Un problema de circulación de campo vectorial

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Es que no sé cómo llamarles xD, son cuartos de circunferencia , los obtienes haciendo x=0, y=0, z=0 respectivamente. Lo de parametrizar lo hago porque son integrales de línea y dependen del camino, no? No sabía que podía resolverlo así, pero tomo nota para ahorrarme faena

Gracias Al!

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?

Lo que yo entiendo es:

1. Región simplemente conexa:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \vec\nabla\times \vec F = 0$$

2. Región cuyo dominio no sea simplemente conexo:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

lo cual implica que $\vec\nabla\times\vec F = 0$ (pero no hay doble implicación).

Y bueno, lo que no sé es si basta con que una sea nula una vez has visto que el rotacional es nulo, o es imposible saber si un campo es conservativo en el caso que su domino no sea simplemente conexo.


Saludos!


PD: Si pudiesemos hacer $\vec F = \vec\nabla U$, podríamos decir que lo es aunque el dominio no fuese simplemente conexo?

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Anda, pues eso no nos lo habían dicho, es decir, que si la función no es continua en el recinto, este resultado no es válido? Pero, por ejemplo, el campo gravitatorio no es continuo en $\vec 0$ y sí que es conservativo, no?

Entonces, para saber si un campo es conservativo o no, bastaría con ver que el rotacional es 0 y que, al menos, una de las circulaciones es nula? O sería imposible saberlo?

El campo gravitatorio, caso de que hables una masa puntual, sólo presenta una singularidad en el origen, donde la propia masa está situada. Más abajo explico el concepto de simplemente conexo, y según eso, al quedar sólo un punto fuera del dominio de definición de $\mathbf{g}$, no pasa nada. No obstante, calcula el campo gravitatorio creado por una distribución rectilínea, infinita y uniforme de masa; sorpresa sorpresa, la propia recta sobre la que se distribuye la masa queda fuera del dominio de definición de $\mathbf{g}$, pero no pasa nada, por dos motivos: sigue existiendo una función potencial escalar (lo que pasa es que ya no puedes asignar el de potenciales en el infinito), y mira, eso de distribución infinita no existe en la vida real...

Pero si esto es cierto, ¿Por qué en este ejercicio http://forum.lawebdefisica.com/threa...rema-de-Stokes aún siendo la integral de línea igual a 0 no es conservativo (Digo esto porque lo pone en la solución del ejercicio)? Vale que se afirma que el rotacional es diferente a 0 y que lo hacemos en una región simple connexa y por tanto no es conservativo pero en tu última frase dices que:
y en este caso esa integral de línea es 0. Entonces, ¿Cual prevalece?

Vamos a ver, el hecho de que la integral de línea sea nula para TODO camino cerrado es la definición de campo conservativo. En otras palabras, es condición necesaria y suficiente.

La condición de $\vec\nabla\times \vec F =0$ es necesaria, y como en ese caso es diferente de cero, no se cumple. Si he entendido bien a Metaleer creo que lo que dice es que si la región es simplemente conexa entonces, basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

La definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

Totalmente correcto.

Simplemente conexo significa que cualquier curva de Jordan (simple y cerrada) contenida dentro del dominio se puede encoger hasta reducirlo a un punto sin que ésta se salga nunca del dominio. En el plano, eso se traduce en que no pueden haber agujeros. En el espacio, sí pueden haber agujeros, pero rectas enteras sin incluir, no. Por ejemplo, si la recta $OZ$ queda fuera de un dominio, ese dominio ya no es simplemente conexo. Pero si sólo quedan fuera algunos puntos, no pasa nada, el dominio sigue siendo simplemente conexo.

xd pues es esa. Según mis apuntes un dominio sin agujeros. O sea yo tengo una figura plana tipo región de dominio R2 de integración y ha de ser toda 1, sin huecos por el medio aunque puede ser multiplemente convexa para la que tengo dibujada una figura plana con 2 agujeros lo que pasa que es como si la partiera entre 2. No sé si te la habrán dibujado a ti



Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?

No, es condición necesaria y suficiente, pero ojo, que es para todo camino cerrado. Es la definición (una de otras tres equivalentes) de campo conservativo.

Lo que yo entiendo es:

1. Región simplemente conexa:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \vec\nabla\times \vec F = 0$$

2. Región cuyo dominio no sea simplemente conexo:

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

lo cual implica que $\vec\nabla\times\vec F = 0$ (pero no hay doble implicación).

Y bueno, lo que no sé es si basta con que una sea nula una vez has visto que el rotacional es nulo, o es imposible saber si un campo es conservativo en el caso que su domino no sea simplemente conexo.


Saludos!


PD: Si pudiesemos hacer $\vec F = \vec\nabla U$, podríamos decir que lo es aunque el dominio no fuese simplemente conexo?

Totalmente correctas las conclusiones que has sacado, y sí, en vez de

$$\text{Campo conservativo} \Leftrightarrow \oint_\gamma \vec F\cdot\dd\vec r =0\qquad\forall\gamma$$

también puedes decir que la integral de línea no depende del camino, o que existe una función potencial escalar tal que $\vec F = \vec\nabla U$; las tres condiciones estas son equivalentes, y valen, tanto el dominio sea simplemente conexo o no, pues son las definiciones de campo vectorial conservativo. Si el dominio es simplemente conexo, desde un punto de vista operacional resulta más cómodo lo del rotacional.

Saludos.