Divulgación Sobre la demostración del area de una esfera

[inakigarber]

Buenas tardes,
Picado por la curiosidad he tratado de demostrar la formula del área de una esfera, pero parece que he encontrado de nuevo mi propia incapacidad para entender nada.
Veamos, partiendo del volumen se deduce fácilmente;$A=\frac{\mathrm{d}_v }{\mathrm{d}_r}=4\pi R^2$, pero como esto es demasiado sencillo, he trarado de complicarlo un poco.
Supongamos la esfera como una suma de áreas de pequeños discos de radio r y altura dh, donde $0\leqslant r \leqslant R$, y donde $R^2=r^2+h^2$ (la ecuación del circulo). Entonces digo;

$$A_s=2\pi\int{r dh}=2\pi\int{\sqrt{R^-h^}} dh$$

Esta integral se resuelve como;

$$A_s=2\pi\left[ \frac{h}{2} \sqrt{R^2-h^2}+\frac{R^2}{2}arcsen(\frac{h}{R})}\right]$$

Sin embargo cuando trato de aplicar los limites de integración para h=R y h=-R no me da el resultado que esperaba. O sea que seguro que en algo me estoy equivocando.
Con lo cual he descubierto una forma de como no deducir el área de una esfera.
Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

Perdona que no te conteste directamente sobre tu razonamiento, pero la verdad es que no sabría cómo hacerlo. Juraría que las superficies se calculan con integrales dobles.
En este vídeo la hallan con una integral simple, pero utilizan una expresión que creo que es "prefabricada":

$A = 2 \pi \dst \int^{b}_a \sqrt{1+ \left(f'(x) \right)^2} dx$

Por ello, lo más fácil me parece calcular el volumen de una esfera mediante $V = \pi \dst \cdot \int_{a}^{b} \left( f(x) \right)^{2} dx$, como se hizo en este hilo y, posteriormente, como muy bien dices, hacer la derivada:

$A= \dst \frac{\dd V}{\dd r}$

[justinux]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Una forma sencilla es parametrizar la superficie de la esfera en coordenadas angulares, $\theta, \phi$ donde el primero va de 0 (polo norte) hasta $\pi$ (polo sur), y el segundo recorre un paralelo completo (desde 0 hasta $2\pi$. Ahora tomas un pequeño “parche” sustentado por una amplitud de angulo $\Delta \theta$ y $\Delta\phi$, es decir un pequeño “cuadrado” de lados, [/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta L_1 = R\Delta\theta$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta L_2 = R \sin \theta \Delta\phi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]estas expresiones vienen de la longitud de un arco de un meridiano (de radio R) que está a $\phi$ fijo, mientras el otro es la longitud de un arco de un paralelo ($\theta$ fijo) que a una latitud $\theta$ tiene de radio $R\sin\theta$. Así pues el área de este parche será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta A = R^2 \sin \theta \Delta\theta\,\Delta\phi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora haces los incrementos infinitesimales e integras cada angulo sobre su rango, y te da la expresión correcta del area de la superficie de la esfera.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

- - - Actualizado - - -

[FONT=Helvetica]PD.- creo que tu error al tratar de deducir la fórmula del área es que estás considerando cilindros “verticales”. Lo que debes hacer mas bien es considerar pequeños anillos, o secciones de un cono de pendiente $m =\frac{\sqrt{R^2-h^2}}{h}$, así al aumentar la altrura en un incremento de h, $\Delta h$, el ancho de los discos dependerá de h y de R, concretamente el ancho será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta w = m \Delta h =\sqrt{(\Delta r)^2 + (\Delta h)^2} = \sqrt{(1/m)^2 + 1} \Delta h = \frac{R}{\sqrt{R^2-h^2}} \Delta h$,[/FONT]
[FONT=Helvetica]y el radio medio de dichos discos es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]r =\sqrt{R^2-h^2}[/tex][/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Así pues el área de uno de estos anillos delgados es de,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta A = 2\pi r\Delta w = 2\pi R \Delta h$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora haces los incrementos infinitesimales e integras h desde -R hasta R, y obtienes el resultado. A=4\pi R^2 .[/FONT]

