1r ciclo Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

[alexpglez]

Hola, quería saber si esta demostración (que se me ocurrió hace poco) demostraba el teorema fundamental del cálculo:
El teorema de Lagrange dice:

$$f(b)-f(a)=f'(\lambda)(b-a)$$

Para cualquiera sea el intevalo, si es que la función es contínua en él y derivable, vamos a suponer que esto se cumple. Entonces escogiendo un punto c que esté entre a y b:

$$f(c)-f(a)=f'(\lambda_1)(c-a)$$

$$f(b)-f(c)=f'(\lambda_2)(b-c)$$

Entonces sumando ambas:

$$f(b)-f(a)=f'(\lambda_2)(b-c) +f'(\lambda_1)(c-a)$$

Esto es lo que me refiero con hacer particiones de una función, ahora para dar el paso a n términos.

La idea es partir el intervalo en n términos y hacer el límite. Introduciendo la notación $a=x_0 \;\;\; b=x_n$, empezamos por hacer el teorema de Lagrange a una partición:

$$f(x_i)-f(x_{i-1})=f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})$$

Sumando todos los términos:

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})$$

El primer sumando es:

$$\sum_{i=1}^n f(x_i)-f(x_{i-1})=f(x_n)-f(x_0)=f(b)-f(a)$$

Entonces:

$$f(b)-f(a)=\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Ahora vamos a tomar el límite cuando el número de particiones tiende a infinito y todas las particiones tienden a 0, o entonces, abreviando, la mayor partición tiende a 0 (que implica las otras 2 proposiciones).

$$f(b)-f(a)=\lim_{max \; (x_{i-1}-x_i) \to 0}\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1}) \;\;\;\; \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Pero si $f'(x)$ es integrable de Riemman, (esto es: es contínua en el intervalo $[a,b]$, o tiene discontinuidades finitas en el mismo) pero dado que es la derivada de una función que en cierto intervalo era contínua y derivable, su derivada necesariamente es contínua. Con lo que cumple que es integrable de Riemman, entonces se puede hablar de integral:

$$\lim_{max \; (x_{i-1}-x_i) \to 0}\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})=\int_a^b f'(x) dx \;\;\;\; \forall \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Entonces nos garantiza que si para cualquier $\lambda_i$ en el intervalo se cumple, también se cumple para uno particular, por lo que (2'):

$$f(b)-f(a)=\int_a^b f'(x) dx$$

Exactamente, si esto es falso, en que me equivoco¿?

Por otra parte, si esto es verdadero, podemos discutir otras consecuencias, como el significado de la integral, dado que (1) adquiere el significaco de que dada una relación con la media implica que, (poniendo un ejemplo cinemático para escribir menos) $\Delta x=v^* \Delta t$ donde $v^*$ es la velocidad media (y por tanto $v*=\frac{\Delta x}{\Delta t}=v(c)$), pero lo chulo, es que implica tanto $\Delta x=\int_{t_0}^{t_1} v(t)dt$ como $x'(t)=v(t)$ (que implique esto segundo es bastante más obvio xD).

[Richard R Richard]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Creo que tu demostración es correcta y se corresponde con la demostración del Teorema del valor medio en forma integral



Es decir mientras $f$ es continua existe $\lambda$ perteneciente al intervalo (a,b) o (a,a+h) tal que

$f'(\lambda)=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

El problema es que Weip me decía que no por algún detalle, pero no lo encuentro.

- - - Actualizado - - -

Quizá es verdad, analizándolo mejor, se podría encontrar algún detalle que aunque sea erróneo, éste sea sin importancia, no cambiando el resultado, si no la forma de plantear el problema desde un punto de vista formalmente lógico.

También una vez visto esto, me gustaría plantear (creo que en otro hilo), el porqué en una ecuación diferencial puedo "manipular" los diferenciales, pasarlos dividiendo, multiplicando, e integrar.

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

A ver si hoy estoy más acertado.

Quizá es verdad, analizándolo mejor, se podría encontrar algún detalle que aunque sea erróneo, éste sea sin importancia, no cambiando el resultado, si no la forma de plantear el problema desde un punto de vista formalmente lógico.

Sí, me refería a esto.

