Problema sobre ecuación exponencial

[inakigarber]

Buenas noches;

El otro día se me planteo una ecuación cuya solución me pareció trivial, pero que me está trayendo por la calle de la amargura. Es fácil resolverla gráficamente con un programa del tipo Geogebra, pero quisiera resolverla algebraicamente y no consigo cómo.

He aquí la ecuación;
$x 5^x=33$

En principio tengo una ecuación y una incógnita, por lo que no debería tener problemas, he recurrido también a los logaritmos pero no consigo resolverla.
Si defino $x=5^a$ y como $Log_{5} (33)=2,1752$. Tendríamos por logaritmos;
$a+x=2,1752$, de manera que tengo dos incógnitas en una sola ecuación.

¿Cómo lo plantearíais vosotros?

Saludos y gracias.

[delmar7]

Hola

Es una ecuación en que la obtención de x , no es a tráves de operaciones o funciones elementales, no se puede despejar x, existen metódos numéricos para resolver esas ecuaciones de una sola variable o también con softawre, sin embargo hay una forma sencilla esta ecuación se puede poner de la forma :

$e^{ln x} \ e^{x ln 5}=e^{ln 33}\Rightarrow ln x+x ln 5=ln 33 \Rightarrow ln x+x ln 5-ln 33=0$ esto ha de cumplir la solución y se puede poner de la forma :

$f(x)=ln x+x ln 5-ln 33=0$ la solución es la intersección de la función f(x) con el eje X, analizando, el dominio de f(x) es $x>0$ es continua y derivable con continuidad :

$f'(x)=\frac{1}{x}+ ln 5$ averiguando condición para que sea creciente $f'(x)>0 \Rightarrow \frac{1}{x}+ ln 5 >0 \Rightarrow \frac{1}{x}> - ln 5$ eso se cumple en su dominio, luego siempre es estrictamente creciente y esto implica que solamente hay solución única. Esto facilita las cosas considerar $a<b$ tal que $f(a)<0, \ \ f(b)>0$ por ejemplo a=1 y b=2, al cambiar el signo implica que la solución esta entre 1 y 2 aumentando a y dismiinuyendo b se va precisando el valor de x el proceso termina cuando $b-a<TOL$ donde TOL es la tolerancia por ejemplo 0.0001, este proceso se puede hacer en una hoja de cálculo , excel por ejemplo

Saludos

[Alriga]

He aquí la ecuación;

$$x \ 5^x=33$$

...ecuación cuya solución me pareció trivial...

Pues tu "parecer" estaba equivocado

...quisiera resolverla algebraicamente y no consigo cómo...

Es que no se puede, ésta es una Ecuación trascendente en la que no se puede "despejar la x", hay que resolverla mediante métodos numéricos.

De la misma manera que hay integrales que no se pueden expresar mediante funciones elementales, hay ecuaciones en las que no es posible aislar la incógnita usando funciones algebraicas y funciones exponenciales, trigonométricas y sus funciones inversas. Y este es uno de esos casos.

Hay muchas ecuaciones trascendentes en Física, algunas importantísimas, se me ocurre ahora por ejemplo la ecuación correspondiente a la Segunda Ley de Kepler, ley que determina la velocidad instantánea de un planeta a lo largo de una órbita elíptica: "el radio vector Sol-planeta barre áreas iguales en tiempos iguales" cuya expresión matemática es:

$M=E-e\cdot \sin E$

Los datos son la anomalía media $\boldsymbol M$ y la excentricidad de la órbita $\boldsymbol e$ y la incógnita, que no se puede despejar, es la anomalía excéntrica $\boldsymbol E$

En estos casos, las soluciones se hallan mediante métodos numéricos. Por ejemplo, mediante el Método de Newton-Raphson tu ecuación, escrita en la forma:

$x \ 5^x-33=0$

Converge rápidamente a la solución $x=1.80542135\dots$ en muy pocas iteraciones.

Saludos.

[Abdulai]

Buenas noches;

El otro día se me planteo una ecuación cuya solución me pareció trivial, pero que me está trayendo por la calle de la amargura. Es fácil resolverla gráficamente con un programa del tipo Geogebra, pero quisiera resolverla algebraicamente y no consigo cómo.

He aquí la ecuación;
$x 5^x=33$
....

Como ya te han dicho, la solución de esa ecuación no puede expresarse en términos de funciones elementales.

En esa clase de ecuaciones el camino normal es por métodos numéricos, pero en este caso particular existe una función especial llamada W de Lambert que te permite resolverla.
Es útil mientras uses un sotware que la incluya, si no estás en la misma y no hay otra que métodos numéricos.

La idea es llevar tu ecuación a una forma $z\,e^z = y$ y por su definición será $z=W(y)$

Acá hacemos: $(\underbrace{x\ln 5}_{=z})e^{(x\ln5)} = 33\ln5\;\;\longrightarrow\;\; x\ln5 = W(33\ln5)$

En Python por ejemplo:

from numpy import log
from scipy.special import lambertw

print(lambertw(33*log(5))/log(5))

(1.8054213469548368+0j)

[inakigarber]

Pues tu "parecer" estaba equivocado

Totalmente de acuerdo

He decidido rendirme a la evidencia. $x 5^x=33$, lo cual implica que $5^x=33/x$, de manera que tengo dos funciones a cada lado de la igualdad. A partir de aquí he usado Geogebra. Saludos y gracias.