Secundaria Límite (1^Infinito)

[The Higgs Particle]

Hola!

Estoy intentando demostrar que siendo

1. $lim_{x \to x_0} f(x) =1$
2. $lim_{x \to x_0} g(x) = \infty$

se cumple que

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Pero me he quedado trabada:

$lim_{x \to x_0} [f(x)]^{g(x)} = L \to lim_{x \to x_0} [g(x) \cdot ln(f(x))] = ln(L) \to L = e^{lim_{x \to x_0} (\frac{ln(f(x))}{\frac{1}{g(x)}})}$

Aplico ahora a L'Hôpital al límite (puesto que me sale $0/0$):

$lim_{x \to x_0} [\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{-g'(x)}{g^2(x)} }] = lim_{x \to x_0} [\frac{f'(x) \cdot g^2(x)}{f(x) \cdot g'(x)}]$

Y a partir de aquí no sé qué hacer

[Alriga]

Re: Límite (1^Infinito)

Creo que se demuestra así.

$lim f^g=lim (1+f-1)^g=lim[1+(f-1)]^g=lim \left [1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{f-1}}\right ]^g=$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Entonces

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos.

[alar]

Re: Límite (1^Infinito)

Tenemos $\lim_{n \to \infty} {{f}_{n }}^{{g}_{n } }=\lim_{n \to \infty} {e}^{{g}_{n }log({f}_{n}) }=\lim_{n \to \infty} {e}^{{g}_{n }({f}_{n }-1) }$


Ya que el infinitesimo $log({\Psi}_{n })=={\Psi}_{n }-1$ si $\lim_{n \to \infty} {\Psi}_{n }=1$

[The Higgs Particle]

Límite 1^∞

Hola, me gustaría saber si es válida esta demostración de que un límite del tipo

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = 1^\infty$

Puede resolverse mediante la siguiente fórmula:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]




* * *

Supongamos que:

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = X$

Siendo

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces:

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = X = L^M$

Tomando logaritmos:

$\ln(X) = \ln\left( L^M\right) \to X = {e}^{\dst M \ln(L) }$ (1)

Podemos ver que

$L = \lim_{x \to x_0} f(x) = 1$, de forma que $\ln (\lim_{x \to x_0} f(x) ) = \lim_{x \to x_0} \ln(f(x)) = \ln(1) = 0$

De esta forma, hemos comprobado que $\ln(L)$ es un infinitésimo. Así:

$\lim_{x \to x_0} \ln(f(x)) = \lim_{x \to x_0} \ln(1 + \left[ f(x) - 1 \right]) \approx f(x) - 1$

Sustituyendo este valor en (1), tenemos:

$X = {e}^{\dst \lim_{x \to x_0} g(x) \cdot \left[ f(x) -1\right] }$

Por propiedades de los límites:

$\lambda \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0}\left( \lambda f(x)\right)$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$

De forma que podemos concluir, sabiendo que, en este caso, $f(x) - 1 = \lambda$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Richard R Richard]

Re: Límite 1^∞

hola

la igualdad $\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = 1^\infty$ no es cierta


si

$f(x)=(1+x-x_0)$

y

$g(x)=\dfrac{1}{x-x_0}$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = \dst {e}^{\dst \lim_{x \to x_0} 1}= e^1=e\neq 1^{\infty}$


y es sabido que

$\dst \lim_{h \to 0} {\left[ 1+h\right]}^{\frac 1h} = \dst {e}$

$\dst \lim_{n \to \infty} {\left[ 1+\dfrac 1n\right]}^{n} = \dst {e}$

que se condice con la primera parte de la ecuación pero no con el resultado $1^{\infty}$

hay una incogruencia en la generalización de la aplicación del límite seria como que resolver erroneamente este ultimo limite haciendo $\dst \left(\lim_{h \to 0} {\left[ 1+h\right]}\right )^{\lim_{h \to 0}\dfrac 1h} = 1^{\infty}$


El limite de un numero que tiende a uno por la derecha elevado a un numero que a la vez tiende a infinito es el numero e.


