1r ciclo Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

[[Beto]]

Este es otro ejercicios que no me sale, a ver si me ayudan un poco:

Determine las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo descrito por un elipsoide de semiejes a,b,c.

En esta parte lo que yo entiendo es lo siguiente:

El elipsoide tiene la siguiente ecuación:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

Además los vértices del paralelepípedo estarán dados por:

• $P_1=(x_1,y_1,z_1)$
• $P_2=(-x_1,y_1,z_1)$
• $P_3=(-x_1,-y_1,z_1)$
• $P_4=(x_1,-y_1,z_1)$
• $P_5=(x_1,y_1,-z_1)$
• $P_6=(-x_1,y_1,-z_1)$
• $P_7=(-x_1,-y_1,-z_1)$
• $P_8=(x_1,-y_1,-z_1)$

Y el volumen vendría a estar dado por:

$$V=2^3x_1y_1z_1$$

Es decir tendría que maximizar la función (1.2), con la condición de que $(x_1,y_1,z_1)$, cumplan la ecuación del elipsoide.

Lo que se me a ocurrido usar Lagrange:

$$V_\lambda=2^3xyz-\lambda(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1)$$

Mis dudas son dos:

• Me se el método con dos variables $(x,y)$, al tener tres ¿cómo en este caso? ¿cambia en algo?
• ¿Hay alguna otra forma sin necesidad de asumir que los lados del paralelepípedo son paralelos a los ejes?

Gracias de antemano

[carroza]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Hola. Tu ecuación (1.1) no es la de un elipsoide. Es la de un plano que corta a los ejes en (a,0,0), (0.b,0) y (0,0,c).

La ecuación de un elipsoide es
$(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 =1$

Hacerlo por multiplicadores de lagrange es correcto.

Si los lados no son paralelos a los ejes, entonces no tienes un paralelepipedo, ya que las aristas no serían perpendiculares.

Luego te digo una forma elegante de resolver este problema.

[[Beto]]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Hola. Tu ecuación (1.1) no es la de un elipsoide. Es la de un plano que corta a los ejes en (a,0,0), (0.b,0) y (0,0,c).

La ecuación de un elipsoide es
$(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 =1$

Es cierto, me faltaron colocar los cuadrados

Luego te digo una forma elegante de resolver este problema.

Ok

[carroza]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Bueno, resuelvelo por multiplicadores de lagrange, y cuando obtengas la solución, te digo un atajo para resolverlo más rapido. Si no pones la solución estándar, no tiene gracia el atajo.

[[Beto]]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Bueno, resuelvelo por multiplicadores de lagrange, y cuando obtengas la solución, te digo un atajo para resolverlo más rapido. Si no pones la solución estándar, no tiene gracia el atajo.

Bueno, aplicando multiplicadores de Lagrange sería así:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\partial V_\lambda}{\partial x}&=8yz-2\lambda\frac{x}{a^2}=0\\<br /> \frac{\partial V_\lambda}{\partial y}&=8xz-2\lambda\frac{y}{b^2}=0\\<br /> \frac{\partial V_\lambda}{\partial z}&=8xy-2\lambda\frac{z}{c^2}=0\\<br /> \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}&=1\\<br /> \end{aligned}$$

Multiplico las tres primeras ecuaciones miembro a miembro, y obtengo que:

$$\lambda^3=xyz$$

Luego reemplazando en cada una de las tres primeras ecuaciones se tiene que $\lambda=0$ (pero esto implicaría que $x=y=z=0$ y no se cumpliría la cuarta ecuación) o $4\lambda^2=\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$ de donde si se reemplaza en la cuarta ecuación $\lambda=\pm\dfrac{\sqrt 3}{6}$.

Pero como se trata de un volumen las soluciones para $x,y,z$, tienen que ser positivas, por tanto tomo $\lambda=\dfrac{\sqrt 3}{6}$, de donde se obtiene que:

$$x=\frac{a\sqrt 6}{3}\;y=\frac{b\sqrt 6}{3}\;z=\frac{c\sqrt 6}{3}$$

Con lo que el volumen máximo del paralelepípedo es:

$$V=\frac{16\sqrt 6abc}{9}$$

Si me he equivocado en algo agradezco cualquier corrección.

[carroza]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Neofebo, tu ecuacion 4.2 no es correcta, y tu solución 4.3 no está sobre el elipsoide.

Si lo haces bien, te debe salir
$x=a/\sqrt{3}, y=b/\sqrt{3}, z=c/\sqrt{3}$

[[Beto]]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Neofebo, tu ecuacion 4.2 no es correcta, y tu solución 4.3 no está sobre el elipsoide.

Es cierto, estoy fallando mucho en operar

Acá la corrección:

Multiplico las tres primeras ecuaciones miembro a miembro, y obtengo que:

$$\frac{\lambda^3}{(abc)^2}=64xyz$$

Luego reemplazando en cada una de las tres primeras ecuaciones se tiene que $\lambda=0$ (pero esto implicaría que $x=y=z=0$ y no se cumpliría la cuarta ecuación) o $\dfrac{\lambda^2}{16(abc)^2}=\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$ de donde si se reemplaza en la cuarta ecuación de (4.1) se obtiene $\dfrac{\lambda^2}{16(abc)^2}=\dfrac{1}{3}$.

