Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Lo he estado pensando y en verdad es lógico. Me explico:
La solución queda de la forma:
$\left\vert{} y\right\vert{}=\exp\left(f\left(x\right)\right)$ luego como el miembro derecho es positivo en el izquierdo sobra el valor absoluto
Luego en el miembro derecho:
$\exp(f(x))=\exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n} -n\log\left(\left\vert{}x \right\vert{}\right)+C\right)$
luego para tener sentido x debe ser un real positivo.
Y ya recuperamos la expresión. Luego he intentado buscarle una relación a la constante de integración y al límite inferior de la integral del enunciado pero creo que no se puede pues siempre desaparece una de las dos, luego se cumple para todo valor real a.
Y luego n es un entero, por lo que sólo tiene sentido distinguir cuando n es igual a uno de cuando no.
Un saludo

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Luego he intentado buscarle una relación a la constante de integración y al límite inferior de la integral del enunciado pero creo que no se puede pues siempre desaparece una de las dos, luego se cumple para todo valor real a.
Y luego n es un entero, por lo que sólo tiene sentido distinguir cuando n es igual a uno de cuando no.
Un saludo

Como comenté antes, se debe cumplir que $\displaystyle k a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$ (me refiero al caso $n\neq 1$, pues el $n=1$ es más sencillo). Es evidente que o bien $k=0$ (y entonces $f(x)=0$) o bien $\displaystyle a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$. Por tanto, el caso no trivial $f(x)\neq 0$ sólo se cumple si $a$ satisface alguna condición determinada, dependiente de n (y también del signo de $1-n$)

Edito: debí haber escrito $\displaystyle e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}}$ sin los $a^{-n}$

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

pero ni k puede ser cero ($k=\exp\left(C\right)$ con C constante (la de integración) ni la otra parte puede ser cero (es un producto de potencias, que tampoco puede ser cero)

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Si no me equivoco, si n>1 $\displaystyle \lim_{a\to 0} a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$. Igualmente, si n<1 $\displaystyle \lim_{a\to -\infty} a^{-n} e^{\frac{a^{1-n}}{1-n}} =0$

Edito: en esta expresiones la inclusión de $a^{-n}$ es innecesaria.

Sobre lo que dices de que no puede ser $k=0$ entiendo que la razón que pones se debe al procedimiento utilizado para encontrar la solución y no a ésta en sí misma. De hecho, si pones en el enunciado f(x)=0 se cumple la igualdad.

- - - Actualizado - - -

Siempre olvido que el enunciado dice que n es un entero positivo. Quedémonos pues con el caso n>1

[Samir M.]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Tienes que $\displaystyle \left\vert{y} \right\vert{}=D\cdot {\left\vert{}x \right\vert{}}^{-n}\cdot\exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right) = \frac{D \cdot \exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right)}{{\left\vert{}x \right\vert{}}^{n}}$ pero $D$ y $\exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right)$ son mayores que cero y como n es natural en teoría ya está, ¿no?

- - - Actualizado - - -

Mm, un poco lioso.

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Bueno vuelvo a la carga. Partamos de que si se integra de forma normal la ecuación diferencial $y=n{x}^{n-1}+{x}^{n}y'$ queda (excepto para el caso n=1 que y=cte)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora, esa k que es la constante de integración en realidad viene de que al integrar queda $y=\exp\left(f(x)+C\right)$ luego esa k es $k={e}^{C}$nunca puede ser cero.
Despues, buscamos ver que condiciones debe satisfacer el valor real $a$ que es límite de integración inferior.
Si volvemos a la ecuación original e integramos la función $y$ que hemos obtenido y aplicamos barrow la constante $k$queda en ambos miembros por lo que desaparece y sólo tenemos que ver que
$\exp\left(\frac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$ donde el único caso que podríamos pensar es si n tiende a infinito pero una de dos o a es real positivo en cuyo caso queda $e^{0}$ o a es negativo y en dicho caso no podemos discutir qué pasa cuando elevamos un número negativo a infinito.

Por lo tanto en mi opinión hay dos casos
n=1 en cuyo caso f(x) es constante
n distinto de 1 en cuyo caso queda la solución expresada más arriba y para cumplirse a=0

Saludos y espero vuestra contestación

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Si volvemos a la ecuación original e integramos la función $y$ que hemos obtenido y aplicamos barrow la constante $k$queda en ambos miembros por lo que desaparece y sólo tenemos que ver que
$\exp\left(\frac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$ donde el único caso que podríamos pensar es si n tiende a infinito pero una de dos o a es real positivo en cuyo caso queda $e^{0}$ o a es negativo y en dicho caso no podemos discutir qué pasa cuando elevamos un número negativo a infinito.