[The Higgs Particle]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora haces los incrementos infinitesimales e integras cada angulo sobre su rango, y te da la expresión correcta del area de la superficie de la esfera.[/FONT]

$dS = R^2 \sin(\theta) \dd \theta \dd \phi$

Consigo seguirte hasta aquí. ¿Cómo se hace la integración de dos variables diferentes ($\dd \phi, \dd \theta$)? No lo he hecho en mi vida y no sé si se hace así:

$S = \dst \int^{\pi}_{0} \int^{2 \pi}_{0} R^2 \sin(\theta) \dd \theta \dd \phi = R^2 \dst \int^{\pi}_{0} \sin(\theta) \dst \int^{2 \pi}_{0} \dd \phi \dd \theta$ $= 2 \pi R^2 \dst \int^{\pi}_{0} \sin(\theta) \left[ \phi \right]^{2 \pi}_{0} \dd \theta = 2 \pi R^2 \dst \int^{\pi}_{0} \sin(\theta)$ $\dd \theta =2 \pi R^2 \left\vert{} - cos(\theta)\right\vert{}^{\pi}_{0} = 2 \pi R^2 (1 - (-1)) = 4 \pi R^2$

[justinux]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

[FONT=Helvetica]Hola TheHiggsParticle,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Aunque en la PostData escribí una derivación sin integrales dobles, estas no son complicadas en realidad: definamos primero el jproblema.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Supongamos que F=F(x,y) es una función de dos variables definida en una cierta región del plano x-y., y $\Sigma$ es una región conexa en el dominio de F. Supognamos que $\Sigma$ además es simplemente conexa y el borde de dicha región la podemos parametrizar por dos curvas, la superior,$y = f_+(x)$ y otra inferior $y=f_-(x)$ donde x varía entre los valores $x_0$ y $x_1$. Los puntos (x,y) de la región $\Sigma$ cumplen que para cada $x\in (x_0,x_1)$ el punto (x,y) con $y\in(f_-(x),f_+(x))$ son puntos de $\Sigma$.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Entonces La integral de F sobre $\Sigma$,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\int_{\Sigma] F = \int_{\Sigma} F(x,y) \,dx dy$[/FONT]
[FONT=Helvetica]se define de manera análoga a como se hace con una integral de Riemann sobre una variable real, solo que aquí hay que hacer particiones de $\Sigma$ de área $\Delta x\Deltay$.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Ahora bien, tu pregunta es como se calcula esta integral. Pues bien, bajo condiciones muy generales, esta integral se puede convertir en una “integral doble”, es decir, una integral de una integral. Más concretamente, podemos escribir,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\int_{\Sigma}F(x,y)\, dxdy = \int_{x_0}^[x_1\left(\int_{f_-(x)}^{f_+(x) F(x,y) dy \right) dx$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]esta fórmula ha de entenderse del siguiente modo: la integral que hay dentro de los paréntesis [/FONT]
[FONT=Helvetica]$G(x) = \int_{f_-(x)}^{f_+(x)} F(x,y) dy$ [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]depende de x, ya que se hace a x fijo, y se integra y desde el extremo inferior $f_-(x)$ hasta el superior $f_+(x)$ , y luego este resultado G(x) se integra en x desde $x_0$ hasta $x_1$, de modo que se barren todos los puntos de $\Sigma$, es decir,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\int_{\Sigma} F(x,y) dxdy = \int_{x_0}^{x_1} G(x) dx$.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]En el caso que nos atañe, la región de integración es un rectángulo en el plano $\theta-\phi$ donde $\theta\in(0,\pi)$ y $\phi\in(0,2\pi)$. En este caso las funciones $f_\pm$ son simples constantes. Si tomamos $\theta$ con el papel de x, mientras que $\phi$ jugará el papel de y (podemos intercambiar los papeles, y el resultado será el mismo). Ahora bien, la función a integrar es simplemente [/FONT]
[FONT=Helvetica]$F(\theta,\phi) = \sin\theta$[/FONT]
[FONT=Helvetica] ya que $R^2$ es constante y la podemos sacar de la integral (que cumple linelaidad como en el caso usual). Así pue,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$G(\theta) = \int_0^{2\pi} \sin\theta d\phi = 2\pi \sin\theta$[/FONT]
[FONT=Helvetica]ya que aquí se toma $\theta$ como fijo, e integramos sobre $\phi$. Y finalmente, integramos esto sobre $\theta$,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\int_0^\pi 2\pi\sin\theta \, d\theta = -2\pi (\cos \pi - \cos 0) = 4\pi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]ya que la integral del seno es menos el coseno.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[inakigarber]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

