Divulgación Consulta sobre aplicación de la ecuación de Euler Lagrange

[inakigarber]

Buenas noches;

Planteo un problema que no se muy bien como resolver.
Dada una función $F=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$ Calcular los valores de la ecuación Euler-Lagrange.
Parto para ello de la ecuación;
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}-\left(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)=0$
Para empezar parto de calcular;
$\dfrac{\partial F}{\partial x^k}=\dfrac{\dot x^p x^q}{2 \sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}\dfrac{\partial g_{pq}}{\partial x^k}$
y de calcular también
$\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}=\dfrac{g_{pq} \dot x^p}{\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}}$
Para simplificar establecemos que $\dfrac{ds}{dt}=\dot s=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q}$
Estos dos valores me coinciden con los del solucionario, pero cuando trato de calcular
$-\left(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial F}{\partial \dot x^k}\right)$ y o[btener el resultado final, obtengo el siguiente resultado;
$\dfrac{g_{pk}\dot x^p \ddot s}{s}=-\dfrac{\dot x^p \dot x^s}{2}\dfrac{\partial g_{pq}}{x^k}+g_{pk}\dot x^p$
Sin embargo el solucionario añade un término adicional $\dfrac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^p \dot x^q$ que no consigo averiguar por donde sale.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Hola!

Por inspección visual, ese término que señalas viene claramente de la regla de la cadena, $\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^q} \dot{x}^p \dot{x}^q = \left(\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\frac{\partial x^q}{\partial t}\right)\dot{x}^p=\left(\frac{d}{dt}g_{pk}\right) \dot{x}^p$. El problema de fondo viene del término anterior, de $\frac{d}{dt}\left(\frac{g_{pk}\dot x^p}{s}\right)$, pues no se puede considerar constante $g_{pk}$: depende de las coordenadas $x^r(t)$. Por tanto, hay que aplicar la regla de la cadena también aquí,

$\frac{d g_{pk}}{dt}=\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^r}\dot x^r$

de forma que aparece ese término extra, $\frac{1}{s}\frac{\partial g_{pk}}{\partial x^q}\dot x^q\dot x^p$ que sí tiene el solucionario.

Además, diría que la expresión "$\dot s=\sqrt{g_{pq}\dot x^p\dot x^q} = s$" no es correcta, sino:

$\dot s=\frac{1}{2s}\frac{d}{dt}\left(g_{pq}\dot x^p\dot x^q\right)$.

Por último, creo que hay un error en la segunda equación que escribes. Creo que debería ser. $\dot x^p\dot x^q$, no $\dot x^p x^q$.