No quiero ser pesado, pero no necesariamente se debe eliminar antes la k en todos los términos. En realidad lo que en rigor se debe cumplir es que $ka^{-n}\exp\left(\frac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$

Edito: aquí debí haber escrito $k\exp\left(\frac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$

Por ello no concuerdo contigo en que $a$ sólo puede ser un valor concreto. Como nos estamos quedando con n>1 y el denominador en el exponente es negativo entonces $\dst a^{1-n}=\frac{1}{a^{n-1}}$ debe ser infinito, lo que significa que $a$ debe ser 0, como bien dices.

Ahora bien, el enunciado dice "fijamos un valor real $a$", por lo que debemos analizar también qué sucede si $a\neq 0$. Es entonces cuando la única posibilidad es $k=0$ y entonces $f(x)=0$ que, aunque sea una solución trivial, no hay motivo para descartarla. De hecho, insisto, satisface la ecuación para un $a$ y $n$ cualesquiera.

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Me reitero (debo no estar entendiéndote, pido disculpas por adelantado).
Sea [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la solución de la ecuación diferencial $\displaystyle y=n{x}^{n-1}+{x}^{n}y'$ queremos comprobar que condiciones debe cumplir a para que dicha función sea solución de la ecuación funcional $\displaystyle \int_a^x f\left(s\right)ds={x}^{n}f\left(x\right)$

Sustituyendo:
$\displaystyle \int_a^x \dfrac{D}{s^{n}}\exp\left(\dfrac{{s}^{1-n}}{1-n}\right) ds$ y esta integral es inmediata cuyo resultado es $\exp\left(\dfrac{{s}^{1-n}}{1-n}\right)$ evaluado entre a y x por lo que queda:

$D\left[ \exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right) - \exp\left(\dfrac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)\right]=D\cdot {x}^{n}\cdot \dfrac{1}{x^n}\cdot \exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right)$ de donde se va la constante de integración de la ecuación diferencial D y queda:
$\exp\left(\dfrac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$
retomando mi discusión anterior.

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

...de donde se va la constante de integración de la ecuación diferencial D

¿Por qué se va a ir? ¿Por qué no enfocarlo así?: puesto que (desarrollo lo que pones) $\dst D \exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right) - D \exp\left(\dfrac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=D\cdot \exp\left(\dfrac{{x}^{1-n}}{1-n}\right)$ la conclusión es que debe cumplirse que $\dst D \exp\left(\dfrac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$ y entonces o bien $D=0$ o bien $\dst \exp\left(\dfrac{{a}^{1-n}}{1-n}\right)=0$

Por cierto que veo que en todos mis mensajes anteriores he estado metiendo un $a^{-n}$ erróneo. Espero que ésa no haya sido la causa de la discrepancia.

[sater]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

En parte me liaba por ello pero por otra parte no entiendo porque no quitamos la D directamente si por su origen $D={e}^{C}$ con C constante no puede ser cero nunca.

- - - Actualizado - - -

vale ya entiendo no hace falta que k=0 que era lo que me liaba simplemente que f(x)=0 es solución trivial.
Gracias un saludo

[arivasm]

Re: Problema de encontrar soluciones de ecuación funcional

Me alegro de ver que finalmente convergemos.

Sólo quiero razonar un poco más sobre lo de $D=\ee^C$. Como comenté anteriormente, esa C procede del método empleado para encontrar la solución. Pero éste no es único. Por ponerlo sencillo: imagínate que usásemos como alternativa la de ir probando funciones hasta que "sonase la flauta". Cuando pusiésemos (sin duda tras un soplo de inspiración divina!) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tendríamos (eureka!) la solución, sin que hubiese motivo alguno por el que $k$ no pudiese tomar cualquier valor real.

Por ejemplo, y por decir otra posibilidad (que, la verdad, no me apetece demasiado comprobar) se me ocurre que podríamos haber recurrido a transformadas de Laplace: no creo que entonces nos tropezásemos con ese $\ee^C$. Claro que, para que esta razón sea sólida habría que verificarlo.