1r ciclo EDO exacta

[BigMess]

Hola, tengo esta ecuación

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}$

y quiero convertirla en exacta. Se supone que es posible convertir una ecuación a exacta si ésta tiene una solución general, y ésta la tiene porque ya la he resuelto por otros métodos (como EDO homogénea), la solución es una parábola. sin embargo no soy capaz de hacerlo . las derivadas parciales cruzadas no son iguales y si intento buscar un factor para convertir la ecuación en exacta

$\frac{M_y-N_x}{M}$

o

$\frac{N_x-M_y}{-M}$

lo que obtengo no son factores que dependen solo de x o solo de y. de hecho, no soy capaz de quitarme la raíz de ninguna forma.

Agradecería algún tipo de ayuda antes de volverme loca con esta ecuación.

Saludos

[eljose]

Re: EDO exacta

Hola.. creo que igual estas mezclando churras y merinas.. ademas esta ecuacion se resuelve de una forma igual mas facilita

1) DIVIDE el segundo miembro arriba y abajo por 'y'

2) DEFINE una nueva funcion 'u(x)' como $x=u(x)y(x)$

3) Ahora la nueva ecuacion toma la forma

$x \frac{du}{dx}=u^{-1}-\frac{1}{u+(u^{2}+1)^{1/2}}$

4) hacemos ahora el cambio $x=exp(t)$ para poder re-escribir dicha ecuacion como

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

5) Ahora como ves nos queda una ecuacion de primer orden resuelta en 'u' y t=log(x) que puedes integrar y demas o al menos es mas facil que la inicial.

[BigMess]

Re: EDO exacta

Gracias, pero lo que yo necesito es obtener a partir de esa ecuación una cuyas derivadas parciales cruzadas sean iguales, y pueda resolver de forma exacta, no con cambios de variable.

Necesito un factor (que se supone que existe) que al multiplicarlo por mi ecuación me de algo así:

Mdx+Ndy=0

y que $M_y=N_x$

pero no lo encuentro...

De todas formas gracias, el cambio x=exp(t) no lo había hecho y es bastante útil

[lucass]

Re: EDO exacta

Hola.
Yo en realidad no puedo ayudarte con esto. Veo que ya has resuelto la ecuación, pero te ha dicho el docente que lo hagas con este método o se te ha ocurrido a vos nomás?? porque creo que estás confundiendo algo: una cosa es "que exista siempre un factor integrante" y otra cosa es que siempre se pueda encontrar... Me parece que en este caso no se puede con los métodos convencionales. Quizá tenés suerte y sacás uno a ojo, pero me parece igual de complicado...
saludos

[BigMess]

Re: EDO exacta

si, me han dicho que lo resuelva por ambos metodos, asi que pensé que sería más o menos igual de difícil por los dos, pero no debo estar entendiendo algo

[polonio]

Re: EDO exacta

Si expresas la ec. de la forma:

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

tenemos:

$M(x,y)=y$

$N(x,y)=-(x+\sqrt{x^2+y^2})$

Como puedes comprobar:

$M_y \neq N_x$

luego no es un ec. dif. exacta.

Para que tengas una ec. dif. exacta necesitas un factor integrante. Esto es una función $\mu(x,y)$ de forma que:

$\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

y, entonces, la ec.

$\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$

sí es exacta.

La cosa es calcular $\mu(x,y)$ a partir de la ec. dif. $\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

Inténtalo tomando un factor integrante función sólo de $x$, o sólo de $y$,... (lo más sencillo posible).

[BigMess]

Re: EDO exacta

entonces las fórmulas que he puesto en #1 no me sirven para obtener factores integrantes? porque de esa forma no me sale ninguno. y probando con factores simples como 1/x o 1/y tampoco

[polonio]

Re: EDO exacta

No sé de dónde has sacado esas expresiones. La definición de factor integrante $\mu(x,y)$ es la que te digo.

Por ejemplo, si supones $\mu=\mu(x)$:

$\frac{\partial(\mu M)}{\partial y}= \frac{\partial(\mu N)}{\partial x}$

te queda:

$\mu M_y= \mu' N + \mu N_x$

y trata de resolver esta ec. diferencial (donde $\mu'=\frac{d\mu}{dx}$).

Si supones $\mu=\mu(y)$, te queda:

$\mu' M + \mu M_y= \mu N_x$

y trata de resolver esta ec. diferencial (donde $\mu'=\frac{d\mu}{dy}$).