Sobre la deducción de las bases coordenadas en coordenadas esféricas a partir de las coordenadas cartesianas.

[inakigarber]

Buenas noches;

He tratado de deducir las bases coordenadas en coordenadas esféricas a partir de las coordenadas cartesianas, pero no lo consigo. De manera que debo estar siguiendo un camino equivocado.

Para ello he partido de las siguientes relaciones;

$x=RSen(\theta)Cos(\varphi)$
$y=RSen(\theta)Sen(\varphi)$
$z=RCos(\theta)$

He comprobado que las relaciones son correctas, pero no puedo avanzar más. Partiendo de aquí ¿que pasos debería dar para deducir los valores del tensor métrico en coordenadas esféricas?

$\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & r^2 & 0\\0&0&r^2 Sen^2 (\theta) \end{matrix}\right)$

Saludos.

[teclado]

El tensor métrico se aplica a diferenciales y no a las coordenadas en sí. Si partes de tus ecuaciones:

$<br /> \begin{aligned}<br /> x&=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\\<br /> y&=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\\<br /> z&=r\cos(\theta)<br /> \end{aligned}<br />$

Puedes direfernciarlas (algo así como derivarlas, pero teniendo en cuenta todas las posibles variables y sus cambios dentro de un proceso), y te quedaría algo como lo que sigue:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \dd x &= \dd r \sin(\theta)\cos(\varphi) + \dd\theta r\cos(\theta)\cos(\varphi) - \dd\varphi r\sin(\theta)\sin(\varphi)\\<br /> \dd y &= \dd r \sin(\theta)\cos(\varphi) + \dd\theta r\cos(\theta)\sin(\varphi) + \dd\varphi r\sin(\theta)\cos(\varphi)\\<br /> \dd y &= \dd r \cos(\theta) - \dd\theta r\sin(\theta)<br /> \end{aligned}<br />$

Cuando uno quiere una métrica $g_{ij}$ que reproduzca esto, parte de las coordenadas cartesianas, y exige que dicha métrica cumpla lo siguiente:

$<br /> \begin{aligned}<br /> (\dd x\ \dd y\ \dd z) \left ( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ) \left ( \begin{aligned} & \dd x\\& \dd y\\& \dd z\end{aligned}\right ) = \dd x^2 + \dd y^2 + \dd z^2<br /> \end{aligned}<br />$

Deberás comparar esta expresión, haciendo las sustituciones anteriores, con la expresión siguiente para deducir cada elemento de la métrica esférica:

$$<br /> (\dd r\ \dd \theta\ \dd \varphi) \left ( \begin{matrix} g_{rr} & g_{r\theta} & g_{r\varphi} \\ g_{\theta r} & g_{\theta\theta} & g_{\theta\varphi} \\ g_{\varphi r} & g_{\varphi\theta} & g_{\varphi\varphi} \end{matrix} \right ) \left ( \begin{aligned} \dd r\\ \dd \theta\\ \dd \varphi \end{aligned} \right )<br />$$

Para hacer esto deberás desarrollar las expresiones matriciales que acabo de escribir, y llevarlas al dominio de $(\dd r, \dd\theta,\dd\varphi)$, para compararlas. Encontrarás que te quedan tres términos, uno en $\dd r$, otro en $\dd \theta$ y otro en $\dd \varphi$, cuyos coeficientes son cuadrados perfectos, y que vas a poder extraer para que tenga sentido una ecuación del tipo (1) que coincide con tu resultado.

Saludos.

[inakigarber]

Buenas noches;

Muchas gracias por tú comentario.

El cálculo ha sido un tanto laborioso así que he utilizado una calculadora y sí que coincide. De manera que podríamos decir que para deducir el tensor métrico en un sistema de coordenadas $(a,b,c)$ a partir del tensor métrico en otro sistema de coordenadas conocido (por ejemplo el cartesiano) $x,y,z$, deberemos expresar las coordenadas conocidas $x, y, z$ en función de las nuevas coordenadas a,b y c, obtener las derivadas totales y luego multiplicarlas en este producto matricial.

¿Es así?

[teclado]

Correcto. Aunque no es que sean vectores, puedes pensar en los diferenciales $\dd r$,... como linealmente independientes, de modo que puedes igualar de forma independiente los coeficientes de $\dd r^2$,... en los dos miembros de una ecuación.