva elemental.

El 19 lo entiendo, pero tardaría bastante en realizar el último paso. Se sigue algún patrón para la simplificación?

La simplificación es mera manipulación algebraica. Aquí nadie te puede ayudar. De todas formas no hace falta simplificar los resultados. Una vez hayas derivado lo puedes dejar tal cual a no ser que tu profesor/profesora te indique lo contrario.

pero no en qué conceptos físicos se usa

En un par de años empezarás a ver derivadas e integrales hasta en la sopa. Son las matemáticas que más se usan en la física newtoniana.

[angel relativamente]

Re: Duda con derivada

Por ejemplo en el ejercicio 19, donde factoriza $3x^2-8x-11$, es sencillo. Simplemente tienes que resolver la ecuación $3x^2-8x-11=0$ (me he quedado rallado porque en la foto se veía solo -1 y no me salía). Las soluciones son $x=-1$ y $x=11/3$, por lo que $3(x+1)(x-11/3)$ es una factorización de ese polinomio. Así con la mayoría de polinomios de 2º grado que te salgan podrás factorizarlos. Si son de grado superior, seguramente puedas ver a ojo dónde están los factores. Por ejemplo en el 18 se ve claro que $(x^7+3)^2$ está como factor en ambos sumandos y lo puedes sacar común, y operando lo de dentro llegas trivialmente a la simplificación que te dan. En el 20 ves que el factor $(x^2+4)$ está tanto en el numerador como en el denominador, por tanto puedes simplificarlo y te quedará una expresión muy sencilla para simplificar. Y el 17 son simples operaciones algebraicas que seguro sabes hacer. En cualquier caso, no hay un patrón concreto, es práctica, y no siempre vas a poder factorizarlo todo. Al final tus ojos se acostumbrarán a discernir lo feo de lo bonito y serás tú solo el que busque una simplificación del resultado hasta que lo consideres lo suficientemente estético como para presentarlo

PD: Una expresión muy importante que debes recordar a la hora de simplificar es la de $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Así, puedes simplificar casi inmediatamente por ejemplo una expresión del estilo $\dfrac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\dfrac{(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x+1}{x-1}$

[visitante20160513]

Re: Duda con derivada

Vamos a ver, si es sencillo:

$y=\displaystyle\frac{x^2(1-x)^3}{x+1}\qquad\to\qquad y(x+1)=x^2(1-x)^3$

y derivando en ambos miembros resulta:

$y'(x+1)+y=2x(1-x)^3-3x^2(1-x)2$

y ahora solo hay que despejar $y'$, substituir $y$ por su valor y simplificar.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Duda con derivada

Sobre lo de definición de derivada, ya me hacía una idea que iba por ahí. Sabía que sirve para obtener pendientes, pero no en qué conceptos físicos se usa. Entender eso ya fue un paso, ya que aunque lo entendía de manera matemática no veía muchas aplicaciones.

Pues en muchos, en los más clásicos es en cinemática, dinámica, etc.. Pero también en muchos otros. Lo importante es entender bien el concepto de derivada, para saber cuando se debe usar. Por ejemplo, imaginemos que un móvil moviéndose por una carretera, en un cierto intervalo de tiempo $\Delta t$ se ha desplazado un $\Delta x$, para calcular la velocidad media qué es lo lógico hacer¿?

$$v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

O como se suele ver en el colegio, ya que parece que evitan usar el lenguaje de los incrementos, o al menos en el mío:

$$v_m=\frac{x_f-x_0}{t_f-t_0}$$

Pero esto no representa la velocidad, si nos fijamos en intervalos más pequeños, nos podemos dar cuenta de que ha podido estar parado en una gasolinera por ejemplo, en otros tramos yendo por ciudad a una velocidad moderada y en otros por autopista a 120 km/h, por poner ejemplos. En resumen, que la velocidad varía. Para estar más seguros de que la velocidad media se parece, vamos a tomar un intervalo pequeñísimo.

$$v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$

Evidentemente, esto es una derivada por tanto

$$v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t}=\dot x=x'_t=D_t x$$

Siendo cuatro formas distintas de representar la derivada, bueno decir que $\dot x$ se suele utilizar más para derivadas con respecto al tiempo. No sé si has visto bien vectores, supongo que sí, pues imaginando este proceso para una partícula moviéndose por el espacio, la definición de velocidad quedaría:

$$\vec v=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{d \vec r}{d t}$$

Aclarar que, aunque el concepto de derivada haya aparecido de la idea de dividir, esto no es así, ya que no se puede dividir tales cantidades. ¿Cuánto se desplaza el móvil en un intervalo de tiempo = 0, 0? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido, 0 como ya dijimos? ¿Cuál es la velocidad, 0/0? Aunque se relacione algo el concepto de derivada con el de división, son operaciones totalmente diferentes. La velocidad como derivada viene bien cuando sabes la función posición, la velocidad media viene bien cuando no conocemos la función posición pero sí cuánto se ha desplazado en cierto intervalo.
Y a lo mismo se llega con la aceleración, ya que la aceleración media se define como: $\vec a_m=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$, lo que significa que al final la aceleración:

$$\vec a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{d \vec v}{dt}=\frac{d }{dt}(\frac{d \vec r}{d t})=\frac{d^2 \vec r}{d t^2}=\ddot \vec r=\vec r''_t=D_t(D_t \vec r)$$

Lo último: $\frac{d^2 \vec r}{d t^2}=\ddot \vec r=\vec r''_t=D_t(D_t \vec r)$ significa derivar dos veces, ya que si la aceleración se obtiene derivando la velocidad, y la velocidad se obtenía derivando la posición, lo que se ha hecho en el proceso es derivar dos veces.
Y así podemos llegar a la ecuación de Newton: $\vec F=m \vec a$

$$\vec F= m \frac{d^2 \vec r}{d t^2}$$

Que conociendo la función fuerza, podemos conocer la función posición. Así, para "abrir el gusanillo" decirte que lo que tenemos es una ecuación diferencial. Para algunos casos por ejemplo la física terraplanar con $\vec F=m \vec g= cte$, la ecuación resultante quedaría:

$$\vec g= \frac{d^2 \vec r}{d t^2}$$

Que se puede resolver con integrales definidas, o también mediante indefinidas y después encontrando las constantes de integración. Pero también hay casos en dónde ésto no es tan sencillo, por ejemplo, por la ley de Hooke para muelles, tenemos que: $F=-kx$ que, considerando el problema unidimensional, tenemos la siguiente ecuación:

$$\frac{d^2 x}{d t^2}=-\frac{k}{m}x$$

El problema como siempre sería encontrar la función x(t).
Y volviendo a la duda que planteabas, casi cualquier magnitud que puedas escribir su media como cociente de incrementos $\frac{\Delta A}{\Delta x}$ por ejemplo, significa que tal magnitud es: $A'_x$
Y sigue volviendo a ser la derivada la pendiente de la gráfica, por ejemplo, si se dibujase la gráfica x(t), la velocidad media entre dos puntos correspondería a la pendiente de la recta que pasa por esos puntos, la velocidad "instantánea" en un punto sería la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.

[Sealfe]

Re: Duda con derivada

Buenas, siento no haber podido contestar antes .

Ya voy viendo mejor las simplificaciones. Iré haciendo algunos ejercicios más, pero gracias por resolver esos.

Alexgplez. Veo que tiene bastantes aplicaciones. Aún me falta un poco para verlas pero me hago una idea. Debe haber bastantes conceptos físicos que usen la derivada. Aún no he visto dobles derivadas, así que me lo miraré mejor cuando llegue (que creo que es el próximo punto)

Un saludo y muchas gracias a todos