1r ciclo Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

[SCHRODINGER27]

Muy buenas, tengo dudas básicas con este ejercicio:



Básicamente es que no sé por dónde empezar, ¿alguien tiene alguna idea? No sé cómo se pueden encontrar las soluciones de ahí.

Muchísimas gracias por adelantado

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Despista el f(s), pues si es, como pone, f(s), esta cantidad saldrá de la integral y simplemente quedará $\dst f(x)=\frac{f(s)(x-a)}{x^n}$.

Imagino que ese f(s) será un error tipográfico (de hecho, el enunciado no dice nada acerca de esa s) debiendo ser f(x). En tal caso, deriva ambos lados. En el izquierdo queda sólo f(x). Despeja f'(x)/f(x) que será igual a la derivada de su ln f. Integrando y tomando la exponencial se obtiene f(x). Si no me equivoco deberás distinguir el caso n=1 de los demás.

La duda que me queda, es que el resultado obtenido de esa manera posee una constante de integración que, entiendo, debería poder expresarse en función de a, pero no encuentro un camino sencillo para hacerlo.

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

pues yo veo que la f(s) es la f(x) pero el miembro izquierdo está haciendo uso del th. fundamental del cálculo. Perdona que no me explaye más estoy con el móvil

[visitante20160513]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Pues tal y como yo lo veo el problema planteado sería más bien éste:

$\displaystyle\int_a^x f(s)ds=x^nf(x)$

en el que la variable $s$ no interviene ya que queda enmascarada por la integración. Derivando respecto de la variable $x$ y aplicando el teorema fundamental del cálculo llegamos a una EDO de primer orden. Las soluciones del problema serían pues las soluciones de dicha ecuación. No me entretengo en resolverla, aunque si hace falta pues hago un intento.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Lo que pasa es el que el enunciado pone f(s)dx

[Samir M.]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Sin considerar la errata en el enunciado (que considero que es como dice Jabato) la respuesta es, por si alguien la necesita, $\displaystyle f(x) = k x^{-n} e^{\frac{x^{1-n}}{1-n}}$

[SCHRODINGER27]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Buenas, el profesor me ha contestado a un email, es un error, es f(s) ds

[visitante20160513]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

¡Ah! Lo adiviné.

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Sin considerar la errata en el enunciado (que considero que es como dice Jabato) la respuesta es, por si alguien la necesita, $\displaystyle f(x) = k x^{-n} e^{\frac{x^{1-n}}{1-n}}$

Yo encuentro la misma respuesta, por supuesto para $n\neq 1$ (en el caso $n=1$ es $f(x)=k$). Creo que la relación entre la constante de integración, $k$, y el valor de $a$ se obtiene substituyendo la solución en la expresión original, lo que lleva a la condición $\displaystyle k a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$ (en el caso $n=1$ es $ka=0$). La conclusión es que siempre será $k=0$, y entonces $f(x)=0$, salvo en los siguientes casos, en los que $k$ podrá tomar cualquier valor:

• Si $n<1$ y $a=-\infty$
• Si $n\geq 1$ y $a=0$

Edito: debí escribir $\displaystyle k e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$ en lugar de $\displaystyle k a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$

[SCHRODINGER27]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Muchas gracias a todos por contestar, pero tengo varias dudas, primero, ¿cómo derivo la integral entre límites? es decir, con lo que hay que evaluar qué hago. Segundo, creo que el segundo miembro queda $n {x}^{n-1} f'(x)$. Claro, después despejo f'/f, pero si no sé cómo se deriva el primer miembro... ¿Podéis ayudarme?

Muchas gracias de verdad

Arivasm una cosilla, cuando dices "Despeja f'(x)/f(x) que será igual a la derivada de su ln f", a qué te refieres con ln f, al logaritmo neperiano de la propia función?! Yo, cuando junto f'/f e integro separando variables, obtengo ln |f(x)| , te refieres a eso, ¿no? El problema viene en el otro lado, no sé ni derivar el miembro derecho ni después integrarlo...

Me vuelvo a editar, usando el teorema fundamental del cálculo (http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo), la derivada me sale f(x)·1 - f(a)·0 = f(x) , ¿puede ser?

[Samir M.]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

A la izquierda de la igualdad, sí.

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Muchas gracias a todos por contestar, pero tengo varias dudas, primero, ¿cómo derivo la integral entre límites? (..) Me vuelvo a editar, usando el teorema fundamental del cálculo (http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo), la derivada me sale f(x)·1 - f(a)·0 = f(x) , ¿puede ser?

Efectivamente, $\dst\frac{\dd}{\dd x}\int_a^x f(s)\dd s=f(x)$

Segundo, creo que el segundo miembro queda $n {x}^{n-1} f'(x)$.

No has aplicado correctamente la derivada de un producto de funciones.

Arivasm una cosilla, cuando dices "Despeja f'(x)/f(x) que será igual a la derivada de su ln f", a qué te refieres con ln f, al logaritmo neperiano de la propia función?! Yo, cuando junto f'/f e integro separando variables, obtengo ln |f(x)| , te refieres a eso, ¿no?

Sí.

[SCHRODINGER27]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Obtengo lo siguiente:

$\frac{f'(x)}{f(x) } = \frac{1 - n {x}^{ n-1}}{{x}^{ n} }$

Después de eso, no sé integrar el segundo miembro, ¿alguien sabe cómo se hace?

Gracias


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EDITO:

Buenas a todos de nuevo, tengo que decir que he conseguido llegar a la solución que decís algo más arriba y que ya sólo me queda discutir en función de cómo sea la solución, voy a analizar lo escrito, gracias a todos.

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Yo encuentro la misma respuesta, por supuesto para $n\neq 1$ (en el caso $n=1$ es $f(x)=k$). Creo que la relación entre la constante de integración, $k$, y el valor de $a$ se obtiene substituyendo la solución en la expresión original, lo que lleva a la condición $\displaystyle k a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$ (en el caso $n=1$ es $ka=0$). La conclusión es que siempre será $k=0$, y entonces $f(x)=0$, salvo en los siguientes casos, en los que $k$ podrá tomar cualquier valor:

• Si $n<1$ y $a=-\infty$
• Si $n\geq 1$ y $a=0$

Realmente, y contestándoos a ti y a samir, cuando se integra el miembro de las x sale por ahí $-n\log\left(\left\vert{x}\right\vert{}\right)$ por lo que realmente hay que distinguir luego el caso de n par o impar no?
Os dejo lo que me queda a mi como solución para que me entendáis:
siendo y=f(x):
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Obtengo lo siguiente:

$\frac{f'(x)}{f(x) } = \frac{1 - n {x}^{ n-1}}{{x}^{ n} }$

Después de eso, no sé integrar el segundo miembro

$\dst \frac{f'(x)}{f(x) } = \frac{1 - n {x}^{ n-1}}{{x}^{ n} }=x^{-n}-\frac{n}{x}$

No es tan difícil de integrar, ¿no?

Sobre lo que dice sater: tienes razón en que he omitido indebidamente el valor absoluto.