Problema sobre calculo de la derivada covariante de un tensor.

[inakigarber]

Buenas noches;

Me he planteado el siguiente problema que me tiene un poco confundido. He pretendido demostrar que la derivada covariante de un tensor métrico, en este caso en coordenadas esféricas es cero, pero me debo haber equivocado en algo y estoy un poco liado.

Los elementos del tensor son ,$g_{11}=1$, $g_{22}=r^2$ y $g_{33}=r^2 Sen^2(\theta)$.

La fórmula para el cálculo de la derivada covariante es;
$g_{jk;q}=\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{jk}g_{sk}-\Gamma^s_{kq}g_{js}$

Parto del elemento $g_{11}=1$ porque me parece el más sencillo al ser una constante y tener derivada nula, por lo que la expresión general arriba indicada me queda;

$g_{11;q}=-\Gamma^s_{1k}g_{sk}-\Gamma^s_{1q}g_{js}$, pero en coordenadas esféricas hay dos símbolos de Christoffel no nulos con un 1 en el subíndice que si no estoy equivocado
son;

$\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=\dfrac{1}{r}$ y $\Gamma^3_{31}=\Gamma^3_{13}=Cotg(\theta)$ y no encuentro la forma de anularlos.


¿Que debo hacer para seguir?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola el subíndice $s$ es dummy va de 1 a 3

además solo puede sumar cuando $s=k$ porque la matriz es diagonal,

es decir $g_{11;q}=-\Gamma^s_{1k}g_{sk}-\Gamma^s_{1q}g_{js}$ tiene 6 sumandos , y no veo ninguno distinto de cero.

Saludos

[Richard R Richard]

Me he puesto a pensar porque entusiasmo fórmula pones $g_{ii}$ y no su derivada.
La definición de la derivada covariante,de u tensor covariante es

$\dst \nabla_{\nu}V_{\mu}=\partial_<br /> {\nu}V_{\mu}- \Gamma^{\rho}_<br /> {\nu \mu}V_{\rho}$
Y si es directamente $g_{ii}$ pero no hay una doble serie de restas.
En tu natación

$g_{jk;q}=\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{jk}g_{sk}$

Te queda

$g_{11;q}=-\Gamma^s_{11}g_{sk}$

Que son todos cero.

[inakigarber]

Gracias por tus respuestas, creo que los subíndices me jugaron una mala pasada.

Ahora si me sale todo bien.

Partimos de

$$\left(\begin{matrix}1 & 0& 0\\0 & r^2 &0 \\ 0 & 0 & r^2 Sen^2 (\theta)\end{matrix}\right)$$

$$\left(\begin{matrix}1 & 0& 0\\0 & r^{-2} &0 \\ 0 & 0 & r^{-2} Sen^{-2} (\theta)\end{matrix}\right)$$

$$x^1=r, x^2=\theta ,x^3=\varphi$$

Las derivadas no nulas;

$\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^1}=2r$

$\dfrac{\partial g_{33}}{\partial x^1}=2rSen^2 (\theta)$

$\dfrac{\partial g_{33}}{\partial x^2}=2r^2Sen(\theta)Cos(\theta)$

Símbolos de Christoffel no nulos;

$\Gamma^1_{22}=-r$

$\Gamma^1_{33}=-rSen^2 (\theta)$

$\Gamma^2_{21}=\Gamma^2_{12}=1/r$

$\Gamma^2_{33}=-Sen(\theta)Cos(\theta)$

$\Gamma^3_{31}=\Gamma^3_{13}=1/r$

$\Gamma^3_{32}=\Gamma^3_{23}=Cotg(\theta)$

Ahora, aplicando la fórmula general $g_{jk;q}=\dfrac{\partial g_{jk}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{jq}g_{sk}-\Gamma^2_{kp}g_{js}$

Caso 1, j=k=1

$g_{11;q}=\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{1q}g_{s1}-\Gamma^2_{1p}g_{1s}$.
Eso obliga a que s=1, lo cual implica símbolos de Christoffel con superíndice igual a 1 y con uno de los subíndices también igual a uno, los cuales son nulos. Luego la condición se cumple para j=k=1.

Caso 2, j=k=2

En ese caso;

$g_{22;q}=\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{2q}g_{s2}-\Gamma^2_{2p}g_{2s}$

$g_{22;2}=2r-2\dfrac{r^2}{r}=0$

Caso 3, j=k=3

$g_{33;q}=\dfrac{\partial g_{33}}{\partial x^q}-\Gamma^s_{3q}g_{s3}-\Gamma^3_{3p}g_{3s}$

En este caso tendremos dos casos posibles, q=1 y q=2. En el primer caso;

$g_{33,1}=2rSen^2(\theta)-\dfrac{2r^2 Sen^2(\theta)}{r}=0$

Para el caso segundo;

$g_{33,2}=2r^2Sen(\theta)Cos(\theta)-2Cotg(\theta)r^2 Sen^2(\theta)=0$

A menos que me haya colado en algo, yo lo veo así.