Yo no le veo objeción a tu desarrollo si a como has planteado la indeterminación

[Weip]

Re: Límite 1^∞

Hola. THP, cuando escribes que el límite es uno elevado a infinito lo que estás diciendo es que la función de la cuál haces el límite no es contínua en el punto en cuestión. Esa igualdad no te permite hacer esas manipulaciones algebraicas en (1). Aunque cambies de notación L sigue siendo 1 y M sigue siendo infinito.

[The Higgs Particle]

Re: Límite 1^∞

Hola. THP, cuando escribes que el límite es uno elevado a infinito lo que estás diciendo es que la función de la cuál haces el límite no es continua en el punto en cuestión. Esa igualdad no te permite hacer esas manipulaciones algebraicas en (1). Aunque cambies de notación L sigue siendo 1 y M sigue siendo infinito

Precisamente yo dudaba de que estuviese bien en cuanto a que $M$ es infinito, pero no conozco las restricciones trae consigo el hecho de que una función no sea continua en un punto concreto.

En los libros que he consultado (2º bachillerato y el Larson) no me viene ninguna restricción para el uso de infinitésimos (aparte de que las funciones cumplan la definición), y en cuanto a las propiedades de los límites, encuentro que $L^M$ se cumple $\Leftrightarrow L>0$ y $f(x), g(x)$ son funciones convergentes (supongo que aquí es donde está la cosa).
Si no me equivoco, una función es convergente en un punto si existe límite en dicho punto, y que $\lim_{x \to x_0}g(x) = \infty$ indica que hay una discontinuidad inevitable de primera especie de salto infinito, aunque el límite exista (los límites laterales coincidan). Es decir, que en tanto que existe el límite, $g(x)$ es convergente en $x_0$ y, al serlo también $f(x)$, $h(x) = {f(x)}^{g(x)}$ es convergente y se podría aplicar $L^M$. ¿Esto es así?
Claro que si la función es como la que indica Richard, $\lim_{x \to x_0^-} g(x) \neq \lim_{x \to x_0^+}g(x)$

Pero en el caso que viene en mi libro de texto:

$\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ \frac{x^2+3}{x^2-1}\right]}^{2x }$

No se trata de la convergencia en un punto concreto, $M$ es un número finito y la función es continua desde $(0, + \infty)$, ¿tampoco podrían aplicarse las manipulaciones de (1)?

[Weip]

Re: Límite 1^∞

Precisamente yo dudaba de que estuviese bien en cuanto a que $M$ es infinito, pero no conozco las restricciones trae consigo el hecho de que una función no sea continua en un punto concreto.

Imagina que tienes una función $f$ contínua en $x_0$. Esto quiere decir que $\dst \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$. Es decir, podemos calcular el límite $\dst \lim_{x \to x_0} f(x)$ sustituyendo en la función cada $x$ por $x_0$. En vez de calcular el límite por otros caminos (más difíciles) hemos encontrado la imagen de una función (mucho más fácil). Cuando en el límite $x$ tiende a infinito o surgen problemas con las operaciones se puede extender el método ampliando $\mathbb{R}$ de forma que se acepten algunas operaciones con el infinito preservando la continuidad de estas operaciones. Lo que pasa es que este método solo sirve si las funciones involucradas se pueden extender de forma contínua en el punto en el cual hacemos el límite. Cuando esto no pasa surgen indeterminaciones. Así pues la igualdad $\dst \lim_{x \to x_0} {\left[ f(x)\right]}^{g(x)} = 1^\infty$ no es una igualdad oficial. En resumen, sustituir directamente y operando con las operaciones extendidas tal como haces (aunque puede que no seas consciente de esto) lleva a error si la condición de continuidad de la que te hablo no se cumple. El método no sirve y hay que encontrar otros caminos para calcular el límite.

