Divulgación Consulta sobre aplicación de la ecuación de Euler Lagrange

[inakigarber]

Buenas noches;

Planteo un problema que no se muy bien como resolver.
Dada una función $F=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$ Calcular los valores de la ecuación Euler-Lagrange.
Parto para ello de la ecuación;
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}-\left(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)=0$
Para empezar parto de calcular;
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^p x^q}{2 \sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}$
y de calcular también
$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{g_{pq} \dot x^p}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}$
Para simplificar establecemos que $\dfrac{ds}{dt}=\dot s=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$
Estos dos valores me coinciden con los del solucionario, pero cuando trato de calcular
$-\left(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)$ y o[btener el resultado final, obtengo el siguiente resultado;
$\dfrac{g_{pk}\dot x^p \ddot s}{s}=-\dfrac{\dot x^p \dot x^s}{2}\dfrac{\partial g_{pq}}{x^k}+g_{pk}\dot x^p$
Sin embargo el solucionario añade un término adicional $\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^p \dot x^q$ que no consigo averiguar por donde sale.

Saludos.