1r ciclo Circuito RC simple :|

[arpidez]

Buen dia companieros.
Podrian echarme la mano con esta ec dif, ya mas o menos la llevo avanzada y supongo que estoy cerca del final solo no veo la solucion.
Veran el problema principal es que no se como implementar las condiciones iniciales.
Resolver la ecuacion diferencial de un circuito RL con condiciones iniciales
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Tenemos:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$<br /> \frac{ d }{dt} e^{ \frac{R}{L} t} i = \frac{V} {L} cos(wt)e^{\frac{R}{L} t}\\<br />$
Tenemos que hallar $\frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t}dt$ y aplicar las condiciones iniciales.

Es decir
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Resolviendo por partes
$u = cos(wt)$ y $du =-w sin(wt)dt$ luego
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y nuevamente por partes:
$u = sin(wt)$ y $du =w cos(wt)dt$ luego
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$<br /> \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt = \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{Lw}{R} [\frac{L}{R} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} - \frac{Lw}{R} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt ]\\<br />$
Simplificando toda la expresion:
$<br /> \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt = \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} - \frac{L^2w^2}{R^2} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt\\<br />$
Esto significa:
$\frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} = \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt + \frac{L^2w^2}{R^2} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt\\$
$\frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} = [\frac{V}{L} + \frac{L^2w^2}{R^2}] \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt \\$

En donde:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Que es lo mismo que:
$<br /> \int cos(wt)e^{ \frac{R}{L} t} dt = [\frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][C + \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} ]\\<br />$
De la ecuacion (1) tenemos entonces;
$<br /> e^{\frac{R}{L} t}i =[ \frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][C + \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} ]\\$
$<br /> i =[ \frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][Ce^{-\frac{R}{L} t} + \frac{L}{R} cos(wt) + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) ]\\$
Lo que me estresa es que tengo que llegar a esta expresion:
$<br /> i(t) = V[\frac{wL}{R^2 + w^2 L^2} e^{(\frac{-t}{\tau} - \frac{\pi}{2wt})} + \frac{R}{ R^2 + w^2 L^2}cos(wt) + \frac{wL}{R^2 + w^2 L^2} sin(wt)]$
donde tao es la constante de tiempo R/L
Voy bien?? como meto las condiciones iniciales?? k sigue ??

Les agradezco su tiempo y talento.

[pod]

Re: Circuito RC simple :|

Buen dia companieros.
Podrian echarme la mano con esta ec dif, ya mas o menos la llevo avanzada y supongo que estoy cerca del final solo no veo la solucion.
Veran el problema principal es que no se como implementar las condiciones iniciales.
Resolver la ecuacion diferencial de un circuito RL con condiciones iniciales
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Tenemos:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$<br /> \frac{ d }{dt} e^{ \frac{R}{L} t} i = \frac{V} {L} cos(wt)e^{\frac{R}{L} t}\\<br />$
Tenemos que hallar $\frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t}dt$ y aplicar las condiciones iniciales.

Es decir
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Resolviendo por partes
$u = cos(wt)$ y $du =-w sin(wt)dt$ luego
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y nuevamente por partes:
$u = sin(wt)$ y $du =w cos(wt)dt$ luego
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$<br /> \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt = \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{Lw}{R} [\frac{L}{R} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} - \frac{Lw}{R} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt ]\\<br />$
Simplificando toda la expresion:
$<br /> \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt = \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} - \frac{L^2w^2}{R^2} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt\\<br />$
Esto significa:
$\frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} = \frac{V}{L} \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt + \frac{L^2w^2}{R^2} \int cos(wt) e^{\frac{R}{L}t}dt\\$
$\frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} = [\frac{V}{L} + \frac{L^2w^2}{R^2}] \int cos(wt)e^{\frac{R}{L} t} dt \\$

En donde:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Que es lo mismo que:
$<br /> \int cos(wt)e^{ \frac{R}{L} t} dt = [\frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][C + \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} ]\\<br />$
De la ecuacion (1) tenemos entonces;
$<br /> e^{\frac{R}{L} t}i =[ \frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][C + \frac{L}{R} cos(wt) e^{\frac{R}{L} t} + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) e^{\frac{R}{L} t} ]\\$
$<br /> i =[ \frac{LR^2}{VR^2 + L^3w^2 }][Ce^{-\frac{R}{L} t} + \frac{L}{R} cos(wt) + \frac{L^2 w}{R^2} sin(wt) ]\\$
Lo que me estresa es que tengo que llegar a esta expresion:
$<br /> i(t) = V[\frac{wL}{R^2 + w^2 L^2} e^{(\frac{-t}{\tau} - \frac{\pi}{2wt})} + \frac{R}{ R^2 + w^2 L^2}cos(wt) + \frac{wL}{R^2 + w^2 L^2} sin(wt)]$
donde tao es la constante de tiempo R/L
Voy bien?? como meto las condiciones iniciales?? k sigue ??

Les agradezco su tiempo y talento.

La forma más sencilla de aplicar las condiciones iniciales en este caso es modificar tu ecuación n.1 y poner límites a la integral

$$\eee{R t/L} i(t) = \frac V L \ \int_{t_0}^t \!\!\dd t\ \cos\omega t \, \eee{Rt/L} \ .$$

Fijate que por las propiedades de la integral, $t = t_0$ da $i=0$ que es lo que queremos. Además, usa el valor que te dan de $t_0$ y podrás poner el valor de bastantes términos, por ejemplo $\cos\omega t_0 = 0$. Haciéndolo así, debería salirte a la primera.

La otra opción es tomar tu expresión y poner $t = t_0$, poniendo a la vez $i = 0$, te quedará una ecuación donde podrás determinar cuanto vale la constante C.

[arpidez]

Re: Circuito RC simple :|

Muchas gracias por tu sugerencia pod, es una buena perspectiva, sin embargo ya le avance un poco mas, adjunto el pdf.
Lo que hice fue un cambio en la integral por partes, tome u y dv de distinta manera.
y bueno algunos otros arreglitos.
Solo me keda un detallito en un exponente.

Gracias y saludos.

[pod]

Re: Circuito RC simple :|

Bueno como estamos en Física, la forma de buscar la primitiva no es tan importante. Lo que importa es que una vez obtenido el resultado, sepas aplicarlo al problema de Física. Las dos formas que expliqué son posibles (y a lo mejor hay más). Elije la que más te guste, y mejor te sientas con ella

No he mirado con detalle tu archivo, pero diría que te ha quedado muy largo para una integral que debería ser relativamente simple.

[alespa07]

Re: Circuito RC simple :|

Muchas gracias por tu sugerencia pod, es una buena perspectiva, sin embargo ya le avance un poco mas, adjunto el pdf.
Lo que hice fue un cambio en la integral por partes, tome u y dv de distinta manera.
y bueno algunos otros arreglitos.
Solo me keda un detallito en un exponente.

Gracias y saludos.

Hola. Opino lo mismo que POD. La ecuación diferencial es demasiado sencilla para que tu desarrollo sea tan largo. Se trata, sencillamente, de una ecuación lineal con coeficientes constantes de primer orden no homogénea. Puedes resolver la homogénea en dos pasos y hallar una solución particular mediante el método de inspección ( en tu caso será una combinación lineal de seno y coseno). Lo que requiere un poquito de cálculo es la constante ( pero tampoco mucho...).

Espero que te sirva.

Saludos.

P.D: Haciéndolo así, no te debería ocupar más de media página con todo el rigor posible...

[juantv]

Re: Circuito RC simple :|

Podrias optar por el metodo de la transformada de laplace, cuando son ED's que consideras largas.