1r ciclo Ecuación de Bernouilli

[Turing]

Hola,

me dan este enunciado: $\dst 8xy'-y=\frac{-1}{y^3(x+1)^{\frac{1}{2}}}$ y sé que la ecuación de Bernouilli tiene la forma $\dst y'+P(x)y=Q(x)y^n$. Por lo que he intentado poner la ecuación de esa manera, haciendo

$\dst y'- \frac{1}{8x}y=\frac{-1}{8x(x+1)^{\frac{1}{2}}}y^{-3}$

y aplico el cambio de variable $u=\frac{1}{y^{n-1}}$. Si elijo n=-3, no sé identificar dicho cambio en la ecuación (me quedaría un $\dst y^{-4}$). ¿He de elegir n=3 quizá?

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Ecuación de Bernouilli

Si haces $n=-3$ (lo que toca), te queda $u=y^4$, y por tanto $u'=4y^3y'$, ¿no?

[Turing]

Re: Ecuación de Bernouilli

Vale, y ahora divido todo por $\dst y^n$ y substituyo usando el cambio de variable, ¿no?

[angel relativamente]

Re: Ecuación de Bernouilli

Claro, tienes que $y'=\dfrac 14 y^{-3} u' \; \; ; \; \; y=y^{-3}u$, así que solo tienes que sustituir ambos valores y multiplicar la ecuación por $4y^3$ para dejarlo simplificado.

[Turing]

Re: Ecuación de Bernouilli

Gracias Ángel, perdona por las preguntas sencillas pero acabo de empezar con esto.

Después de seguir con el problema, efectuar el cambio de variable y tal, llego a $\dst u'-\frac{u}{2x}=\frac{-1}{2x\sqrt{x+1}}$, la cual es lineal. Para resolverla primero hago la homogenea, de donde saco que $\dst u=x^{1/2}C$. Ahora aplico el método de la variación de las constantes y llego a $\dst u'= x^{1/2}C'+\frac{1}{2}x^{-1/2}C$ y substituyendo en la ecuación se me van dos términos, quedando $\dst x^{1/2}C'=\frac{-1}{2x\sqrt{x+1}}$. ¿Correcto hasta aquí?

- - - Actualizado - - -

PD: Debe ser un sí, porque he llegado a la solución correcta . Gracias por la ayuda.

[angel relativamente]

Re: Ecuación de Bernouilli

Correcto, con eso ya solo tienes que integrar y obtienes C.

PD: Tengo este mismo ejercicio resuelto, recuerdo que no me apeteció mucho pensar la integral y cuando lo corregimos el profesor dijo que la hiciésemos por Schaum (la biblia de los físicos). Y no te estreses, las dudas se convierten en sencillas cuando pasa el tiempo y lo entiendes.

PD2-respuesta a la PD: Me alegra que hayas llegado, si has resuelto la integral a mano eso que llevas de ventaja a toda mi clase del semestre pasado.