[inakigarber]

Reflexionando un poco sobre el tema,

Considero el tensor métrico como una especie de vara de medir que utilizaríamos para medir distancias, por ejemplo en coordenadas esféricas por seguir con el ejemplo anterior. El hecho de que la derivada covariante de un tensor con respecto a sus coordenadas de base $r, \theta, y\ \ \varphi$ significaría que la "vara de medir" permanece invariante a lo largo de una superficie. Lo que variará serán las proyecciones que un vector paralelo produciría sobre los ejes de dicha "vara de medir". Lo voy a poner en una imagen, porque creo que no me he expresado claramente.

Los vectores rojos darán proyecciones distintas según sean medidos por el observador situado en A o en B.

Entiendo, por tanto que todos los tensores métricos presentan una divergencia nula con respecto a las bases de coordenadas del propio tensor. De otra madera estaríamos utilizando "varas de medir" que cambian según nos movemos a lo largo del espaciotiempo.

¿Es esto correcto?

Saludos y gracias.

[carroza]

Hola, inakigarber . Entiendo que tu eres más especialista que yo en temas de geometría y relatividad. No obstante, dejame que comparta mi idea de los que es un tensor métrico, y hasta qué punto es una "vara de medir". Probablemente lo que cuento sea trivial, o incluso incorrecto. Ya tu me corregiras.

En principio, para definir un punto P en un espacio, podemos dar una parametrización, en términos de una serie de coordenadas, que son completamente arbitrarias. En un espacio de tres dimensiones, podemos usar, para caracterizar el punto P las coordenadas cartesianas $(x, y, z)$, las coordenadas polares $(r, \theta, \phi)$, o cualquier conjunto arbitrario de tres números reales $(a, b, c)$ con el único requerimiento de que, dados los tres números, tengamos un procedimiento para encontrar el punto en el espacio al que corresponda. En esa situación, tenemos un espacio, pero no tenemos definido un concepto de distancia entre un puntp P y otro punto P'.

El paso siguiente es suponer que nuestra parametrización es continua, de forma que si P está cercano a P', y "cercano" es algo que los matematicos definen de forma estricta, pero que para los físicos es intuitivo, las coordenadas de P, $(a, b, c)$ están "cercanas" a las de P', $(a', b', c')$ . Si definimos las diferencias de las coordenadas de P y P' como los números pequeños $(da, db, dc)$, entonces podemos definir una "distancia" entre P y P' que viene dada por la cantidad
$ds^2 = \begin{pmatrix} da & db & dc \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_{aa} & g_{ab} & g_{ac} \\ g_{ba} & g_{bb} & g_{bc} \\ g_{ca} & g_{cb} & g_{cc} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} da \\ db \\ dc \end{pmatrix}$

La matriz $\begin{pmatrix} g_{aa} & g_{ab} & g_{ac} \\ g_{ba} & g_{bb} & g_{bc} \\ g_{ca} & g_{cb} & g_{cc} \end{pmatrix}$, cuyos elementos son funciones arbitraruas del punto P, es decir, de las coordendasas $(a, b, c)$, constituyen el tensor métrico, y eefctivamente, nos dan la "regla" que nos mide las distancias en el entorno del punto P. Esa regla, no obstante, depende de la parametrización que hayamos elegido para caracterizar el punto. Si cambia la parametrización, cambia el tensor métrico.

En el entorno de un punto P, siempre podemos buscar unas coordenadas, que llamamos (x, y, z), funciones de (a, b, c), para las cuales el tensor métrico se hace diagonal. Sin embargo, conforme nos separamos del punto P, el tensor métrico no se mantienen diagonal en general. Eso lo podemos describir, dicoendo que la "regla" varía conforme variamos el punto del espacio. Esto courre cuando tenemos un espacio que es intrinsecamente curvo, independientemente de nuestra elección de coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas espéricas que mencionas, esas corresponden a una geometría plana. Con el tensor metrico que pones para coordenadas esféricas, si lo expresaras en coordenadas cartesianas, el tensor métricos sería
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$,

Por tanto, yo interpreto que, en el caso que pones, la "regla" es la misma. No varía según el punto. Lo que ocurre es que, al usar coordenadas esféricas, pones unas "divisiones" a tu regla, es decir, unas coordenadas $(r, \theta, \phi)$ que varían según el punto, pero la métrica, es decir, los valores de la distancia que obtienes, es la misma en todos los puntos del espacio, como podrías obtener si pusieras las "divisiones" cartesianas.