[FONT=Helvetica]....[/FONT][FONT=Helvetica]PD.- creo que tu error al tratar de deducir la fórmula del área es que estás considerando cilindros “verticales”. Lo que debes hacer mas bien es considerar pequeños anillos, o secciones de un cono de pendiente $m =\frac{\sqrt{R^2-h^2}}{h}$, así al aumentar la altrura en un incremento de h, $\Delta h$, el ancho de los discos dependerá de h y de R, concretamente el ancho será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta w = m \Delta h =\sqrt{(\Delta r)^2 + (\Delta h)^2} = \sqrt{(1/m)^2 + 1} \Delta h = \frac{R}{\sqrt{R^2-h^2}} \Delta h$,[/FONT]
[FONT=Helvetica]y el radio medio de dichos discos es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$r =\sqrt{R^2-h^2}$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Así pues el área de uno de estos anillos delgados es de,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\Delta A = 2\pi r\Delta w = 2\pi R \Delta h$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora haces los incrementos infinitesimales e integras h desde -R hasta R, y obtienes el resultado. A=4\pi R^2 .[/FONT]

Si, ciertamente había considerado la esfera como una suma de cilindros delgados verticales. Esto no es más que una aproximación, pero creía que era cierta. El problema no esta por tanto en el desarrollo matemático, sino que partía de una proposición errónea. De momento, me he limitado a aplicar la formula general $A = 2 \pi \dst \int^{b}_a f(x)\sqrt{1+ \left(f'(x) \right)^2} dx$ lo cual me deja un poco insatisfecho, porque desconozco el origen de la formula. Pero bueno, seguiré "rumiando" mas sobre este tema. Un buen día seguro que encuentro la forma de como no deducir la formula del área de un cuadrado..
Saludos y gracias.
P.D.
La verdad es que había pensado que el problema era sencillo y tenia base para poder resolverlo, pero veo que nuevamente las integrales y mi ignorancia me han jugado una mala pasada.

[Alriga]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

... Si, ciertamente había considerado la esfera como una suma de cilindros delgados verticales ...

Iñaki, todos los cilindros infinitesimales que tú propones son completamente verticales y lo que probablemente sucede es que el límite de la suma de sus superficies puede no converger a la superficie de la esfera, que se va inclinando cada vez más conforme te vas acercando a los polos, como bien acaba de explicar Al2000 en el comentario de más abajo. A veces las apariencias engañan.

-Mira un ejemplo muy famoso: el límite de infinitas semicircunferencias infinitesimales tiende al diámetro, sin embargo el límite de sus longitudes no: Pi=2

-Y más fácil y sorprendente aún: La curva roja escalonada tiene como límite el segmento en pendiente, pero el límite de la longitud de la curva escalonada no es la longitud del segmento, Raíz de 2 es igual a 2

Y hay otros ejemplos así.

Saludos.

[Al2000]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

Si, ciertamente había considerado la esfera como una suma de cilindros delgados verticales. Esto no es más que una aproximación, pero creía que era cierta...

Hace bastantes años, cuando era un ingeniero recién graduado, en algún momento me planteé el mismo problema que tú, llegando al mismo resultado erróneo. Eventualmente comprendí que tenía que incluir en el análisis la inclinación del anillo para obtener el elemento de área correcto, pues en la medida que te mueves del ecuador a un polo de la esfera el anillo se inclina más y más. Si no deseas simplemente usar una fórmula que no sabes de donde sale, haz el dibujo del anillo y determina el ancho del anillo usando el teorema de Pitágoras.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

... De momento, me he limitado a aplicar la formula general $A = 2 \pi \dst \int^{b}_a f(x)\sqrt{1+ \left(f'(x) \right)^2} dx$ lo cual me deja un poco insatisfecho, porque desconozco el origen de la formula ...

