Incertidumbre de mediciones repetidas

[Berna]

Hola de nuevo.

Ahora tengo duda respecto a esta formula.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Hasta donde sé, esta formula sale de la medición de la media y varianza de una media muestral; y la suposición de que cada variable/medición es independiente. Tal que queda así resumido.

$\bar{X}=\frac{1}{n}X_1+...+\frac{1}{n}X_n$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu_{X_1}+...+\frac{1}{n}\mu_{X_n}$
$\mu_{\bar{X}}=\frac{1}{n}\mu+...+\frac{1}{n}\mu=\mu$

Y para la varianza.

$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_1}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X_n}$
$\sigma^2_{\bar{X}}=\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}+...+\frac{1}{n^2}\sigma^2_{X}=\frac{\sigma^2}{n}$

No me hace mucho sentido el concepto de varianza de media muestral, por qué es diferente a la varianza muestral?

Por ejemplo, encontré este ejercicio en un libro:

"La masa de una roca se midió cinco veces en una balanza cuya incertidumbre no se conoce. Las cinco mediciones (en gramos) son 21.10, 21.05, 20.98, 21.12 y 21.05. Estime la masa de la roca y determine la incertidumbre en la estimación.

Solución

Sea $\bar{X}$ el promedio de las cinco mediciones y sea s la desviación estándar muestral. Calculamos $\bar{X}$ = 21.06 g y s = 0.0543 g. A partir de la ecuación (3.6) estimaríamos que la longitud del componente es de $\bar{X}=\sigma/\sqrt{5}$. No conocemos σ, que es la incertidumbre, ni la desviación estándar del proceso de medición. Sin embargo, podemos aproximar σ con s, la desviación estándar muestral de las cinco mediciones. Por lo tanto, estimamos que la masa de la roca es de $21.06 \pm 0.0543/\sqrt{5}$ o 21.06 ± 0.02 g."

No entiendo porque hay que calcular la "varianza" dos veces. No me hace sentido calcular primero la varianza muestral.

$\sigma^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=0}^{n}(x_i-\mu)^2$

Y luego esto.

$\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Que alguien me explique, ahhhhh!!!!

Gracias por su atención.

[delmar7]

Hola

Cuando se estudia una población de una determinada magnitud (por ejemplo masa, talla, etc) aleatoria (impredecible) se consideran muestras, las cuales constituyen un conjunto ordenado de variables aleatorias $(x_1,x_2, ...,x_n)$ que tiene ciertas características, son independientes y tienen la misma función de distribución de probabilidad, lo cual implica la misma función de densidad de probabilidad en la forma $f_{x_1}(x_1)=f_{x_2}(x_2)=...=f_{x_n}(x_n)=f_x(x) \Rightarrow \mu_{x_1}=\mu_{x_2}=...=\mu_{x_n}=\mu \ \ \land \ \sigma^2_{x_1}=\sigma^2_{x_2}=...=\sigma^2_{x_n}=\sigma^2$ hay que diferenciar la muestra de una muestra concreta es decir $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ de $(21.10,21.05,20.98,21.12,21.05)$, la muestra son un conjunto ordenado de variables aleatorias; mientras que la muestra concreta constituyen valores concretos que toman las variables aleatorias. Ahora $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n{x_i}}{n}$ es también una variable aleatoria y una estadística (depende de la muestra) y en efecto aunque no lo has demostrado con rigor se tiene $\mu_{\bar{x}}=\mu \land \sigma^2_{\bar{x}}=\frac{\sigma^2}{n}$, el promedio tiene como media y como varianza, la media y la varianza de la población, que en general son desconocidas. Precisamente por ser desconocidas se han de estimar, hay varios métodos y se prefieren los insesgados en este caso se usa $\bar{x}$ concreto de la muestra, como estimador de $\mu$ y $s^2$ concreto de la muestra, como estimador de $\sigma^2$, estas estimaciones son válidas y se prefiere $s^2$ a $\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{}x})^2}{n}$ por ser insesgado ($E(s^2)=\sigma^2$). En resumen primero se estima $\mu=\bar{x}$ con la muestra concreta, luego se estima $\sigma^2=s^2$ con la muestra concreta, donde $s^2=\frac{\sum_{i=1}^n{(x_i-\bar{}x})^2}{n-1}$ y con eso se calcula $\sigma=\frac{s}{\sqrt{n}}$ y se establece el intervalo de certidumbre.

Saludos

[Berna]

Ok, pero cuál es la diferencia entre la varianza muestral y la incertidumbre?

Por que si tengo una muestra con muchas mediciones, la varianza de la muestra va a tender a ser igual a la varianza poblacional y la incertidumbre tendera a cero. (como en el ejemplo que di; la masa de una roca se mide muchas veces).

$\lim_{n \to \infty } \sigma =\lim_{n \to \infty } \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right)=\frac{\sigma}{\infty }=0$

Y eso no me hace sentido. Tendría que reportar una masa prácticamente exacta, carente de error/incertidumbre.

Qué se supone que representa la incertidumbre?
Y cuál es su relación con la varianza poblacional?

[delmar7]

La varianza muestral, es una estadística (depende de la muestra) y también es una variable aleatoria $s^2=\frac{(x_i-\bar{x})^2}{n-1}$ donde $x_1,x_2, ..., x_n$ constituyen una muestra (la cual es un conjunto ordenado de variables aleatorias); mientras que la incertidumbre de una medición es una medida de la dispersión de los valores de una variable aleatoria (en este caso de la masa en torno a su media) por lo general se usa la desviación stándar como medida de la incertidumbre. En este problema se hace una estimación de la incertidumbre del promedio muestral, es decir de la desviación stándar del promedio muestral, primero se estima la media del promedio muestral $\mu_{\bar{x}}=\bar{x}$ se adjudica el valor concreto, del promedio de la muestra dada, luego se estima la desviación stándar del promedio muestral $\sigma_{\bar{x}}=\frac{s}{\sqrt{n}}$ donde $s^2$ es la varianza de la muestra concreta dada y es también un estimador de la varianza poblacional $\sigma^2$

En resumen en este caso la incertidumbre es la desviación stándar del promedio muestral y su relación con la varianza poblacional es $\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma^2}{n}$, como se desconocen la media y varianza poblacional se la estima, particularmente el estimador de la varianza poblacional es $s^2$ de la muestra dada y el estimador de la media poblacional es $\bar{x}$ de la muestra dada.

Saludos