1r ciclo Función suprayectiva

[Visitante]

¿Existe una función de R en R que sea suprayectiva en cualquier intervalo del dominio?

[Weip]

Re: Función suprayectiva

Hola. $f(x)=\dst \lim_{n \to \infty} \tan(n!\pi x)$ es suprayectiva en todo intervalo abierto siempre que exista el límite (si no existe defines $f(x)=0$). La demostración la tienes en este enlace. ¿Te sirve?

[alexpglez]

Re: Función suprayectiva

No conocía que esa función hacía esa cosa tan rara...

Mirando el pdf, tengo una duda. ¿Qué significan los corchetes que se ven al definir x en el apartado 2, por ejemplo:

$$\lim_{n \to \infty} n! \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{[kr]}{k!}=0$$

?

Gracias a ambos. Podría haber terminado la carrera y creer sin poder demostrar que la respuesta a la pregunta de Malevolex es negativa

PD: Me autorespondo, es la parte entera

[Visitante]

Re: Función suprayectiva

Hola. $f(x)=\dst \lim_{n \to \infty} \tan(n!\pi x)$ es suprayectiva en todo intervalo abierto siempre que exista el límite (si no existe defines $f(x)=0$). La demostración la tienes en este enlace. ¿Te sirve?

Vaya no sabía que existiese esta función con límite, pero me han dicho que se puede conseguir una que tiene una expresión que no usa límite, integrales... ¿La que has puesto es única o hay más formas?

[alexpglez]

Re: Función suprayectiva

$$\lim_{n \to \infty} n! \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{[kr]}{k!}=0$$

Estoy espeso y no consigo demostrar eso... ¿Alguna idea?
Lo he intentado hacer viendo que es decreciente pero me queda, llamando a:

$$a_n=n! \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{[kr]}{k!}$$

$$a_{n+1}=(n+1)a_n-\frac{[r(n+2)]}{n+2}$$

Y no sé como seguir para ver que es decreciente...

Gracias

[Weip]

Re: Función suprayectiva

Vaya no sabía que existiese esta función con límite, pero me han dicho que se puede conseguir una que tiene una expresión que no usa límite, integrales...

Mmm una expresión que use integrales y cumpla la propiedad no conozco la verdad, habría que pensarlo.

¿La que has puesto es única o hay más formas?

Hay más, de hecho el ejemplo típico es la función de Conway, lo que pasa es que no me gusta ponerla porque es complicada de entender. En cambio si pongo $f(x)=\dst \lim_{n \to \infty} \tan(n!\pi x)$, todos sabemos de lo que estamos hablando.

Estoy espeso y no consigo demostrar eso... ¿Alguna idea?
Lo he intentado hacer viendo que es decreciente pero me queda, llamando a:

$$a_n=n! \sum_{k=n+2}^{\infty} \frac{[kr]}{k!}$$

$$a_{n+1}=(n+1)a_n-\frac{[r(n+2)]}{n+2}$$

Y no sé como seguir para ver que es decreciente...

Gracias

La verdad es que siguiendo ese camino no estoy seguro de si se llega a buen puerto aunque tampoco lo he pensado mucho. A mí se me ha ocurrido una demostración pero es muy larga y ciertamente complicada, se basa en usar la desigualdad $\left[ kr\right]<kr$, ir operando hasta tener dos series, calcular la del miembro derecho y aplicar la regla del Sandwich. Al final me sale que el límite es cero, pero intentaré pensar alguna prueba más sencilla porque si el artículo no la detalla es porque de alguna manera se puede deducir de forma más o menos rápida.