Resolver integral

[cristianoceli]

Hola como puedo resolver esta integral $\displaystyle \int x ln(ln(x)) dx$ . Yo creo que no existe pero en caso de que no existe. ¿Como puedo demostrar que no existe?.

Saludos

[Alriga]

... ¿como puedo resolver esta integral $\displaystyle \int x \ln (\ln x) dx$ ?. Yo creo que no existe ...

La función $x\ln(\ln x)$ está bien definida y es continua $\forall x \in \mathbb R \ t.q. \ 1<x<\infty$ . Por lo tanto en cualquier intervalo de integración real acotado dentro de $(1, \ \infty)$ la integral sin duda existe. Por ejemplo mediante cálculo numérico he calculado que:

$\displaystyle \int_1^5 x \ln(\ln x) dx=0.827266$

Otra cosa diferente, que creo que es lo que tú querías preguntar, es si esa integral "es elemental" es decir, que si se puede expresar mediante una fórmula en la que solo aparezcan funciones elementales: se llaman funciones elementales a los polinomios, funciones racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y sumas, productos y composiciones de estas funciones.

En general es muy difícil demostrar que una integral es "no elemental", hay demostraciones (en general bastante complicadas) para algunos casos sencillos, como por ejemplo estas funciones de abajo, que se ha demostrado que no tienen primitivas "elementales":

$\dfrac{\sin x}x \qquad \dfrac{\ee^x}x \qquad \dfrac 1{\ln x} \qquad \ee^x \ln x \qquad \sqrt {1+x^4} \qquad \sqrt{x^3-1} \qquad \sin x^2 \qquad \cos x^2 \qquad x^x \qquad \ee^{-x^2} \qquad \ln(\ln x) \quad \dots$

Observa que si $\int \ln(\ln x)$ está demostrado que "no es elemental", tu función $\int x\ln(\ln x)$ tiene prácticamente todos los números para que tampoco lo sea.

Pero aunque no haya primitiva elemental, recuerda que siempre existen desarrollos en serie y todo tipo de métodos numéricos para calcular integrales no elementales.

Saludos.

[cristianoceli]

La función $x\ln(\ln x)$ está bien definida y es continua en $\forall x \in \mathbb R \ t.q. \ 1<x<\infty$ . Por lo tanto en cualquier intervalo real finito dentro de $(1, \ \infty)$ la integral sin duda existe. Por ejemplo mediante cálculo numérico he calculado que:

$\displaystyle \int_1^5 x \ln(\ln x) dx=0.827266$

Otra cosa diferente, que creo que es lo que tú querías preguntar, es si esa integral "es elemental" es decir, que si se puede expresar mediante una fórmula en la que solo aparezcan funciones elementales: se llaman funciones elementales a los polinomios, funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y sumas, productos y composiciones de estas funciones.

En general es muy difícil demostrar que una integral es "no elemental", hay demostraciones (en general bastante complicadas) para algunos casos sencillos, como por ejemplo estas funciones de abajo, que se ha demostrado que no tienen primitivas "elementales":

$\dfrac{\sin x}x \qquad \dfrac{\ee^x}x \qquad \dfrac 1{\ln x} \qquad \ee^x \ln x \qquad \sqrt {1+x^4} \qquad \sqrt{x^3-1} \qquad \sin x^2 \qquad \cos x^2 \qquad x^x \qquad \ee^{-x^2} \qquad \ln(\ln x) \quad \dots$

Observa que si $\int \ln(\ln x)$ está demostrado que "no es elemental", tu función $\int x\ln(\ln x)$ tiene prácticamente todos los números para que tampoco lo sea.

Pero aunque no haya primitiva elemental, recuerda que siempre existen desarrollos en serie y todo tipo de métodos numéricos para calcular integrales no elementales.

Saludos.

Muchas gracias por la aclaración me sirvió mucho para aclara mis dudas.

Saludos

[Abdulai]

Haciendo la sustitución $x = e^u \;,\; dx = e^udu$ e integrando por partes te lleva a una integral de la forma: $\displaystyle\int{\frac{e^u}{u}du}$ , que es de las que sabemos no tiene primitiva expresable por un número finito de funciones elementales.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola Abdulai Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

[Abdulai]

Hola RRR, gracias por la bienvenida y los consejos.

Me registré en el 2014 , aparezco con un mensaje pero creo que llegué a escribir dos o tres. Espero ser mas productivo en esta etapa

Saludos.