Sin embargo, si tuvieramos curvatura intrínseca, que es lo que nos pasa en relatividad general cuando hay masas, sí que puedes interpretar que varía la "regla".

Espero que esto sea útil.

Un saludo

[inakigarber]

Gracias por tu comentario.

Hola, inakigarber . Entiendo que tu eres más especialista que yo en temas de geometría y relatividad. No obstante, dejame que comparta mi idea de los que es un tensor métrico, y hasta qué punto es una "vara de medir". Probablemente lo que cuento sea trivial, o incluso incorrecto. Ya tu me corregiras.

Yo creo que considerarme a mi como especialista es un poco exagerado y no veo forma de mejorar tu comentario. Eso lo dejo para otros más capacitados que yo en este foro, que los hay.

La idea de abrir el hilo me vino a partir de haber visualizado este video en el que se demuestra la fórmula de los símbolos de Christoffel de segundo orden a partir del hecho de que la derivada covariante de un tensor con respecto a sus coordenadas es nula, lo que nos viene a decir que el tensor métrico es una invariante con respecto a sus coordenadas de base. Luego, el tensor métrico no cambia con respecto a las coordenadas de base que definen ese tensor, por lo que este es invariante a los cambios que puedan tener $r, \theta\ \ y\ \ \varphi$. Lo que ocurrirá, volviendo al dibujo que inserté en el post #5 es que los valores de las coordenadas del vector en rojo cambiarán de un sistema de referencia a otro (como es lógico) al cambiar la orientación del tensor métrico debido a la curvatura del espacio, pero el tensor métrico en sí permanecerá invariante.

Yo al menos lo veo así.

[carroza]

Hola, inakigarber . He visto el video que enlazas, y creo que ya entiendo el punto que indicas sobre la invariancia del tensor métrico con respecto a hacer derivadas covariantes.

Efectivamente, el tensor métrico es lo que nos permite calcular distancias entre dos puntos cercanos P y P'. Por otro lado, cuando nos desplazamos del punto P al punto Q a lo largo de una geodésica, el punto P' se transforma en el punto Q', de forma que el hecho de que la derivada covariante del tensor métrico se anule $D_c g_{ab} = 0$, nod dice que la distancia del punto P al P' es igual a la distacia del punto Q al Q'. Por tanto, curiosamente, si entendemos el tensor métrico como una regla, y desplazamos los puntos por georésicas, las distancias se conservan, a pesar de que el propio tensor métrico cambie de forma arbitraria.

Una cuestión curiosa es que, aunque $D_c g_{ab} = 0$, la derivada segunda covariante del tensor métrico, $D_d D_c g_{ab} = R_{dcab}$ n.o tiene por qué anularse en el general, y, si no estoy confundido, da lugar al tensor de Riemann que indica la curvatura intrínseca, y que está relacionada en relatividad general con el tensor energía impulso.

Una cosa: la métrica que pones corresponde, en coordenadas esféricas, a una geometría plana en tres dimensiones. Por tanto, en ese caso tanto $D_c g_{ab} = 0$, como $D_d D_c g_{ab} = R_{dcab} = 0$

Un saludo y gracias

[inakigarber]

Hola, inakigarber . He visto el video que enlazas, y creo que ya entiendo el punto que indicas sobre la invariancia del tensor métrico con respecto a hacer derivadas covariantes.
...
Una cuestión curiosa es que, aunque $D_c g_{ab} = 0$, la derivada segunda covariante del tensor métrico, $D_d D_c g_{ab} = R_{dcab}$ n.o tiene por qué anularse en el general, y, si no estoy confundido, da lugar al tensor de Riemann que indica la curvatura intrínseca, y que está relacionada en relatividad general con el tensor energía impulso.

Una cosa: la métrica que pones corresponde, en coordenadas esféricas, a una geometría plana en tres dimensiones. Por tanto, en ese caso tanto $D_c g_{ab} = 0$, como $D_d D_c g_{ab} = R_{dcab} = 0$

Un saludo y gracias

Me llama mucho la atención, porque parecería lógico pensar que estamos hablando de la derivada de una constante y por lo tanto debería ser cero ¿o no?

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola inakigarber.

Me llama mucho la atención, porque parecería lógico pensar que estamos hablando de la derivada de una constante y por lo tanto debería ser cero ¿o no?

Saludos y gracias.

