Consulta sobre cálculo de geodésicas,

[inakigarber]

Buenas noches;

Estoy interesado en aprender como calcular geodésicas en un espacio curvo. Estoy siguiendo este hilo, donde encuentro varios desarrollos matemáticos que no entiendo. Uno de ellos es el siguiente, donde dice "Con esto, podemos expresar de la siguiente manera la integral que será llevada a"
$\dfrac{\partial{I_{\alpha}}}{\partial {y}}=\int_\alpha^\beta\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\eta+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right)dx$. El resultado que obtiene (teniendo en cuenta que $\eta_\alpha = \eta_\beta=0$), es el siguiente;
$\int\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=-\int \eta \dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y}$. En integrales no definidas.
A mi sin embargo utilizando la integración por partes (como así menciona el autor) y también considerando que $\eta_\alpha = \eta_\beta=0$, me sale lo siguiente;
$\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx$.

No entiendo como si parte de una suma de integral definida, aparece al final una integral no definida (salvo que sea un error de tipeo), y por otra parte, tampoco entiendo el signo negativo que pone el autor en el resultado final. Supongo que estaré equivocado como en otras ocasiones.

Por otra parte, como ya he mencionado, estoy interesado en aprender como calcular geodésicas en un espacio curvo y me gustaría saber si alguien conoce un buen manual, o una página de internet donde haya información al respecto.

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola inakigarber.

No entiendo como si parte de una suma de integral definida, aparece al final una integral no definida (salvo que sea un error de tipeo)

Efectivamente es un error de tipeo. Pero bueno tampoco es algo grave, ya se sobreentiende cuáles son los límites de integración.

y por otra parte, tampoco entiendo el signo negativo que pone el autor en el resultado final. Supongo que estaré equivocado como en otras ocasiones.

Es el típico signo - de la integración por partes. Si recuerdas la fórmula:

$\dst\int_a^b udv=uv|_a^b- \dst\int_a^b vdu$

El - del segundo término es el - que utiliza el autor del blog en la expresión que has puesto. Por explicar un poco más como ha aplicado el autor la integración por partes, lo que tienes es $u=\partial F/\partial y'$ y $dv=\eta' dx$. Sustituyendo encontrarás lo que dice el blog. El término $uv|_a^b$ se anulará porque tienes la condición $\eta(a)=\eta(b)=0$, con lo cual solo quedará el segundo término de la integración por partes.

Fíjate también que el autor lo que está haciendo es derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, con lo que no debería extrañarte este paso de integración por partes, es el método "de toda la vida" para deducir las ecuaciones, por decirlo de alguna manera.

Por otra parte, como ya he mencionado, estoy interesado en aprender como calcular geodésicas en un espacio curvo y me gustaría saber si alguien conoce un buen manual, o una página de internet donde haya información al respecto.

La verdad es que no te sabría decir, estas cosas las podrás encontrar en espaciotiempos concretos en libros de RG. Aún así no pienses que es algo sistemático de hacer. Es mecánico, pero la ecuación de las geodésicas es una ecuación diferencial de segundo orden que típicamente cuesta resolver. Si te interesara mucho el tema quizás te convendría más mirar textos de Geometría Diferencial pero en mi opinión lo mejor es que sigas estudiando RG y ya irás viendo el tema de las geodésicas cuando mires el espaciotiempo de Schwarzschild, por ejemplo, que es el primero que te encontrarás y del cual podrás sacar conclusiones de física pura y dura.

[inakigarber]

Saludos y gracias, me ha quedado todo más claro.

Hola inakigarber.
El - del segundo término es el - que utiliza el autor del blog en la expresión que has puesto. Por explicar un poco más como ha aplicado el autor la integración por partes, lo que tienes es $u=\partial F/\partial y'$ y $dv=\eta' dx$. Sustituyendo encontrarás lo que dice el blog. El término $uv|_a^b$ se anulará porque tienes la condición $\eta(a)=\eta(b)=0$, con lo cual solo quedará el segundo término de la integración por partes.

Ahora, repitiéndolo con la mente un poco más fresca, a mí también me sale lo mismo.(*)

Hola inakigarber.

La verdad es que no te sabría decir, estas cosas las podrás encontrar en espaciotiempos concretos en libros de RG. Aún así no pienses que es algo sistemático de hacer. Es mecánico, pero la ecuación de las geodésicas es una ecuación diferencial de segundo orden que típicamente cuesta resolver. Si te interesara mucho el tema quizás te convendría más mirar textos de Geometría Diferencial pero en mi opinión lo mejor es que sigas estudiando RG y ya irás viendo el tema de las geodésicas cuando mires el espaciotiempo de Schwarzschild, por ejemplo, que es el primero que te encontrarás y del cual podrás sacar conclusiones de física pura y dura.

