1r ciclo routh hur... bueno, como se llame

[jo0000se]

Tengo una duda con este criterio de estabilidad... veamos, entiendo el proceso. Pero en los ejercicios que tengo hechos en clase a mi profesor se le iba la castaña y empezaba a hacer cosas sin explicar por qué las hacía. Es decir, si sale algún menor >= 0 no podemos decir nada, sencillamente no podemos asegurar que sea asintóticamente estable. Entonces él empieza a buscar raíces imaginarias con parte real = 0... mi pregunta es POR QUÉ?????

Es decir, si las encuentra significa que hay 0's, pero eso no implica nada, si por ejemplo son raices dobles y resulta que no diagonaliza, el vector propio asociado a ese valor propio tendrá t's por ahí bailando y provocará inestabilidad... si alguien sabe por qué este hombre se dedicaba a buscar estas raices complejas, que me lo explique por favor.

Gracias!!!

P.D: nada personal contra el profesor, es solo que no sé qué demonios hace y me tiene de los nervios
P.D2: la P.D primera caduca cuando el examen haya sido corregido

[Entro]

Re: routh hur... bueno, como se llame

http://assig-camins.upc.es/camins/am/Apuntes/tema6.pdf

[jo0000se]

Re: routh hur... bueno, como se llame

Nombran otros criterios, pero concretamente este no lo comentan o al menos no nombra nada de por qué el buscar esas raices imaginarias con parte real cero cuando el criterio, aun habiendo un vap con parte real 0 no asegura nada.

[pod]

Re: routh hur... bueno, como se llame

¿Y por qué no le preguntáis al profesor?

[jo0000se]

Re: routh hur... bueno, como se llame

El lastre de los exámenes, supongo... está uno en clase y cuando hacen según qué piensas "eso lo debió explicar y no lo recuerdo, luego lo miro" pero llegas a casa y resulta que tienes 200 exámenes inminentes. Acaba imperando el "más vale pájaro en mano que ciento volando".
En su momento lo achaqué a un despiste mío, pero ahora que lo he mirado muy detalladamente no soy capaz de entender qué es lo que pretende con eso, si el criterio de routh hurwitz sólo puede asegurar que un sistema es asintóticamente estable, nada más.

[jo0000se]

Re: routh hur... bueno, como se llame

Expongo un ejemplo, a ver si así me explico mejor:

Tenemos un sistema lineal definido por la matriz

B -2 -4 nos piden estudiar la estabilidad según B.
-2 -2 -2
-4 -2 -5


Vamos allá, buscamos el polinomio característico (un auténtico carro). Una vez que lo tenemos lo colocamos en la matriz de routh hurwitz que nos ocupa.
Buscamos los determinantes y vamos imponiendo en cada uno de ellos que sea >0.
Una vez tenemos esto buscamos los valores de B que cumplan esto. Para cualquier valor mayor o menor estricto será asintóticamente estable, pues así lo hemos impuesto.
Ahora razonamos lo siguiente, si el valor es menor o mayor (el conjunto complementario) habrá un determinante > 0.

Aqui empieza el calvario: miramos si tiene raices complejas con determinante = 0.
- si las encontramos decimos, seguro que son raices simples (las complejas son conjugadas, de 2 en 2 y este sistema solo tiene 3) y por tanto diagonaliza y es estable (un centro, vamos).
- si no las encontramos decimos que el sistema no tiene TODAS los VAPS negativos, no tiene 0's y por tanto tendrá positivos, de modo que será inestable.

Mi duda es... estamos SEGUROS SEGUROS de que esto es así? En caso de ser una matri<z de 5 *5, por ejemplo... esto ya no serviría (podrían ser raíces dobles y el razonamiento no es valido), qué debería hacer encontes?


Gracias, y disculpad las molestias!!!

[Rolo]

Re: routh hur... bueno, como se llame

Es decir, si las encuentra significa que hay 0's, pero eso no implica nada, si por ejemplo son raices dobles y resulta que no diagonaliza, el vector propio asociado a ese valor propio tendrá t's por ahí bailando y provocará inestabilidad... si alguien sabe por qué este hombre se dedicaba a buscar estas raices complejas, que me lo explique por favor.

