1r ciclo Ecuación de Euler

[[Beto]]

Hola, esta parte no la tengo muy clara, pero suponiendo que tengo una función de la siguiente forma:

$$J=\int_{x_1}^{x_2}f(y,y';x)\dd x$$

La condición necesaria para que $J$ sea extremal es:

$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)=0$$

Entonces si aplico esto y obtengo una función, tal que $y=y(x)$, ¿esa función siempre es la que hace que $J$ tome su valor mínimo o en que casos toma valor máximo?

Por ejemplo si quisiera calcular la distancia entre dos puntos haría lo siguiente:

$$J=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'}\dd x$$

Para determinar la funcion $y$ que hace que esa distancia sea la mínima tendría que aplicar la condición de Euler y obtener una recta ¿cierto?

Bueno gracias de antemano

[Dj_jara]

Re: Ecuación de Euler

Por ejemplo si quisiera calcular la distancia entre dos puntos haría lo siguiente:

$$J=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'}\dd x$$

Para determinar la funcion $y$ que hace que esa distancia sea la mínima tendría que aplicar la condición de Euler y obtener una recta ¿cierto?

Bueno gracias de antemano

Bueno creo que la y' debería ir al cuadrado $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{y''\sqrt{1+y'^2} + \frac{y'y''}{\sqrt{1+y'^2}}}{1+y'^2} = 0\\<br /> y''(1+y'^2) + y' y'' = 0\\<br /> y''(1+y' + y'^2) = 0<br />$
la parte 1+y' + y'^2 para cualquier valor real que tenga va a ser siempre estrictamente mayor que cero, así que lo que queda es
$y'' = 0$ que se puede resolver integrando o como ecuación diferencial de coeficientes constantes o a ojo lo que da es
$y = A+Bx$

Que es la recta que se esperaba. Yo ahora mismo no me se ningún método "matemático" para saber si el valor extremal es máximo o mínimo (creo que no me enseñaron ningún método), pero a ojo se puede saber dependiendo del ejercicio, por ejemplo en este caso, dado 2 puntos no tiene sentido encontrar una solución que haga la distancia máxima (o no mínima), para el caso de mecánica ya esta el principio de hamilton que te dice que será mínima xDD

[[Beto]]

Re: Ecuación de Euler

Bueno creo que la y' debería ir al cuadrado

Si debe de ser al cuadrado

[pod]

Re: Ecuación de Euler

Yo ahora mismo no me se ningún método "matemático" para saber si el valor extremal es máximo o mínimo (creo que no me enseñaron ningún método), pero a ojo se puede saber dependiendo del ejercicio, por ejemplo en este caso, dado 2 puntos no tiene sentido encontrar una solución que haga la distancia máxima (o no mínima), para el caso de mecánica ya esta el principio de hamilton que te dice que será mínima xDD

Pues tienes simplemente que comprobar el signo de la derivada variacional segunda.

[[Beto]]

Re: Ecuación de Euler

Pues tienes simplemente que comprobar el signo de la derivada variacional segunda.

¿Un ejemplo?

[pod]

Re: Ecuación de Euler

¿Un ejemplo?

Por ejemplo, la acción del oscilador armónico,

$$S = \int \dd t\ \Big( {x'}^2 - x^2 \Big) \ ,$$

primera derivada

$$\frac{\delta S}{\delta x} = \int\dd t\ \Big( - 2x'' - 2x \Big) \ ,$$

de igualar esto a cero sale la ecuación de E-L del sistema, simplemente $x''+x=0$. Sea $L' = - 2x'' - 2x$. La seguna derivada

$$\frac{\delta^2 S}{\delta x^2} = \int\dd t\ \left( \frac{\dd^2}{\dd t^2} \frac{\partial L'}{\partial x''} - \frac{\dd}{\dd t} \frac{\partial L'}{\partial x'} + \frac{\partial L'}{\partial x} \right) = \int\dd t\ (-2) < 0 .$$

Por lo tanto, la ecuación de E-L da el mínimo de la acción.

[eljose]

Re: Ecuación de Euler

mi duda es ¿que condiciones extra habria que imponer si ponenmos condiciones de contorno siguientes ??

$y(a)=1$ $y(b)=t$ donde 't' es un parametro cualquiera que tambien habria que optimizar

¿y si pusieramos condiciones $y(a)=1$ $y(t)=b$

- en el primer caso y(b) podria valer cualquier cosa, en el segundo es hallar el minimo tal que en un punto determinado valdria y(t)=b