Consulta sobre ecuación de Lagrangiana y cálculo de geodésicas.

[inakigarber]

Buenas noches.

Si para calcular una geodésica puedo hacerlo igualando a 0 la siguiente ecuación;
$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot t}-\dfrac{\partial L}{\partial t}=0$
ó bien;
$\dfrac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}-\Gamma^i_{pq}\dfrac{\partial x^p}{\partial t}\dfrac{\partial x^q}{\partial t}=0$
es que ambas ecuaciones expresan exactamente lo mismo, es decir, son equivalentes. Bien, en la primera ecuación tenemos una resta de una segunda derivada (es decir, la derivada de una derivada del Lagrangiano menos una primera derivada del Lagrangiano, todo ello igualado a 0.
En la segunda ecuación tenemos una segunda derivada de una de las coordenadas menos uno o varios símbolos de Christoffel (productos de valores del tensor métrico inverso multiplicando a operadores diferenciales) multiplicado por un producto de derivadas, esto también igualado a 0. De manera que visualmente ambas ecuaciones tienen algunas similitudes, pero parecen no representar lo mismo.
¿Cómo podría demostrarse que son lo mismo?

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola inakigarber. Las ecuaciones de las geodésicas no salen de la ecuación de Euler-Lagrange que has escrito, que vendría a ser la versión newtoniana. Como indiqué en el anterior hilo, debes escoger un parámetro afín $\lambda=a\tau+b$ y escribir el lagrangiano:

$L=\dst\frac{1}{2}g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

Ahora, las ecuaciones de las geodésicas se calculan como la ecuacion de Euler-Lagrange del anterior lagrangiano, que es relativista:

$\dst\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}}=\frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}}$

Lo que queda sería cuestión de calcular. Por ejemplo:

$\dst \frac{\partial L}{\partial x^{\alpha}}=\frac{1}{2}(\partial_{\alpha}g_{\mu\nu})\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}$

$\dst\frac{d}{d\lambda}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^{\alpha}}=g_{\mu\alpha}\ddot{x}^{\mu}+(\partial_{\beta}g_{\mu\alpha})\dot{x}^{\beta}\dot{x}^{\mu}$

Sustituyendo la ecuación de Euler-Lagrange y haciendo un par de pasos algebraicos (dejar $\ddot{x}^{\mu}$ solo y simetrizar una derivada) obtendrás los símbolos de Christoffel en la parte de la izquierda, y con ello la ecuación de las geodésicas.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta. Como ya lo mencionas, este hilo está relacionado con este otro, donde ya me disteis tanto tu como Richard R Richard entre otros suficiente información que parece no he entendido correctamente. Había entendido que las ecuaciones de las geodésicas y la ecuación de Euler Lagrange representaban lo mismo, pero veo que esta es una equivocación por mi parte.

Por continuar con el ejemplo que Richard proponía en el mencionado hilo y que correspondía a un cuerpo en caída libre radial ($\theta$ y $\varphi$ constantes) y al que le correspondía el siguiente Lagrangiano;
$L=\dfrac{1}{2}\left [\left(c^2\left(1-\dfrac{a}{r}\right)\dot{t}^2\right)-\left (1-\dfrac{a}{r}\right)^{-1}\dot r^2\right]$
En dicho hilo Richard calcula las correspondientes derivadas, algunas de las cuales sí consigo calcularlas, pero las otras no.
$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot t}=c^2(1-\dfrac ar)\dot t$
$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot r}=-\dfrac{\dot r}{(1-\dfrac ar)}$
$\dst\frac{\partial L}{\partial t}=c^2(1-\dfrac ar)\ddot t$
$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}+\dfrac{a \dot r^2}{2(r-a)^2}$
Las dos primeras derivadas me coinciden plenamente, las dos últimas me resultan mas complicadas y se me resisten, los resultados que obtengo no me coinciden, supongo que por error mío.
Los resultado que a mí me salen son; (aplico la derivada del producto en ambos casos)

$\dst\frac{\partial L}{\partial t}=c^2(1-\dfrac ar)(\ddot t \dot t)$
$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a c^2\dot t^2}{r^2}-\dfrac{2\ddot r \dot r\left(1-\dfrac{a}{r}\right)-\dfrac{\dot r^2 a}{r^2}}{\left(1-\dfrac{a}{r}\right)^2}\right)$

[Richard R Richard]

Yo sigo sin poder hallar un resultado que se aproxime a la solución geodésica, y hasta tanto no quiero introducir mas interrogantes, que respuestas a tu hilo.