Jo jo! El criterio de estabilidad de Routh-Hurtwitz!
El tema es más o menos así: La idea es contar la cantidad de raices (en principio complejas) con parte real positiva. Para que sirve esto? Para lo siguiente: Cuando tenés una representación en laplace de un cierto sistema, lo que se conoce comúnmente como una función de transferencia, la idea es saber si este sistema es estable o no. La función de transferencia básicamente es una representación compleja (en el plano complejo) de una ecuación diferencial en el tiempo, en lo cual ambas representaciones (la función de transferencia o la ecuación diferencial) vinculan una entrada y una salida del sistema de interés.

Lo que en general tenés son funciones de transferencias de la forma: pol1(s)/pol2(s), siendo pol(s) un polinomio de un cierto grado en la variable compleja s. Lo que pasa es que estos sistemas son estables o inestables dependiendo de la parte real de las raices del denominador (o sea, pol2(s)), y es ahí donde entra el criterio de R-H. Te interesa contar cuantas raices con parte real positiva tiene pol2(s). Si no tiene ninguna, entonces el sistema es estable (a menos de los que tienen parte real cero, pero, esos te saltan durante el procedimiento de R-H cuando obtenés un cero).

Este pol2(s) es el mismo que el polinomio característico de la ecuación diferencial. Al imponer esto de las partes reales, básicamente lo que estás imponiendo es que las soluciones de la ecuación diferencial (o las antitranformadas del sistema) tengan exponenciales negativas (o sea, decrecientes), con lo cual las respuestas son estables.

Otra forma de verlo, los valores propios del polinomio característico son lo que se llaman los polos de la función de transferencia. Si vos querés órbitas estables de las ecuaciones diferenciales tenés que imponer que las partes reales de los valores propios sean negativas. Esto, es lo mismo que el criterio de estabilidad de liapunov para ecuaciones diferenciales. La parte compleja de estos valores propios aportan respuesta sinusoidal, mientras que la parte real es la que va a la exponencial real (que querés que sea decreciente para órbitas estables).

Saludos, espero sirva de algo,
Rolo

[Rolo]

Re: routh hur... bueno, como se llame

Vamos allá, buscamos el polinomio característico (un auténtico carro).

OK, tenemos el polinomio característico, ahora vamos con R-H!

Una vez que lo tenemos lo colocamos en la matriz de routh hurwitz que nos ocupa.
Buscamos los determinantes y vamos imponiendo en cada uno de ellos que sea >0.
Una vez tenemos esto buscamos los valores de B que cumplan esto. Para cualquier valor mayor o menor estricto será asintóticamente estable, pues así lo hemos impuesto.
Ahora razonamos lo siguiente, si el valor es menor o mayor (el conjunto complementario) habrá un determinante > 0.

Aqui empieza el calvario: miramos si tiene raices complejas con determinante = 0.
- si las encontramos decimos, seguro que son raices simples (las complejas son conjugadas, de 2 en 2 y este sistema solo tiene 3) y por tanto diagonaliza y es estable (un centro, vamos).
- si no las encontramos decimos que el sistema no tiene TODAS los VAPS negativos, no tiene 0's y por tanto tendrá positivos, de modo que será inestable.

Mmm, lamento no poder seguite acá... Yo conozco como método de R-H otro procedimiento (en realidad estoy seguro que es lo mismo, pero no logro visualizar como pasar de uno a otro). El procedimiento de R-H que conozco en realidad aplicarlo es algo tonto y no lleva muchas cuentas... No así demostrarlo, que tengo entendido que es bastante trabajoso.

La idea era más o menos así, pero estoy seguro que en la web debe estar mejor explicado. Ponías los coeficientes de los monomios pares e impares ordenados horizantalmente en dos filas distintas. Luego ibas construyendo las demás filas haciendo una operación entre coeficientes y quedaba una forma triangular hasta la útima fila. Por último lo que había que hacer era mirar la primer columna como una tira ordenada de números. La cantidad de cambios de signos de esa tira es la cantidad de raices con parte real positiva. Si eventualmente hay un cero, quiere decir que hay alguna raiz con parte real nula.

Este método esta explicado en el ogata... Creo que es: Teoría de Control moderna - Katsu...algo Ogata

Saludos,
Rolo