En los libros que he consultado (2º bachillerato y el Larson) no me viene ninguna restricción para el uso de infinitésimos (aparte de que las funciones cumplan la definición), y en cuanto a las propiedades de los límites, encuentro que $L^M$ se cumple $\Leftrightarrow L>0$ y $f(x), g(x)$ son funciones convergentes (supongo que aquí es donde está la cosa).

Tal como dices la cosa está en la convergencia. Fíjate que en tu caso el límite de $g$ cuando $x$ tiende a $x_0$ diverge.

Si no me equivoco, una función es convergente en un punto si existe límite en dicho punto

Depende un poco del texto que leas. Hay autores para los cuales un límite infinito es un límite que no existe (y es sinónimo a que diverge) y para otros es un límite que existe pero es divergente.

y que $\lim_{x \to x_0}g(x) = \infty$ indica que hay una discontinuidad inevitable de primera especie de salto infinito, aunque el límite exista (los límites laterales coincidan). Es decir, que en tanto que existe el límite, $g(x)$ es convergente en $x_0$ y, al serlo también $f(x)$, $h(x) = {f(x)}^{g(x)}$ es convergente y se podría aplicar $L^M$. ¿Esto es así?
Claro que si la función es como la que indica Richard, $\lim_{x \to x_0^-} g(x) \neq \lim_{x \to x_0^+}g(x)$

Cuidado, si el límite da infinito significa que es divergente y no puedes aplicar esa propiedad.

Pero en el caso que viene en mi libro de texto:

$\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ \frac{x^2+3}{x^2-1}\right]}^{2x }$

No se trata de la convergencia en un punto concreto, $M$ es un número finito y la función es continua desde $(0, + \infty)$, ¿tampoco podrían aplicarse las manipulaciones de (1)?

Me parece que esto está contestado en el primer párrafo de este mensaje. Por otro lado, $M$ es infinito puesto que, tal como lo has definido, $M=\dst \lim_{x\to + \infty} 2x=+ \infty$. Las manipulaciones de (1) siguen sin poderse realizar por lo que te he dicho antes.

[Richard R Richard]

Re: Límite 1^∞

Las precisiones de Weip me superan,

solo puedo aportar aquello que recuerdo y es que la forma de resolver estos ejercicios de indeterminaciones es

$\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ \frac{x^2+3}{x^2-1}\right]}^{2x }$$=\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ \frac{x^2-1+4}{x^2-1}\right]}^{2x }$$=\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ 1+\frac{4}{x^2-1}\right]}^{2x }$

$=\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ 1+\frac{1}{\frac{x^2-1}{4}}\right]}^{2x }$[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$=e^{\lim_{x \to + \infty} \frac{8x}{x^2-1} }=e^0=1$


en este caso da 1 pero puede haber otros en los que no... por ejemplo cuando el e queda elevado a un limite de una fracción de un numero real, pero no es discontinua en $x_o$

[Weip]

Re: Límite 1^∞

Las precisiones de Weip me superan,

Eso es que me explico mal. Lo que vengo a decir es que la indeterminación solo dice que alguna de las funciones involucradas no se puede extender de forma contínua en el punto y que "uno elevado a infinito" no está al mismo nivel que "uno elevado a cinco" en cuanto a que lo primero es una operación que no está definida y lo segundo sí lo está.

[alexpglez]

Re: Límite 1^∞

Hola!! Estoy desde el móvil y no sé si escribiré muy bien en Latex xD.
Tenemos que para todo x en el que la función existe:

$$f(x)^{g(x)}=exp (ln (f(x)^{g(x)}))=exp(g(x) ln f(x))$$

Como la exponencial es una función contínua, ya que por hipótesis el exponente se hace finito en el límite. Entonces tenemos finalmente que el límite de lo primero es igual a e elevado al límite del exponente.

Ahora bien, nunca había visto la fórmula que adjunta THP, no sé si se puede hacer la aproximación del logaritmo para f (x_0)=1. Si la fórmula es cierta, yo creo que bien se podría hacer una serie de Taylor del logaritmo, sustituyendo después x por f(x), y viendo que en el límite los términos de orden superior se van.
Qué opináis¿? Tampoco he manejado mucho los infinitésimos, no sé si hay otra forma más sencilla de demostrarlo.