Quizás aquí se ha producido una pequeña confusión: si bien es cierto que el tensor de Riemann está completamente determinado por la métrica, su relación con ella es más complicada. Tal como intuyes, la segunda derivada covariante de la métrica también se anula, así que no podemos usarla para definir la curvatura. Para precisar más, es posible escribir el tensor de Riemann en términos de la métrica. La fórmula es horrible, pero sería coger la siguiente fórmula en términos de símbolos de Christoffel e ir sustituyéndolos por la fórmula habitual en términos de $g_{\mu\nu}$:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\partial_{\mu}\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu}-\partial_{\nu}\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\gamma}\Gamma^{\gamma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$

Para obtener el tensor de Riemann como segundas derivadas (normales) de la métrica, sí se puede hacer un truco, que no es general: si escogemos un sistema de referencia inercial local alrededor de un punto cualquiera, entonces:

$R_{\alpha\beta\mu\nu}=\frac{1}{2}\left(\partial_{\beta}\partial_{\mu}g_{\alpha\nu}+\partial_{\alpha}\partial_{\nu}g_{\beta\mu}-\partial_{\beta}\partial_{\nu}g_{\alpha\mu}-\partial_{\alpha}\partial_{\mu}g_{\beta\nu}\right)$

Aún así el concepto que tenemos en mente es fundamentalmente correcto, pasa que la implementación técnica es un poco complicada. La manera en la que definimos el tensor de Riemann es la siguiente. Si $V^{\alpha}$ es un vector tangente:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}V^{\beta}=[\nabla_{\mu}, \nabla_{\nu}]V^{\alpha}=\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}V^{\alpha}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu}V^{\alpha}$

Aquí estamos asumiendo que no hay torsión, como en RG (es decir, los símbolos de Christoffel son simétricos). Es decir, la curvatura la medimos como un conmutador entre segundas derivadas covariantes, pero no de la métrica, si no de un vector $V^{\alpha}$. El concepto es el siguiente: Cogemos un vector en un punto $p$ y lo trasladamos paralelamente por un camino en la dirección $\mu$ y luego por un camino en la dirección $\nu$. Este sería el primer término de la definición. Luego repetimos, cogemos el vector en el punto $p$ y lo trasladamos paralelamente por un camino en la dirección $\nu$ y luego por un camino en la dirección $\mu$. Fijaos que hemos cogido los caminos al revés, dando lugar al segundo término de la definición. Si el espaciotiempo fuera plano, al comparar los resultados obtendríamos el mismo, por tanto la curvatura se anularía. Pero en general no tienen porqué ser iguales esos dos términos, por tanto lo utilizamos para medir la curvatura. Por lo que he explicado antes esta curvatura es intrínseca porque se puede determinar solamente a partir de la métrica, así que el tensor de Riemann es una buena medida de curvatura. Pasa que es complicada, tiene muchas componentes, por eso se siguen usando las curvaturas de Ricci, Weyl y escalar, porque aún teniendo información parcial, son más tratables (el tensor de Ricci una vez fijadas uans coordenadas es fundamentalmente una matriz, y de matrices sabemos mucho).

Espero haber aclarado un poco el asunto.

[carroza]

Muchas gracias, Weip . Por mi parte has aclarado mucho el asunto.

Una aclaración para un ignorante: El operador $\nabla_\nu$ que pones en tu ultima expresión, ¿es diferente de $\partial_\nu$ de tu primera expresión, y entiendo que es distinto también de la derivada covariamte $D_\nu$ de los mensajes anteriores?

Ok. Aclarado.Veo que Richard R Richard usa desde el principio usa $\nabla_\nu$ como notación para la derivada covariante. inakigarber usa la notación $g_{\alpha \beta ; \nu}$. Finalmente yo, para meterr más ruido, he usado $D_\nu$

Gracias de nuevo

Un saludo

[Richard R Richard]

Hola carroza , Los símbolos que uso no es que lo haga siguiendo un criterio esclarecedor , sino que proviene la nomenclatura seguida por el libro que use cuando leí el tema de algebra vectorial y RG.
Recuerdo vagamente que al principio de dicho libro la nomenclatura era bastante rígida,va tomando criterios no se si más laxos pero si más generales cuando entra la sumación de Einstein, digamos que usan convenios de notación comunes para los un poco más avanzados en el tema.

https://www.ugr.es/personal/bert-janssen

https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf

ver página 78 ,la 100 y 117
y el apéndice A

Para mi $\partial$ responde a una derivada direccional y se usa otro símbolo el que sea para la derivada covariante $\nabla$ que no es un simple cálculo de derivación en una variable, sino un sumatorio de un conjunto de estas derivadas de un tensor con una lógica precisa, con la idea que el resultado continúa siendo un tensor e invariante ante cambio de coordenadas.
Se usa coma o punto y coma para separar los subíndices de una componente de un tensor respecto de los subíndices que reflejan la variable por la cual fue derivada la componente, si es una derivada parcial se usa coma , si es covariante se usa punto y coma... si mal no recuerdo, no encontré la página aún, creo que también es convención para la derivada parcial usar un punto arriba y el superindice de la componente por la que se esta derivando pero eso en coordenadas curvilineas.