Divulgación Despejar y hallar dilatación del tiempo

[Serina]

Hola!
He estado desarrollando matemáticamente el problema de los relojes en movimiento en relatividad y me he estancado aquí:
$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$
Y tendría que llegar a esto:
$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}}$
Se trata simplemente de despejar, pero con mis oxidadísimas matemáticas soy incapaz; si alguien me puede orientar por los pasos intermedios se lo agradecería.
Un saludo.

[arreldepi]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Hola!
He estado desarrollando matemáticamente el problema de los relojes en movimiento en relatividad y me he estancado aquí:
$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$
Y tendría que llegar a esto:
$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}}$
Se trata simplemente de despejar, pero con mis oxidadísimas matemáticas soy incapaz; si alguien me puede orientar por los pasos intermedios se lo agradecería.
Un saludo.

Hola, he estado intentando llegar al resultado desde la última expresión que tienes pero no veo del todo cómo. Lo que hago es elevarlo todo al cuadrado y, a partir de ahí, sacando T de factor común llegar a un resultado, pero, a no ser que sea equivalente no me queda lo mismo.

Supongo que lo has intentado a partir del teorema de Pitágoras, no? Yo hace un tiempo que lo intenté, si quieres te puedo pasar el procedimiento que seguí para ver si es que haces algo mal o si realmente son equivalentes.

Un saludo!

[Cris]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Hola Serina!

Hola!
He estado desarrollando matemáticamente el problema de los relojes en movimiento en relatividad y me he estancado aquí:
$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$
Y tendría que llegar a esto:
$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}}$
Se trata simplemente de despejar, pero con mis oxidadísimas matemáticas soy incapaz; si alguien me puede orientar por los pasos intermedios se lo agradecería.
Un saludo.

A mi me ha salido:

$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$

Elevando al cuadrado:

$(\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2})^2=(\frac{1}{2}cT)^2$

Queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Haciendo la operacion:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Multiplicando por 4:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Despejando:

$(c^2 \cdot T_0^2)=c^2\cdot T^2-v^2\cdot T^2$

Dividiendo entre $c^2$

$(T_0^2)=T^2-\frac{v^2\cdot T^2}{c^2}$

Factor comun:

$(T_0^2)=T^2(1-\frac{v^2}{c^2})$

Despejando:

$T^2=\frac{T_o^2}{(1-\frac{v^2}{c^2})}$


Aplicando Raiz:

$T=\frac{T_o}{\sqrt{(1-\frac{v^2}{c^2})}}$

Listo!

Saludos!!

[pod]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Hola!
He estado desarrollando matemáticamente el problema de los relojes en movimiento en relatividad y me he estancado aquí:
$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$
Y tendría que llegar a esto:
$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}}$
Se trata simplemente de despejar, pero con mis oxidadísimas matemáticas soy incapaz; si alguien me puede orientar por los pasos intermedios se lo agradecería.
Un saludo.

Se trata de elevar al cuadrado toda la expresión. Verás que los factores 1/2 se cancelan (aparecen en todos los términos), lo que permite escribir

$$c^2 T_0^2 + v^2 T^2 = c^2 T^2 \ ,$$

ahora pasamos el término de la velocidad al otro lado y sacamos factor común de la T,

$$c^2 T_0^2 = (c^2 - v^2) T^2\ .$$

Pasamos la $c^2$ dividiendo,

$$T_0^2 = \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) T^2\ .$$

Terminar es cuestión solo de dividir el paréntesis y sacar la raíz cuadrada.

[Juanma1976]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Hola Serina. Elevando al cuadrado la igualdad te queda

$(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2=\frac{1}{4}c^2T^2$

y de aquí juntamos los términos en $T$ y eliminamos el término $\frac{1}{4}$

$c^2T_0^2=T^2(c^2-v^2)=c^2T^2(1-\frac{v^2}{c^2})$

Aislando $T$ queda la transformación

$T^2=\frac{T_0^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$

y aplicando raices cuadradas

$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$


Saludos.

Hola!
He estado desarrollando matemáticamente el problema de los relojes en movimiento en relatividad y me he estancado aquí:
$\sqrt{(\frac{1}{2}cT_0)^2+(\frac{1}{2}vT)^2}=\frac{1}{2}cT$
Y tendría que llegar a esto:
$T=\frac{T_0}{\sqrt{1-(\frac{v^2}{c^2})}}$
Se trata simplemente de despejar, pero con mis oxidadísimas matemáticas soy incapaz; si alguien me puede orientar por los pasos intermedios se lo agradecería.
Un saludo.

[Serina]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Gracias a los dos por contestar.
Y muchas gracias Cris, porque me estaba volviendo loca, se nota que mis mates necesitan un buen repaso.
Un saludo!

[Serina]

Re: Despejar y hallar dilatación del tiempo

Parece que mi conexión va lenta eh? Me retracto, gracias a los cuatro