1r ciclo Calculo de primitivas

[pherving]

Estoy un poco atascada en el calculo de la siguiente primitiva:

$\int_{}^{} \frac{1}{(3x+2)\sqrt{x^2+x-1}}\, dx$

Alguien me puede echar un cable?

Muchs gracias

[pod]

Re: Calculo de primitivas

Creo que haciendo un cambio del estilo

$$x = \frac{\sqrt 5}{4} (z+z^{-1}) - \frac12\ ,$$

se te convertirá en una integral de un polinomio en el denominador.

[pherving]

Re: Calculo de primitivas

Lo siento, pero no consig ver como has llegado a eso...

[pod]

Re: Calculo de primitivas

Lo siento, pero no consig ver como has llegado a eso...

¿Tu pregunta es cómo he llegado a ese cambio en concreto?, o ¿Cómo utilizas ese cambio para simplificar la integral?

[pherving]

Re: Calculo de primitivas

Mi pregunta es como has llegado a ese cambio en concreto

[pod]

Re: Calculo de primitivas

Mi pregunta es como has llegado a ese cambio en concreto

De hecho son tres cambios encadenados.

1) Completar cuadrados dentro de la raíz:

$$\begin{aligned}<br /> x^2+x-1 & = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54\\<br /> & = \frac54 \left[ \left( \frac2{\sqrt5} x + \frac1{\sqrt5} \right)^2 - 1\right] \\<br /> &= \frac54 \left( u^2 - 1 \right) \ ,<br /> \end{aligned}$$

2) Para deshacerme del todo de la raíz cuadrada, hago el cambio $u = \cosh y$, ya que $\cosh^2 y - 1 = \sinh^2 y$; y ese seno hiperbólico se cancela con el que viene del diferencial.

3) Para convertir el coseno hiperbólico en un polinómio uso

$$\cosh y = \frac12 \left( \eee{y} + \eee{-y} \right) = \frac12 \left( z + z^{-1} \right) \ .$$

Juntándolo todo, tienes el cambio que te di.

[pherving]

Re: Calculo de primitivas

Ahora si, gracias!