Consulta sobre el teorema de la divergencia en notación tensorial.

[inakigarber]

Buenas tardes, siguiendo el blog cuyo enlace anexo a continuación, tengo una duda al respecto (para variar), y no se si se trata de un error del autor o que vuelvo a estar despistado como de costumbre. Vayamos al grano;
Casi al principio del blog aparece el siguiente texto;

"PROBLEMA; Expresar el teorema de la divergencia usando notación tensorial."

Aparece en el siguiente párrafo la siguiente fórmula;
$\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$ en la cual vemos que el vector F tiene una coma en el subíndice, lo cual indicaría una derivada ordinaria de un vector.

Si nos fijamos al principio de dicho blog nos aparece la siguiente expresión;.

$\iiint_V (\nabla \cdot F)dV=\oiint_s F \cdot n dS$

Bien, lo que tenemos en la primera integral es la integral volumétrica de una divergencia, la cual en la anterior entrada del citado blog cuyo enlace anexo a continuación, se expresa la divergencia de un tensor como $T^a_{; a}=\nabla \cdot F$ con un punto y coma que nos indica que se trata de una derivada covariante, entonces, la fórmula que aparece en el blog mencionado ¿no debería ser $\iiint_V F^k_{;k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$?

Me tiene despistado sobre todo el texto que indica a continuación cuando dice;

"En el lado izquierdo tenemos una operación de contracción tensorial llevada a cabo sobre la derivada del tensor F (obsérvese que no es una diferenciación covariante), mientras que en el lado derecho tenemos un producto escalar de dos tensores,"

Supongo que lo que se refiere es a la derivada ordinaria de la divergencia de un tensor, pero no lo veo muy claro.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Muy claro no lo tengo iñaki, aguarda mejores respuestas, pero creo que

$\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$

es la integral en notación einsteniana

en cambio

$\iiint_V (\nabla \cdot F)dV=\oiint_s F \cdot n dS$

es la sumatoria de todas las componentes, que por un lado es la integral de la divergencia, y por el otro, el sumatorio es igual al producto escalar.(en espacios planos)

Hay correspondencia en la notación,hasta allí.

pero luego para mi te cambiaron la notación a mitad de blog... comienzan a hablar de derivada covariante.

revisa a mitad de problema que empieza "Demostrar que la divergencia de un campo vectorial "

[sater]

Como te ha dicho Richard, en notación tensorial la divergencia es: $\nabla\cdot \vec F=\partial_k F^k=F^k_{,k}$.

El lío puede venir de que luego está el principio de acoplo mínimo, que dice que podemos generalizar las ecuaciones que teníamos en espacios planos (Minkowski) sin más que sustituir derivadas ordinarias por derivadas covariantes y la métrica de Minkowski por la métrica que tengamos en el espaciotiempo curvo en concreto: $\partial_k\to \nabla_k$, $\eta_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}$.

Por eso el blog diferencia entre "obtener la fórmula de la divergencia en notación tensorial" y "obtenerla en el 4-espacio de la teoría de la relatividad".

[inakigarber]

Gracias por vuestras respuestas, pero hay cosas que aún no las tengo muy claras.

Muy claro no lo tengo iñaki, aguarda mejores respuestas, pero creo que

$\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$

es la integral en notación einsteniana

en cambio

$\iiint_V (\nabla \cdot F)dV=\oiint_s F \cdot n dS$

es la sumatoria de todas las componentes, que por un lado es la integral de la divergencia, y por el otro, el sumatorio es igual al producto escalar.(en espacios planos)

Hay correspondencia en la notación,hasta allí.

pero luego para mi te cambiaron la notación a mitad de blog... comienzan a hablar de derivada covariante.

revisa a mitad de problema que empieza "Demostrar que la divergencia de un campo vectorial "

Entonces, $\boxed{\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_S F^k n_k dS}$ y $\boxed{\iiint_V (\nabla \cdot F)dV=\oiint_S F \cdot n dS}$ supongo que significan lo mismo, es decir, para un caso concreto darán el mismo valores ¿Es así?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Sí. Son formas diferentes de notación sobre el mismo significado físico y matemático.

[inakigarber]

Por tanto, en mi primer hilo cuando pregunte;

¿no debería ser $\iiint_V F^k_{;k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$?

La respuesta sería que la notación $\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$ es correcta. (De hecho el autor del blog más adelante insiste en la misma notación, por lo que parece dificil que se trate de un error de copia-pega), la confusión ha venido a partir de la definición de la divergencia de un tensor como $div F=\nabla \cdot F=F^{\alpha}_{; \alpha}$. Tal y como lo veo ahora la pregunta correcta sería ¿Es correcta la expresión $\iiint_V F^k_{;k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$?

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

Creo que Sater ya te lo contestó, y yo no tengo mas argumento para aclarar ..., en espacios como el de Minkowski , que son planos, usar la derivada covariante o la comun de toda la vida, es exactamente lo mismo, pero en espacios curvos como viste en https://forum.lawebdefisica.com/foru...es-otro-tensor , solo la derivada covariante de un tensor es un tensor, no la derivada comun

Lo que me lleva a pensar...

que $\iiint_V F^k_{;k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$ es aplicable a todo tipo de espacios

y $\iiint_V F^k_{,k}dV=\oiint_s F^k n_k dS$ es aplicable es espacios planos, el cartesiano en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^4$, y el de Minkowski $\mathbb{R}^3_1$ o $\mathbb{R}^1_3$ como ejemplo.

Pero la verdad esperaría a que te lo confirmen o me lo refuten.

[sater]

Creo recordar que era más bien una cosa así:

Sea una variedad M, equipada con una métrica $g_{\mu\nu}$, donde defines unas coordenadas $x$ y sea su frontera $\partial M$, con métrica (inducida) $\gamma_{\mu\nu}$, descrita por las coordenadas $y$. Entonces el valor de la divergencia de un campo vectorial $V^{\mu}$ en la variedad se relaciona con el valor del mismo campo en la frontera como:

$$<br /> \int_M \dd^n x \sqrt{|g|} \nabla_{\mu} V^{\mu}=\int_{\partial M} \dd^{n-1} y \sqrt{|\gamma|} n_{\mu} V^{\mu}<br />$$

donde $|g|$ es el valor absoluto del determinante de la métrica.

PD: como postdata, no me resisto a incluir la formulación más bella (y menos útil) en términos de formas diferenciales (formulación que si no recuerdo mal Weip tenía como firma):

$$<br /> \int_M \dd \omega=\int_{\partial M} \omega<br />$$