Pero si $f'(x)$ es integrable de Riemman, (esto es: es contínua en el intervalo $[a,b]$, o tiene discontinuidades finitas en el mismo) pero dado que es la derivada de una función que en cierto intervalo era contínua y derivable, su derivada necesariamente es contínua. Con lo que cumple que es integrable de Riemman, entonces se puede hablar de integral:

$$\lim_{max \; (x_{i-1}-x_i) \to 0}\sum_{i=1}^n f'(\lambda_i)(x_i-x_{i-1})=\int_a^b f'(x) dx \;\;\;\; \forall \lambda_i \in [x_{i-1},x_i]$$

Vuelvo a repetir lo que dije en el otro hilo: el teorema de Lagrange tiene como hipótesis que la función es contínua en $[a,b]$ y es derivable en $(a,b)$. Puede pasar que la función no sea derivable en $a$ o en $b$. Por ejemplo la función valor absoluto es contínua en $[0,1]$, derivable en $(0,1)$ pero no es derivable en $x=0$.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

A ver si hoy estoy más acertado.


Sí, me refería a esto.


Vuelvo a repetir lo que dije en el otro hilo: el teorema de Lagrange tiene como hipótesis que la función es contínua en $[a,b]$ y es derivable en $(a,b)$. Puede pasar que la función no sea derivable en $a$ o en $b$. Por ejemplo la función valor absoluto es contínua en $[0,1]$, derivable en $(0,1)$ pero no es derivable en $x=0$.

Entiendo, aun así los intervalos en los que lo divido son x_(¡-1), x. Por lo que el teorema de lagrange dice que debe ser derivable en el intervalo abierto y continua en el cerrado, o sea, la funcion derivada es continua en el abierto.
Por lo que tendremos que empezar como hipótesis que f'(x) es contínua en todo el intervalo, y entonces esto está solucionado no?

Y ya no habría más fallos? Por lo que la demostración quedaría correcta?

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Entiendo, aun así los intervalos en los que lo divido son x_(¡-1), x. Por lo que el teorema de lagrange dice que debe ser derivable en el intervalo abierto y continua en el cerrado, o sea, la funcion derivada es continua en el abierto.
Por lo que tendremos que empezar como hipótesis que f'(x) es contínua en todo el intervalo, y entonces esto está solucionado no?

Y ya no habría más fallos? Por lo que la demostración quedaría correcta?

Si supones que la derivada es contínua en todo el intervalo el problema es que hay funciones que cumplen las hipótesis del teorema fundamental del cálculo pero no las que estás imponiendo tú. Entonces obtienes un versión del teorema que funciona para un conjunto de funciones más pequeño que el del teorema inicial.

Acabas de decir una cosa que en la demostración también está:

Por lo que el teorema de lagrange dice que debe ser derivable en el intervalo abierto y continua en el cerrado, o sea, la funcion derivada es continua en el abierto.

Lo último no es cierto, puedes encontrar funciones contínuas en $[a,b]$, derivables en $(a,b)$ y en cambio que la derivada sea discontínua en $(a,b)$. Por ejemplo la función de Volterra:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es contínua en $[-1,1]$, derivable en $(-1,1)$ y su derivada no es contínua en $(-1,1)$.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Si supones que la derivada es contínua en todo el intervalo el problema es que hay funciones que cumplen las hipótesis del teorema fundamental del cálculo pero no las que estás imponiendo tú. Entonces obtienes un versión del teorema que funciona para un conjunto de funciones más pequeño que el del teorema inicial.

Si y no, se me olvidó decir que una demostración para funciones con discontinuidades evitables o finitas en el mismo sería hacer sumas integrables tal que fueran empezando y terminando en las discontinuidades. Por otra parte esto dice cómo calcularlo, dividir la integral en tantas partes saltándose las discontinuidades.

Acabas de decir una cosa que en la demostración también está:

Lo último no es cierto, puedes encontrar funciones contínuas en $[a,b]$, derivables en $(a,b)$ y en cambio que la derivada sea discontínua en $(a,b)$. Por ejemplo la función de Volterra:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es contínua en $[-1,1]$, derivable en $(-1,1)$ y su derivada no es contínua en $(-1,1)$.

Cierto, estaría espeso antes, me imaginaba que si tenía derivada en todos los puntos, tenía que ser contínua para que se "unieran" todos los puntos...

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Si y no, se me olvidó decir que una demostración para funciones con discontinuidades evitables o finitas en el mismo sería hacer sumas integrables tal que fueran empezando y terminando en las discontinuidades. Por otra parte esto dice cómo calcularlo, dividir la integral en tantas partes saltándose las discontinuidades.