Esa fórmula se deduce de hacer girar una curva $y=f(x)$ alrededor del eje de abcisas, lo que crea una superficie de revolución, (solo sirve para calcular áreas de superficies de revolución)

Mira aquí: Área de una superficie de revolución

O aquí: Superficie de revolución

Saludos

[inakigarber]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

Hace bastantes años, cuando era un ingeniero recién graduado, en algún momento me planteé el mismo problema que tú, llegando al mismo resultado erróneo. Eventualmente comprendí que tenía que incluir en el análisis la inclinación del anillo para obtener el elemento de área correcto, pues en la medida que te mueves del ecuador a un polo de la esfera el anillo se inclina más y más. Si no deseas simplemente usar una fórmula que no sabes de donde sale, haz el dibujo del anillo y determina el ancho del anillo usando el teorema de Pitágoras.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias por tu respuesta, me ha hecho mucha ilusión comprobar que otras personas también han pasado por los mismos errores que yo. Así, compruebo que no estoy solo, y que también mis equivocaciones han sido las de otros que también han aprendido de ellas.
Saludos.

- - - Actualizado - - -

Esa fórmula se deduce de hacer girar una curva $y=f(x)$ alrededor del eje de abcisas, lo que crea una superficie de revolución, (solo sirve para calcular áreas de superficies de revolución)

Mira aquí: Área de una superficie de revolución

O aquí: Superficie de revolución

Saludos

Lo tendré en cuenta. Pudiendo tener una formula general ¿Por qué conformarse con una formula útil solo en un caso particular?
Saludos.

[Al2000]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

Cuando "rebanas" la esfera para convertirla en una pila de discos (cilindros), la intuición falla cuando pensamos que la suma de las áreas perimetrales de los discos debe ser igual al área de la esfera; sin embargo, si es cierto que la suma de los volúmenes de los discos iguala el volumen de la esfera.

Como decía antes, hace muchos años discutí el caso con un profesor de cálculo y nunca obtuve una respuesta satisfactoria al por qué la aproximación falla en un caso y es buena en el otro. Sospecho que el error que se comete al no tomar en cuenta la inclinación del borde del disco es significativo cuando consideras el área del borde del disco pero no lo es cuando consideras todo el volumen del disco.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

... Pudiendo tener una formula general ¿Por qué conformarse con una formula útil solo en un caso particular? ...

No te equivoques. Es un caso particular muy común, y si se puede aplicar, el camino más sencillo tanto para calcular áreas como volúmenes.

Habitualmente, la integral general es mucho más difícil. Te aconsejo que siempre que tengas que calcular una superficie o un volumen por integración, mires primero si la superficie es de revolución y si lo es, lo apliques, te ahorrarás muchos dolores de cabeza,

Saludos.