Luego reemplazando en las tres primeras ecuaciones de (4.1) tengo que:

$$x=\frac{a}{\sqrt3}\;y=\frac{b}{\sqrt3}\;z=\frac{c}{\sqrt3}$$

Con lo que el volumen máximo del paralelepípedo es:

$$V=\frac{8abc}{3\sqrt{3}}$$

[carroza]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Ahora, una solución más rápida del problema.

Si tenemos un paralelepípedo inscrito en un elipsoide, y su volumen es máximo, seguirá siendo máximo si reescalamos cualquiera de las dimensiones del elipsoide, con el paralelepipedo inscrito.
Al fin y al cabo, es como cambiar nuestra escala de medida, en cada una de las tres dimensiones.

Pues bien, vamos a reescalar las dimensiones del elipsoide, a, b, c, hasta obtener una esfera de redio unidad. Para ello, tenemos que reescalar las dimensiones en la dirección x, y y z en factores que respectivamente son 1/a, 1/b, y 1/c.

Y ahora nos preguntamos: Cuál es el paralelepípedo inscrito en una esfera de radio unidad, de volumen máximo. Es obvio que debe ser un cubo inscrito en la esfera, que tiene coordenadas de sus vértices $x=\pm 1/\sqrt{3}$, $y=\pm 1/\sqrt{3}$, $z=\pm 1/\sqrt{3}$.

Si ahora reescalamos de vuelta a la esfera, para que se convierta en el elipsoide, el cubo se nos reescala en un paralelepípedo de dimensiones $x=\pm a/\sqrt{3}$, $y=\pm b/\sqrt{3}$, $z=\pm c/\sqrt{3}$.

[[Beto]]

Re: Volúmen máximo de paralepípedo contenido en un elipsoide

Vaya, si está bonita la solución.

[Macjcgz]

Paralelepipedo mas grande que puede ser inscrito en un elipsoide si las aristas son paralelas al eje de coordenadas

Buenos días, me encuentro con este problema un tanto complicado que se dio en clase. Mi profesor no pudo responder a mis preguntas y no pude resolverlo. Después de un tiempo dando vueltas en mi cabeza me gustaría saber si alguien pueda resolver el problema y explicar el procedimiento. Agradecería muchísimo. Este es el problema:

1.-Calcule el volumen del paralelepípedo más grande que puede ser inscrito en el elipsoide 36x² + 9y² + 4z² = 36 si las aristas son paralelas a los ejes coordenados.

Gracias de antemano.

[carroza]

Re: Paralelepipedo mas grande que puede ser inscrito en un elipsoide si las aristas son paralelas al eje de coordenadas

Hola.

Entiendo que por el paralelepipedo más grande, te refieres al que tiene mayor volumen. Este tendrá ocho vértices, en los ocho octantes del elipsoide, con coordenadas $\pm X, \pm Y, \pm Z$, con $X, Y, Z$ positivos. El volumen de este paralelepipedo es $V =8 X Y Z$, y si está inscrito en el elipsoide, entonces los vértices cumplen $36 X^2 + 9 Y^2 + 4 Z^2 = 36$.

Usando los multiplicadores de Lagrange, tienes que hacer extrema la función $F(X,Y,Z,\lambda) = 8 X Y Z - \lambda (36 X^2 + 9 Y^2 + 4 Z^2 - 36)$

Saludos

[Alriga]

Re: Paralelepipedo mas grande que puede ser inscrito en un elipsoide si las aristas son paralelas al eje de coordenadas

Hola Macjggz bienvenido a La web de Física, en primer lugar, como nuevo miembro lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

La ecuación general de un elipsoide es:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$

En tu caso particular:

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{2^2}+\dfrac{z^2}{3^2}=1$

El procedimiento de cálculo es el que te indica carroza y el resultado general que se obtiene es:

$X=\dfrac a {\sqrt 3}$

$Y=\dfrac b {\sqrt 3}$

$Z=\dfrac c {\sqrt 3}$

$V=8 X Y Z=\dfrac{8 a b c}{3 \sqrt 3}$

Que en tu caso particular es:

$X=\dfrac 1 {\sqrt 3}$

$Y=\dfrac 2 {\sqrt 3}$

$Z=\dfrac 3 {\sqrt 3}$

$V=8 X Y Z=\dfrac{16}{\sqrt 3}$

Si quieres puedes mirar un par de hilos con ejemplos de resolución de ejercicios mediante Multiplicadores de Lagrange aquí:

http://forum.lawebdefisica.com/threa...714#post173714

http://forum.lawebdefisica.com/threa...707#post173707

Si te encallas en algo, vuelve a preguntar.

Saludos.