Solo por curiosidad, si tuviéramos dos puntos en una esfera de radio R definidos por las coordenadas $A=(R, \theta, \phi)$, y $B=(R, \theta, \phi)$, bien, la geodésica entre dos puntos sería el arco de circunferencia mayor que une dichos puntos y con radio en el origen. Pero, ¿Cómo podríamos calcularlo usando esta integral?

Saludos y gracias.

* P.D. Me corriijo, he vuelto a equivocarme. En el blog el resultado que da es el siguiente;
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx=-\int_\alpha^\beta \eta \dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y}dx$.

El razonamiento que sigo es el siguiente;
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y}\eta dx+\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=0$
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y}\eta dx=-\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx$
Hago la misma integración por sustitución que tu mencionas; $U=\dfrac{\partial F}{\partial y}$ y $dv=\eta dx$
Con esto me sale;
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=-\left[\eta\dfrac{\partial F}{\partial y} -\int_\alpha^\beta \eta\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y}dx\right]$
Como [TEX]\eta_\alpha=\eta_\beta=0, la primera parte dentro del corchete será nula, por lo que nos quedará;
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=-\left[ -\int_\alpha^\beta \eta\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y}dx\right]$
$\dst\int_\alpha^\beta \dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=\int_\alpha^\beta \eta\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y}dx$
Con lo cual difiero con el signo negativo que aparece en la expresión del blog. Sospecho que esta ecuación integral también esta equivocada en este signo, aparte de en el de la integral que aparece erróneamente indefinida cuando debiera serlo.

[Weip]

Hago todos los pasos en detalle. Tienes la integral:

$\dst\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx$

Definimos $u=\partial F/ \partial y'$ y $dv=\eta' dx$. De aquí se obtiene:

$du=\dst\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}dx$

$v=\eta$

Integrando por partes queda:

$\dst\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=\frac{\partial F}{\partial y'}\eta |_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \eta\dst\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}dx$

Aplicando $\eta(a)=\eta(b)=0$ tenemos que el término de frontera se anula y queda:

$\dst\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y'}\eta' dx=-\int_{a}^{b} \eta\dst\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}dx$

Observa que este es el resultado que da el blog; cuando transcribiste la fórmula en tu primer mensaje te olvidaste una prima. Finalmente si sustituyes en la suma de integrales del blog, obtienes las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Solo por curiosidad, si tuviéramos dos puntos en una esfera de radio R definidos por las coordenadas $A=(R, \theta, \phi)$, y $B=(R, \theta, \phi)$, bien, la geodésica entre dos puntos sería el arco de circunferencia mayor que une dichos puntos y con radio en el origen. Pero, ¿Cómo podríamos calcularlo usando esta integral?

Ahora mismo no tengo más tiempo para comentarlo, espera a que otro usuario te responda y sino mañana lo haré yo mismo.

[inakigarber]

Gracias por tú respuesta, supongo que tu mensaje se me había quedado oculto mientras estaba revisando mi anterior post. Puedo esperar unos días a esperar a mi respuesta.

[Weip]

Hola de nuevo.

Gracias por tú respuesta, supongo que tu mensaje se me había quedado oculto mientras estaba revisando mi anterior post.

Bueno, cosas que pasan. Aún así, ¿entendiste bien mi solución? ¿Viste dónde está tu error? Al hacer integración por partes te has de fijar más porque muchas veces te dejas las primas.

Solo por curiosidad, si tuviéramos dos puntos en una esfera de radio R definidos por las coordenadas $A=(R, \theta, \phi)$, y $B=(R, \theta, \phi)$, bien, la geodésica entre dos puntos sería el arco de circunferencia mayor que une dichos puntos y con radio en el origen. Pero, ¿Cómo podríamos calcularlo usando esta integral?