[carroza]

Richard R Richard , inakigarber , a efectos de calcular lagrangianas y trayectorias, y de pasar del tiempo propio, o del parámetro afín que indica Weip , no os valen las acuaciones en las que se pasa de las derivadas de r y t con respecto al tiempo propio $\tau$, a las derivadas de r con respecto a t, que se desarrollan en el hilo siguiente?

https://forum.lawebdefisica.com/foru...e-schwarzchild

Quizás merezca la pena hacer un esfuerzo para completar razonablemente lo que sabemos, o dejar dicho lo que no sabemos, de estos hilos relacionados de relatividad. Todo con la ayuda inestimable de Weip , que es nuestro guru en estos temas.

Un saludo

[inakigarber]

Buenas tardes;

Ando un poco perdido (más bien bastante), además no he tenido tiempo de revisar el hilo que nos indicas con detalle. ¿significa esto que las formulas que escribí en mi anterior post son incorrectas? supongo que sí.

[Weip]

Hola a todos, para desencallar un poco el hilo voy a calcular dos ecuaciones de las geodésicas de un espaciotiempo Schwarzschild, las de $r$ y $t$, a partir del lagrangiano que comenté, $L=g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}x^{\nu}$. El $1/2$ es indiferente, si quereis ponerlo bien y si no también, las ecuaciones serán las mismas. El lagrangiano desarrollado sin notación de índices es:

$L=-\dst\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\dot{t}^2+\left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\dot{r}^2+r^2\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta \dot{\phi}^2\right)$

El punto significa derivada respecto $\lambda=a\tau+b$. Por ejemplo:

$\dot{r}=\dst\frac{dr}{d\lambda}$

Vamos a cacular las ecuaciones de Euler-Lagrange, primero de la ecuación $t$. Tenemos:

$\dst\frac{\partial L}{\partial t}=0$

$\dst\frac{d}{d\lambda}\dst\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}=\frac{d}{d\lambda}\left(-2\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\dot{t}\right)=-2\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\ddot{t}-2\frac{2GM}{r^2}\dot{t}\dot{r}$

La ecuación resultante es:

$-2\dst\left(1-\frac{2GM}{r}\right)\ddot{t}-2\frac{2GM}{r^2}\dot{t}\dot{r}=0$

Dividiendo entre $-2(1-2GM/r)$:

$\boxed{\ddot{t}+\dst\frac{2GM}{r(r-2GM)}\dot{t}\dot{r}=0}$

Observar que obtenemos la misma ecuación de las geodésicas cuando la calculamos con símbolos de Christoffel.

Para la ecuación $r$ procedemos de la misma manera:

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=-\frac{2GM}{r^2}\dot{t}^2-\frac{2GM}{(r-2GM)^2}\dot{r}^2+2r\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta \dot{\phi}^2\right)$

$\dst\frac{d}{d\lambda}\dst\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=2\left(1-\dst\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\ddot{r}-2\frac{2GM}{(r-2GM)^2}\dot{r}^2$

Ecuaciones de Euler-Lagrange:

$2\left(1-\dst\frac{2GM}{r}\right)^{-1}\ddot{r}-2\dst\frac{2GM}{(r-2GM)^2}\dot{r}^2=-\dst\frac{2GM}{r^2}\dot{t}^2-\frac{2GM}{(r-2GM)^2}\dot{r}^2+2r\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta \dot{\phi}^2\right)$

Procediendo de manera análoga a antes y con un poco de álgebra se llega a:

$\boxed{\ddot{r}+\dst\frac{2GM}{r^3}\left(r-2GM\right)\dot{t}^2-\frac{GM}{r(r-2GM)}\dot{r}^2-(r-2GM)(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta \dot{\phi}^2)=0}$

Las otras dos ecuaciones de las geodésicas salen:

$\boxed{\ddot{\theta}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}-\sin\theta \cos\theta \dot{\phi}^2=0}$

$\boxed{\ddot{\phi}+\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\phi}+2\cot\theta \dot{\theta}\dot{\phi}=0}$