Piensa que la discontinuidad puede estar en uno de los extremos del intervalo y entonces lo que dices no sirve pues no puedes integrar en un intervalo semiabierto. Y aunque las discontinuidades no estuvieran puestas de mala leche se pueden construir funciones "raras" con las que no puedes "partir" la integral para esquivar las discontinuidades.

La verdad es que a partir de aquí la demostración se cae y no se me ocurre como salvarla. $f'$ no tiene porqué ser contínua, ya lo hemos visto, y si añades este hecho como condición entonces hay muchas funciones a las que se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo pero en cambio no siguen tu método. Continuaré pensando a ver.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Piensa que la discontinuidad puede estar en uno de los extremos del intervalo y entonces lo que dices no sirve pues no puedes integrar en un intervalo semiabierto. Y aunque las discontinuidades no estuvieran puestas de mala leche se pueden construir funciones "raras" con las que no puedes "partir" la integral para esquivar las discontinuidades.

La verdad es que a partir de aquí la demostración se cae y no se me ocurre como salvarla. $f'$ no tiene porqué ser contínua, ya lo hemos visto, y si añades este hecho como condición entonces hay muchas funciones a las que se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo pero en cambio no siguen tu método. Continuaré pensando a ver.

No entiendo lo que quieres decir. Además, ten en cuenta que también nosotros (o al menos yo), cuando calculamos integrales de funciones discontinuas, dividimos en trozos. Por ejemplo:

$$f(x)=f_1(x) \;\;\; x<b$$

$$f(x)=f_2(x) \;\;\; x\geq b$$

$$a<b<c$$

$$\int_a^c f(x)dx=\int_a^b f_1(x)+\int_b^c f_2(x)$$

Con lo que ya tenemos dos funciones contínuas para los que vale el teorema anterior.

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Me refiero a que hay funciones derivables, contínuas, con derivada discontínua y que no son integrables Riemann de forma que no puedes poner la (supuesta) integral como suma de dos o más integrales para "esquivar" las discontinuidades porque siempre cogerías zonas en las que el conjunto de puntos donde la función es discontinua tiene medida distinta de cero. Por ejemplo la derivada de la función de Volterra (yo la suelo llamar función de Volterra-Cantor para no confudirla con otra; pero bueno, son nombres). La gráfica de la derivada no la he encontrado pero bueno viendo la gráfica de la función de Volterra ya puedes ver que su derivada normal normal no será. Es decir que llegados a este punto de la demostración hay funciones derivables y contínuas que se te cuelan y ni su derivada es contínua ni son integrables Riemann, cosa que entra en contradicción con las hipótesis del teorema fundamental del cálculo.

La verdad es que yo me intentaría ajustar a las hipótesis del teorema fundamental del cálculo e intentaría la demostración a partir de ahí porque al final acabarás suponiendo muchas cosas que el teorema ya te demuestra en las pruebas de los libros.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Pero si la tal función volterra no es integrable de Riemman, no es integrable en tal sentido. Date cuenta que mi demostración está planteado en el sentido de integración de Riemann, por tanto si por éste método no se puede integrar la función Volterra, por esto que expongo tampoco se puede integrar. Es decir, no estoy obteniendo el teorema fundamental del cálculo para cualquier función, si no sólo para integrales de Riemann. La hipótesis del teorema fundamental del cálculo según éste era que fuese integrable según él no¿? pues la demostración anterior la cumple.

Lo que quiero decir es que no puedo pretender demostrar el teorema fundamental del cálculo para funciones que no son integrables de Riemman, desarrollando por Riemman la suma integrable. No sé si me entiendes, por tanto el teorema está acabado y limitado por esta condición.

De todas formas, no sé como funciona la integral de Lebesgue (que supongo que es la que usas para integrar la función de Volterra) todavía, con la que quizá se llegaría a esos resultados..

- - - Actualizado - - -

De hecho, viene en wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Fundam...he_second_part
Ni me había fijado.

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Date cuenta que mi demostración está planteado en el sentido de integración de Riemann

No, en principio tu no sabes si $f'$ es integrable Riemann. De hecho es lo que quieres demostrar. Pero es que esto lo has elegido tú mismo. Sin duda forma parte de las hipótesis del teorema fundamental del cálculo pero yo las únicas hipótesis que veo en tu demostración son las del teorema de Lagrange: derivabilidad y continuidad en ciertos intervalos. Por eso te digo que te ciñas a las hipótesis del teorema fundamental del cálculo. Además has intentado demostrar que $f'$ es integrable, pero sin éxito. Afirmas: una función derivable y contínua tiene derivada contínua y por lo tanto es integrable Riemann. Te he dado un contraejemplo pero me has contestado que siempre puedes evitar discontinuidades expresando la integral como suma de otras integrales. Y finalmente te doy una función con la que no puedes hacer eso.