Primero, recuerda que la métrica es $ds^2=d\theta^2+\sin^2(\theta) d\phi^2$ (suponemos radio unidad porque al final del día el radio de la esfera está fijado y no nos importa mucho su valor). La longitud de una curva que conecta los puntos $A$ y $B$ es:

$L=\dst\int_A^B ds=\dst\int_a^b \sqrt{d\theta^2+\sin^2(\theta) d\phi^2}=\dst\int_{\theta_A}^{\theta_B} \sqrt{1+\sin^2(\theta) \left(\frac{d\phi}{d\theta}\right)^2}d\theta$

Tenemos:

$F=\sqrt{1+\sin^2(\theta) \left(\dst\frac{d\phi}{d\theta}\right)^2}$

Y ahora sería cuestión de sustituir en la siguiente ecuación:

$\dst\frac{\partial F}{\partial \phi}-\dst\frac{d}{d\theta}\dst\frac{\partial F}{\partial \phi'}=0$

Me paro aquí porque la ecuación diferencial que sale es un poco pesada, pero espero que hayas podido ver cómo se procede. Lo importante es que la solución $\phi=\phi(\theta)$ sale un trozo de círculo máximo.

Aún así esto lo puedes hacer porque es la esfera, pero habitualmente en RG lo que se hace es resolver la llamda ecuación de las geodésicas:

$\dst\frac{d^2x^{\lambda}}{dt^2}+\Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}\dst\frac{dx^{\mu}}{dt}\dst\frac{dx^{\nu}}{dt}=0$

Si te fijas, de alguna forma es una segunda ley de Newton con un término de corrección.

[inakigarber]

Buenas noches, gracias por tu respuesta.

Hola de nuevo.
Bueno, cosas que pasan. Aún así, ¿entendiste bien mi solución? ¿Viste dónde está tu error? Al hacer integración por partes te has de fijar más porque muchas veces te dejas las primas.

Bueno, vamos a ver si ahora me sale bien, el tema de las primas se me ha liado un poco en los comentarios anteriores.
Partimos de;
$0=\dst\int_\alpha^\beta\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\eta+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'\right)dx$

$$0=\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y}\eta dx+\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx$$

Pongamos por ejemplo;
$\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx$
integrando por partes y haciendo, como tu, $u=\dfrac{\partial F}{\partial y'}$ y $dv=\eta' dx$, nos queda;
$\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx=\eta' \dfrac{\partial F}{\partial y'}\dst |_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta\eta'\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}dx$.
Como $\eta' \dfrac{\partial F}{\partial y'}\dst |_\alpha^\beta=0$. Con esto nos queda;
$\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx=-\int_\alpha^\beta\eta'\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}dx$.
Sustituyendo en la ecuación (1)
$0=\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y}\eta dx-\int_\alpha^\beta\eta'\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}dx$
$0=\dst\int_\alpha^\beta\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\eta-\eta'\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}dx\right)$
Si hacemos $\eta=\eta'$, podemos hacer factor común.
$0=\dst\int_\alpha^\beta\eta\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}\right)dx$
La única solución de esta integral es que el elemento entre paréntesis sea nulo, ya que $\eta$ no lo es. Por tanto nos queda;
$\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}=0$

Aún así esto lo puedes hacer porque es la esfera, pero habitualmente en RG lo que se hace es resolver la llamda ecuación de las geodésicas:

$\dst\frac{d^2x^{\lambda}}{dt^2}+\Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}\dst\frac{dx^{\mu}}{dt}\dst\frac{dx^{\nu}}{dt}=0$

Si te fijas, de alguna forma es una segunda ley de Newton con un término de corrección.

Luego esta magnitud se mide en unidades de $m/(seg)^2$, algo cuyo significado físico aún no entiendo.

[Weip]

integrando por partes y haciendo, como tu, $u=\dfrac{\partial F}{\partial y'}$ y $dv=\eta' dx$, nos queda;
$\dst\int_\alpha^\beta\dfrac{\partial F}{\partial y'}\eta'dx=\eta' \dfrac{\partial F}{\partial y'}\dst |_\alpha^\beta-\int_\alpha^\beta\eta'\dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial F}{\partial y'}dx$.

Cuidado, $v=\eta$, no $\eta'$. Por si acaso: la prima es una derivada. Cuando integras $dv=\eta'dx$ obtienes $v=\eta$. Te ha salido resultado "por conspiración" que suelo decir yo, es decir, sabiendo el resultado has supuesto condiciones como que el término de frontera se anula porque sí o $\eta=\eta'$. Haciendo el cálculo con la $v$ corregida debería salir.

Luego esta magnitud se mide en unidades de $m/(seg)^2$, algo cuyo significado físico aún no entiendo.

Es una aceleración. Tiene sentido, piensa en el espacio plano: si impones que la aceleración es cero obtienes una ecuación diferencial cuya solución es una línea recta. Haciendo lo análogo en un espaciotiempo curvo, obtienes geodésicas. Es después que se ve que las geodésicas son extremos locales de la longitud.