2o ciclo Integral de superficie

[rruisan]

Tengo estos problemas que no entiendo como resolverlos cualquier cualquier consejo se los agradeceria.

1.- Sea S un paralelogramo de lados no paralelos a ningun eje coordernado. Sean $S_1,S_2 y S_3$ las areas de las proyecciones de S sobre los planos coordenados. Demostrar que el area de S es $\sqrt{S^2_1+S^2_2+S^3_3}$

2.- Sea S la superficie del cubo unidad $0\leq x\leq 1, 0\leq y \leq 1, 0\leq z \leq 1$ y sea ${\bf n}$ la normal unitaria exterior a S. Si $F(x,y,z)=x^2 i + y^2j + z^2 k$ empleamos el teorema de la divergencia para calcular la integral de superficie $\int \int F.n ds$. Comprobar el resultado calculando la integral de superficie directamente.

[alespa07]

Re: Integral de superficie

Wenas. El primer problema me lo tengo que mirar ( a ver si tengo tiempo hoy o si alguien te ayuda). En cuanto al segundo problema no es muy difícil. Por el teorema de la divergencia sale enseguidad (supongo que saber hacerlo sino pregunta) y por integración directa tienes que parametrizar bien tus superficies y reconocer (son fáciles, no hace falta calcularlos) los vectores normales y listo.
Saludos.

[rruisan]

Re: Integral de superficie

El segungo ya me salio pero para el primero no tengo idea como hacerlo! cualquier consejo te lo agradeceria.

[carroza]

Re: Integral de superficie

1.- Sea S un paralelogramo de lados no paralelos a ningun eje coordernado. Sean $S_1,S_2 y S_3$ las areas de las proyecciones de S sobre los planos coordenados. Demostrar que el area de S es $\sqrt{S^2_1+S^2_2+S^3_3}$

Hola.

Si defines $\vec{u}$ como el vector unitario perpendicular al paralelogramo, y $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$ como los vectores unitarios perpendiculares a los planos coordenados, entonces puedes ver que

$S_1 = S ( \vec{u} \cdot \vec{u_1})$
$S_2 = S (\vec{u} \cdot \vec{u_2})$
$S_3 = S (\vec{u} \cdot \vec{u_3})$

De aquí obtienes facilmente la expresión
$S=\sqrt{S^2_1+S^2_2+S^3_3}$

De hecho, esta relación es válida no solo para paralelogramos, sino para cualquier figura plana.

[rruisan]

Re: Integral de superficie

disculpa y que ecuacion utilizo para llegar a la raiz cuadrada o solo tengo que sacar la norma? o como le hago para esto, no entendi mucho.

[carroza]

Re: Integral de superficie

$\vec{u} \cdot {\vec u_1}$ es la componente del vector unitario $\vec{u}$ a lo largo de la dirección $\vec{u_1}$.

La suma de los cuadrados de las componentes de un vector a lo largo de tres ejes perpendiculares da el módulo del vector, al cuadrado. Es equivalente a que consideres que para un vector cualquiera $\vec A$ se cumple que

$A^2 = A_x^2 + A_y^2 + A_z^2$.

Por eso,

$u^2 = u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = (\vec{u} \cdot {\vec u_1})^2<br /> + (\vec{u} \cdot {\vec u_2})^2 + (\vec{u} \cdot {\vec u_3})^2 =1$

Usando esta relación, te sale que

$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 = S^2$

[rruisan]

Re: Integral de superficie

una duda y como puedo entender eso que dice que sus lados no son paralelos a ningun eje coordenado.