[Alriga]

Re: Límite 1^∞

Hola, estoy sin conexión fija a Internet durante un par de semanas, por lo que llego tarde al hilo, solo querría aportar que este tema de los límites "uno elevado a infinito" que se resuelven mediante exponenciales, también se trató en este otro hilo: Límite 1 elevado a infinito , en donde mostré una demostración sencilla a lo que plantea THP

Saludos

[Weip]

Re: Límite 1^∞

Ahora bien, nunca había visto la fórmula que adjunta THP, no sé si se puede hacer la aproximación del logaritmo para f (x_0)=1. Si la fórmula es cierta, yo creo que bien se podría hacer una serie de Taylor del logaritmo, sustituyendo después x por f(x), y viendo que en el límite los términos de orden superior se van.
Qué opináis¿? Tampoco he manejado mucho los infinitésimos, no sé si hay otra forma más sencilla de demostrarlo.

Sí, lo de Taylor lo puedes hacer.

Hola, estoy sin conexión fija a Internet durante un par de semanas, por lo que llego tarde al hilo, solo querría aportar que este tema de los límites "uno elevado a infinito" que se resuelven mediante exponenciales, también se trató en este otro hilo: Límite 1 elevado a infinito , en donde mostré una demostración sencilla a lo que plantea THP

Saludos

Anda, pues ya tenemos una segunda demostración.

Llegados a este punto me gustaría acabar de comentar la demostración de THP porque la idea de fondo es correcta.

Podemos ver que

$L = \lim_{x \to x_0} f(x) = 1$, de forma que $\ln (\lim_{x \to x_0} f(x) ) = \lim_{x \to x_0} \ln(f(x)) = \ln(1) = 0$

Eso está bien. Fíjate que estás aplicando implícitamente que $\ln$ es contínua. Sino no podrías meterlo dentro del límite.

Sustituyendo este valor en (1), tenemos:

$X = {e}^{\dst \lim_{x \to x_0} g(x) \cdot \left[ f(x) -1\right] }$

Por propiedades de los límites:

$\lambda \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0}\left( \lambda f(x)\right)$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$

De forma que podemos concluir, sabiendo que, en este caso, $f(x) - 1 = \lambda$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aquí no puedes usar (1) porque es un conjunto de operaciones sin sentido. Hay que hacer el siguiente apaño. En pasos anteriores has comprobado que:

$\dst\lim_{x \to x_0}\dst\frac{\ln(1+f(x)-1)}{f(x)-1}=1$

Por otro lado:

$\ln X=\dst\lim_{x \to x_0}g(x)\ln(1+ f(x)-1)$

Dividiendo:

$\ln X=\dst\frac{\dst\lim_{x \to x_0}g(x)\ln(1+ f(x)-1)}{\dst\lim_{x \to x_0}\dst\frac{\ln(1+f(x)-1)}{f(x)-1}}$

Finalmente:

$\ln X=\dst\lim_{x \to x_0}g(x)(f(x)-1)$

Con estas correcciones la demostración ya está bien.

Edito: Me he dado cuenta de una cosilla que al final no comenté. Supongo que es un descuido pero por si le confunde a un lector futuro:

[FONT=Verdana]Pero en el caso que viene en mi libro de texto:[/FONT]

[FONT=Verdana]$\lim_{x \to + \infty} {\dst \left[ \frac{x^2+3}{x^2-1}\right]}^{2x }$

[/FONT]

[FONT=Verdana]No se trata de la convergencia en un punto concreto, $M$ es un número finito y la función es continua desde $(0, + \infty)$, ¿tampoco podrían aplicarse las manipulaciones de (1)?[/FONT]

[FONT=Verdana]
La función dentro del límite es discontínua en 1 (y en -1).[/FONT]