De hecho, viene en wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Fundam...he_second_part
Ni me había fijado.

La diferencia es que esa demostración está bien (aunque a cambio impone hipótesis redundantes) y la tuya no. También por aclarar, todo el rato hablo de integral de Riemann. La de Lebesgue no la considero.

No sé si me estoy explicando bien. Solo me estoy basando en lo que hay escrito en la demostración.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

No, en principio tu no sabes si $f'$ es integrable Riemann. De hecho es lo que quieres demostrar. Pero es que esto lo has elegido tú mismo. Sin duda forma parte de las hipótesis del teorema fundamental del cálculo pero yo las únicas hipótesis que veo en tu demostración son las del teorema de Lagrange: derivabilidad y continuidad en ciertos intervalos. Por eso te digo que te ciñas a las hipótesis del teorema fundamental del cálculo. Además has intentado demostrar que $f'$ es integrable, pero sin éxito. Afirmas: una función derivable y contínua tiene derivada contínua y por lo tanto es integrable Riemann. Te he dado un contraejemplo pero me has contestado que siempre puedes evitar discontinuidades expresando la integral como suma de otras integrales. Y finalmente te doy una función con la que no puedes hacer eso.


La diferencia es que esa demostración está bien (aunque a cambio impone hipótesis redundantes) y la tuya no. También por aclarar, todo el rato hablo de integral de Riemann. La de Lebesgue no la considero.

No sé si me estoy explicando bien. Solo me estoy basando en lo que hay escrito en la demostración.

Creo que no te entiendo, porque he impuesto las mismas condiciones (en el mensaje #7), que en wikipedia, que f' sea integrable de Riemann y por tanto continua o con discontinuidades que se puedan evitar.

- - - Actualizado - - -

Cierto, entonces la parte en la qje intento demostrar que f' es integrable de riemann habria que suprimirla por lo dicho anteriormente.

[Weip]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Creo que no te entiendo, porque he impuesto las mismas condiciones (en el mensaje #7), que en wikipedia, que f' sea integrable de Riemann y por tanto continua o con discontinuidades que se puedan evitar.

Si impones que $f'$ es integrable Riemann pues lo tienes que decir en la primera línea de la demostración. Tu empiezas aplicando el teorema de Lagrange así que yo presupongo continuidad y derivabilidad en ciertos intervalos y no presupongo más porque estas dos hipótesis no coinciden con las hipótesis del teorema que quieres demostrar así que yo pensé que demostrarías una versión menos habitual del teorema.

Cierto, entonces la parte en la qje intento demostrar que f' es integrable de riemann habria que suprimirla por lo dicho anteriormente.

Exacto.

[alexpglez]

Re: Teoremas fundamentales del cálculo, una variable

Vale, gracias pues!
Ahora tengo otra duda, sobre resolución de ecuaciones diferenciales, integrables:
Podríamos decir entonces que, por ejemplo:

$$\frac{dm}{dt}=-km$$

$$\frac{dm}{m}=-kdt$$

$$\int_{m_0}^{m_1}\frac{dm}{m}=-k\int_{t_0}^{t_1}dt$$

El segundo y tercer paso sería una simplificación "nemotécnica" de:

$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=-km^*$$

Donde $m^*$ es la masa media. Y $\Delta m=m(t+\Delta t)-m(t)$.

$$\frac{\Delta m}{m^*}=-k\Delta t$$

Y haciendo una suma de intervalos y tomando posteriormente el límite:

$$\lim \sum_i \frac{\Delta m_i}{m(t_i*)}=-k \lim \sum_i \Delta t_i$$

$$\int_{m_0}^{m_1}\frac{dm}{m}=-k\int_{t_0}^{t_1}dt$$

Considerando en principio que las funciones son integrables, o mejor dicho, resolviendo solamente para los tramos en donde las funciones (que se determinan después del problema) son integrables.
Y los límites ajustados en 3, nos lo da los dice la suma integral, ya que los primeros términos y los últimos de la suma son $m_0 \;\;\; m_1 \;\;\; t_0 \;\;\; t_1$, (creo que se me olvidó de decirlo antes que dividíamos ese intervalo..)

Esto sería no¿?