[justinux]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
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[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Hay una fórmula bastante general para calcular el área de una superficie dada. Supongamos una superficie definida en forma paramétrica como[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x = \vec x(u,v)$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde u y v son parámetros cuyo rango está definido sobre la superficie, y $\vec x = (x,y,z)$ son las coordenadas del espacio euclideo. La anterior ecuación es en realidad tres ecuaciones paramétricas:[/FONT]
[FONT=Helvetica]$x = x(u,v), y = y(u,v), z=z(u,v)$[/FONT]
[FONT=Helvetica]que definen los puntos de la superficie en el espacio euclideo tridimensional.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Estas ecuaciones aramétricas definen curvas cuando u o v se mantienen constantes y se varía el otro parámetro (curvas coordenadas). Los vectores tangentes a dichas curvas son,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x_u =(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v))$[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x_v =(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde el subíndice u o v hacen referencia a la derivada parcial de dicho parámetro (respectivamente). Ahora bien, el elemento de área sobre la superficie en un punto donde se cruzan dos lineas coordenadas viene dado por el área del paralelogramo formado por los vectores tangentes a dichas curvas, es decir,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$dA = |\vec x_u\times \vec x_v| dudv,$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]donee las lineas verticales se refieren a la norma del vector y el símbolo $\times$ se refiere al producto vectorial. Es fácil ver que esta norma se puede escribir como,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$|\vec x_u\times\vec x_v| =\sqrt{|\vec x_u|^2|\vec x_v|^2 -|\vec x\cdot\vec x_v|^2}$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]El área de una superficie cualquiera dada en su forma paramétrica es por tanto,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$A = \int |\vec x_u\times\vec x_v| \, dudv = \int \sqrt{|\vec x_u|^2|\vec x_v|^2 -|\vec x\cdot\vec x_v|^2}\,dudv$ [/FONT]
[FONT=Helvetica] Esta es una fórmula muy general, y concretamente para el caso de una superficie de revolución, las ecuaciones paramétricas pueden escribirse como,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$z=h, x=f(h)\cos\phi,y=f(h)\sin\phi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde h es un parámetro (la altura, por ejemplo), f(h) es una función positiva, y $\phi$ es el ángulo de revolución que va de 0 hasta $2\pi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Entonces,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x_h = (f^\prime\,\cos\phi, f^\prime\,\sin\phi,1)$[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x_\phi= (-f\sin\phi,f\cos\phi,0)$[/FONT]
[FONT=Helvetica] donde $f^\prime$ es la derivada de f respecto de h.[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y por tanto,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$|\vec x_h\times\vec x_\phi| = \sqrt{1+(f^\prime)^2} \,f$[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y por tanto,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$A = \int f\sqrt{1+(f^\prime)^2} dhd\phi = 2\pi \int f\sqrt{1+(f^\prime)^2} dh$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde hemos integrado en $\phi$ puesto que el integrando no depende de este parámetro.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Esta fórmula nos da el resultado correcto para la esfera cuando hacemos $f(h)=\sqrt[R^2-h^2}$. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]La fórmla general también nos da otras expresiones cuando parametrizamos la esfera de otro modo, por ejemplo con la parametrización,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\vec x = (R\sin\tehta\cos\phi,R\sin\theta\sin\phi,R\cos\theta)$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde los parámetros angulares $\theta,\phi$ van de 0 a $\pi$ y de 0 a $2\pi$, respectivamente.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y finalmente, respecto al cálculo de la superficie de la esfera mediante cilindros verticales, supongo que también contribuirían a la superficie los sectores horizontales entre cilindro y cilindro consecutivos…. al final lo que se está calculanod ahí es el área de una superficie rugosa que envuelve a una esfera, y dependiendo de la rugosidad, el resultado puede ser arbitrario.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[justinux]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

