Incertidumbre de mediciones repetidas

[Berna]

Hola de nuevo.

Ahora tengo duda respecto a esta formula.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Hasta donde sé, esta formula sale de la medición de la media y varianza de una media muestral; y la suposición de que cada variable/medición es independiente. Tal que queda así resumido.

$\bar{X}=\frac{1}{n}X_1+...+\frac{1}{n}X_n$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu_{X_1}+...+\frac{1}{n}\mu_{X_n}$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu+...+\frac{1}{n}\mu=\mu$

Y para la varianza.

$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_1}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_n}$
$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}=\frac{\sigma^2}{n}$

No me hace mucho sentido el concepto de varianza de media muestral, por qué es diferente a la varianza muestral?

Por ejemplo, encontré este ejercicio en un libro:

"La masa de una roca se midió cinco veces en una balanza cuya incertidumbre no se conoce. Las cinco mediciones (en gramos) son 21.10, 21.05, 20.98, 21.12 y 21.05. Estime la masa de la roca y determine la incertidumbre en la estimación.

Solución

Sea $\bar{X}$ el promedio de las cinco mediciones y sea s la desviación estándar muestral. Calculamos $\bar{X}$ = 21.06 g y s = 0.0543 g. A partir de la ecuación (3.6) estimaríamos que la longitud del componente es de $\bar{X}=\sigma/\sqrt{5}$. No conocemos σ, que es la incertidumbre, ni la desviación estándar del proceso de medición. Sin embargo, podemos aproximar σ con s, la desviación estándar muestral de las cinco mediciones. Por lo tanto, estimamos que la masa de la roca es de $21.06 \pm 0.0543/\sqrt{5}$ o 21.06 ± 0.02 g."

No entiendo porque hay que calcular la "varianza" dos veces. No me hace sentido calcular primero la varianza muestral.

$\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=0}^{n}(x_i-\mu)^2$

Y luego esto.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Que alguien me explique, ahhhhh!!!!

Gracias por su atención.

[delmar7]

Hola

Cuando se estudia una población de una determinada magnitud (por ejemplo masa, talla, etc) aleatoria (impredecible) se consideran muestras, las cuales constituyen un conjunto ordenado de variables aleatorias $(x_1,x_2, ...,x_n)$ que tiene ciertas características, son independientes y tienen la misma función de distribución de probabilidad, lo cual implica la misma función de densidad de probabilidad en la forma $f_{x_1}(x_1)=f_{x_2}(x_2)=...=f_{x_n}(x_n)=f_x(x) \Rightarrow \mu_{x_1}=\mu_{x_2}=...=\mu_{x_n}=\mu \ \ \land \ \sigma^2_{x_1}=\sigma^2_{x_2}=...=\sigma^2_{x_n}=\sigma^2$ hay que diferenciar la muestra de una muestra concreta es decir $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ de $(21.10,21.05,20.98,21.12,21.05)$, la muestra son un conjunto ordenado de variables aleatorias; mientras que la muestra concreta constituyen valores concretos que toman las variables aleatorias. Ahora $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}$ es también una variable aleatoria y una estadística (depende de la muestra) y en efecto aunque no lo has demostrado con rigor se tiene $\mu_{\bar{x}}=\mu \land \sigma^2_{\bar{x}}=\frac{\sigma^2}{n}$, el promedio tiene como media y como varianza, la media y la varianza de la población, que en general son desconocidas. Precisamente por ser desconocidas se han de estimar, hay varios métodos y se prefieren los insesgados en este caso se usa $\bar{x}$ concreto de la muestra, como estimador de $\mu$ y $s^2$ concreto de la muestra, como estimador de $\sigma^2$, estas estimaciones son válidas y se prefiere $s^2$ a $\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{}x})^2}{n}$ por ser insesgado ($E(s^2)=\sigma^2$). En resumen primero se estima $\mu=\bar{x}$ con la muestra concreta, luego se estima $\sigma^2=s^2$ con la muestra concreta, donde $s^2=\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{}x})^2}{n-1}$ y con eso se calcula $\sigma=\frac{s}{\sqrt{n}}$ y se establece el intervalo de certidumbre.

Saludos