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[FONT=Helvetica]Hace unas semanas iñakigarber posteó en el foro un intento de econtrar el área de la superficie de una esfera de radio R, y muchas de las respuestas (la mia incluida) pasaban por el uso de la integración. Voy a recuperar este hilo, ya que creo tengo algo mas que aportar: se puede demostrar la fórmula para el área de una esfera sin recurrir a la integración, y me pareció bonita, así que aquí va.[/FONT]
[FONT=Helvetica] Teniendo en cuenta que al parecer fue Arquímedes el que encontró su expresión y en esos tiempos no exixtía la noción de integral, me puse a pensar como se puede lograr esto. Si bien, he encontrado una forma que no usa el concepto de integral, si usa el concepto de límite, que creo Arquímedes lo usaba sin formalizar el concepto. También he corroborrado algunos textos y las demostraciones son muy similares a esta.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Para ser autocontenido partiré desde el principio para entre otras cosas mostrar que no se ha usado el concepto de integral en ningun caso.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Partiremos con el hecho de que como todos los círculos son semenjantes entre sí, el número que da la razón entre el perimetro y el diametro es el número $\pi = \frac{P}{D}$.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]En este post no voy a poner figuras, que probablemente ayudarán a visualizar mejor el procedimiento de demostración, pero por problemas técnicos no las incluiré, aunque trataré de explicar todo en palabras lo más explícito posible.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Definimos el ángulo formado por dos segmentos con un extremo común la longitud de arco que sustiende un radio unidad cuando va de uno de los segmentos a otro. Por la definición del número pi, tenderemos que el águlo va de 0 a $2\pi$. Además, la longitud de un arco de ángulo $\theta$ y radio R tiene un arco de $l = \theta R$.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Para determinar el área en el interior de un círculo, basta tomar un polígono regular de N lados inscrito en el círculo, y trazando segmentos desde los vertices del polígono hasta el centro dividimos el polígono en N triangulos isosceles. El área de cada uno de estos triangulos es [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_N= \frac{1}{2} L_n R_n$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde L_N es la base de cada triangulo que forma el polígono y R_n son la longitud de los apotemas de la hase de cada triangulo hasta el centro. El área total de este polígono será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_{PN} = \frac{N}{2}L_NR_N = \frac{1}{2} P_N R_N$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y ahora en el límite cuando N tiende a infinito el polígono tiende a confundirse con el círculo y las áreas denderán a ser iguales. Del mismo modo P_N, que es el jperimetro del polígono de N lados tenderá al perímetro del circulo y R_n, los apotemas tenderán al radio del círculo, y en consecuencia el área del cículo será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_C = \frac{1}{2}PR = \frac{1}{2} \pi DR = \pi R^2$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Del mismo modo podemos mostrar que el área de un sector de circulo sustentado por un ángulo $\theta$, tiene un área dada por,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_\theta = \frac{\theta}{2} R^2$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]El siguiente paso es encontrar el área de una superficie cónica de latura h y ángulo de apertura (o pendiente) $\alpha$. Para ello fijemonos que un cono se puede formar a partir de un circulo plano donde se le ha quitado un sector de circulo, o dicho de otro modo, a partir de la figura sustentada por un sector de círculo de ángulo [\theta y radio R, y pegando los radios extremos cuidadosamente. Esto formará un cono con las siguiebntes caractrísticas:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]altura $h = R\cos\alpha$[/FONT]
[FONT=Helvetica]el círculo de la base tiene un perímetro $R\theta$ que corresponderá a un radio $r=\frac{\theta}{2\pi} R$, pero a su vez, este radio es,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$r = R\sin\alpha$[/FONT]
[FONT=Helvetica]de donde los ángulos están relacionados de modo que [/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst \theta = 2\pi \sin\alpha$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Así pues, el área del cono que es igual al área del círculo truncado es igual a:[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_c = \frac{\theta}{2} R^2 = \pi \sin \alpha R^2$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y finalmente, antes de pasar al resultado importante, el área de la superficie de un tronco de cono cuyos extremos están a R_1 y R_2 del centro del cono completo será,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_{12} = \pi\sin\alpha \, (R_2^2-R_1^2) = 2\pi\sin\alpha R_{12} \bar{R}$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde $R_{12} = R_2 - R_1$ y $\bar{R} = \frac{R_1+R_2}{2}$ son las distancias entre los extremos y la distancia del punto medio hasta el centro cónico.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Y ahora pasamos al resultado interesante:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Sea$\bar{OO^\prime}$ un eje de rotación donde se sitúan los puntos O y O`, y sea el segmento $\bar{A_1A_2}$ un segmento fuera del eje de rotación. Sean $A_1^\prime, A_2^\prime$ los puntos proyectados de A_1 y A_2 ortogonalmente sobre el eje $\bar{OO^\prime}$. Sea M el punto medio en el segmento $\bar{A_1A_2}$ y $M^\prime$ el punto de intersección del apotema que cruza el segmento $\bar{A_1A_2}$ por M y cruza el eje $\bar{OO^\prime}$ en el punto $M^\prime$. Denotemos entre paréntesis $(\bar{PQ})$ la longitud del segmento dado entre paréntesis, es decir, en este caso la longitud del segmento $\bar{PQ}$ entre dos puntos P y Q cualesquiera).. Entonces el área del tronco cónnico construido por el segmento $\bar{A_1A_2}$ en revolución respecto del eje de rotación $\bar{OO^\prime}$ viene dada por la expresión,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_{12} = 2\pi (\bar{A_1^\prime A_2^\prime})(\bar{MM^\prime})$[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Para probar esto, asumamos que ni A_1 ni A_2 están en el eje OO`, y que el segmento [tex]\bar{A_1A_2}]/tex] forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal paralela a OO`. Si prolongamos este segmento hasta que corte el eje OO`en el punto P, entonces el área buscada es, como hemos indicado antes, y en terminos de estos segmentos,[/FONT]
[FONT=Helvetica] [/FONT]
[FONT=Helvetica]$\dst A_{12} = 2\pi (\bar{A_1A_2}) (\bar{MP})\sin\alpha$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Supongamos que A_2 es un punto que dista de OO’ más que el punto A_1, entonces trazamos una recta horizontal que pase por A_1 (paralela a OO`) y una recta vertical que pase por A_2 (y cruza ortogonalmente OO`pasando por $A_2^\prime$). Llamemos Q al punto de corte de estas dos rectas ortogonales trazadas. Ahora tracemos otra recta vertical que pase por M y que corta ortogonalmente el eje OO` en el punto S. Es fácil darse cuenta que los triangulos $(A_1A_2Q)$ y $(MSM^\prime)$ son semejantes al triangulo (PMS). Por tanto tenemos que,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\dst \frac{(\bar{A_2Q})}{(\bar{A_1A_2})} =\frac{(\bar{MS})}{(\bar{MM^\prime})}$ [/FONT]
[FONT=Helvetica]y además, $(\bar{MS})=(\bar{PM}) \sin\alpha$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y teniendo en cuenta que $(\bar{A^\prime_1A^\prime_2}) = (\bar{A_1Q})$ obtenemos el resultado deseado que el area sustentada al hacer rotar el segmento A_1A_2 sobre el eje OO` viene dado por,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\dst A_{12}= 2\pi (\bar{A^\prime_1A^\prime_2})(\bar{MM^\prime})$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Este resultado se mantiene tanto si uno de los extremos del segmento toca el eje OO` o si dicho segmento es paralelo al eje OO`como puede verse facilmente.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Ahora trazamos una semicircunferencia de radio R cortada por el eje OO` y sean los puntos A_0 y A_Nlos extremos de la semicircunferencia que tocan al eje OO`, y consideremos los puntos A_1, A_2, etc sobre la semicircunferencia, tales que los segmentos $\bar{A_0A_1}, \bar{A_1A_2}, …, \bar{A_{N-1}A_N}$, son cuerdas de esta semicircunferencia y tienen longitudes iguales L_n. Entonces los apotemas de estos segmentos serán todos de igual longitud R_N y coincidirán todos en el centro de la semicircunferencia.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Por tanto el área de este poligono en revolución será la suma de las figuras de revolución de cada lado, es decir,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$A_{PN} = A_{01} + A_{12} + \dots + A_{(N-1)N} = 2\pi ( (A^\prime_0A^\prime_1) + (A^\prime_1A_2^\prime) +\dots (A^\prime_{N-1}A^\prime_N)) R_N$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Pero la suma de las proyecciones de los segmentos inscritos dan justamente el diametro de la esfera que inscribe el poligono. O sea,[/FONT]
[FONT=Helvetica] $A_{PN} = 2\pi D R_N$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]y finalmente cuando aumentamos el número de segmentos con longitudes cada vez más pequeñas, el poligono se aproxima a la semicircunferencia y la figura de revolución se aproxima cada vez más a la esfera, de modo que en el límite de N tendiendo a infinito el area $A_{PN}$ tiende al area $A_S$ de la esfera y los apotemas $R_N$ tienden al radio de la esfera R, es decir,[/FONT]
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[FONT=Helvetica]$\dst A_S = 2\pi D R = 4\pi R^2$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]como queríamos demostrar.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Saludos[/FONT]

[inakigarber]

Re: Sobre la demostración del area de una esfera

Gracias por tu mensaje, no lo he visto hasta hoy. Me parece muy interesante y lo quiero mirar detenidamente. Hay algunos comandos de $Latex$ que no aparecen correctamente, no obstante lo estoy mirando con detenimiento.
Saludos.