1r ciclo Un problema de circulación de campo vectorial

[idontknow]

Hola!

Estoy haciendo problemas de circulación de campos vectoriales pero he topado con uno que se me ha atragantado. El problema dice así:

Calcular la intersección del campo vectorial $\vec a = (2x + z)\vec i + (2y-z)\vec j + xyz\vec k$ a lo largo de la línea cerrada intersección del paraboloide de revolución $x^2+y^2=1-z$ con los planos de coordenadas. ¿Es el campo conservativo?

Mi problema principal es que no recuerdo cómo sacar los planos de coordenadas. Porque una vez sabido los 3 planos, ¿Tan sólo sería un sistema de 4 ecuaciones para después parametrizar esa línea no? ¿Pero habrían varias soluciones no? Lo digo porque me imagino la figura cortada en 8 octetos y gracias a eso podría coger diversos caminos para comprobar si es conservativo ¿no?

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hola, supongo que te has equivocado copiando, el problema pide la circulación no la intersección
Además una vez dice lo de los planos de coordenadas dice que se tome $x,y,z\geq 0$, es decir que sólo tendríamos que coger la parte que queda en la región positiva de los planos xy, yz, y xz (suponiendo que estás diciendo el mismo problema que yo xDD, el 41, no?).

Para este va bien hacerse un dibujo, lo que te queda es que corta los tres ejes en los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1). Y la línea que lleva A a B es $x^2+y^2=1$, la que lleva B a C $y^2+z^2=1$ y la que nos lleva de C a A cerrando la línea es $x^2+z^2 = 1$.

Este yo lo he calculado dividiéndolo en 3 trozos, pero bueno, eso como te vaya mejor xD, yo he hehco

$$I=\oint_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r=\int_{AB} + \int_{BC} + \int_{CA}= I_x + I_y + I_z$$

.


Entonces,

$\text A \;\to\;\text B\quad\Rightarrow\quad z = 0\quad\Rightarrow \vec a_{a\to b} = 2x\hat\imath + 2y\hat\jmath$

La integral queda así

$$\int_{AB} 2x\dd x + 2y\dd y$$

Puedes pasarlo a paramétricas $x=\cos t;\;\; y = \sin t;\qquad 0\leq t\leq \pi/2$.

Y si calculas dx, dy y sustituyes verás que da 0.


De B a C tienes que sólo contribuye la componente y del campo, así que

$$I_{BC}\int_{BC} (2y-z)\dd y$$

Puedes hacer el cambio $y=t; z = 1-t^2$, y si miras las ecuaciones del principio y el sentido en el que estamos recorriendo la línea verás que los límites de integración irán de $t=1$ a $t=0$

así que, calculando dt, te queda:

$$\int_0^1 (2t-1+t^2)\dd t = -\frac 13$$

.

Y de C a A la integral a resolver es

$$I_z = \int_{CA}(2x+z)\dd x$$

ya que como y = 0, dy = 0,

aquí hice el cambio $x=\cos t;\; z = 1-\cos^2 t$

y los límites de integración van de $t=\pi / 2$ a $t=0$, si miras los dibujos y las ecuaciones se ve mejor xD.

Así que se tiene que resolver la integral

$$\int_{\pi/2}^0 (2\cos t +1 -\cos^2 t)(-\sin t)\dd t = \frac 53$$

Así que

$$\boxed{I=\frac 43}$$

Con lo cual, no es conservativo.

No sé, no creo que sea ni mucho menos la mejor forma de resolverlo, pero en su momento no se me ocurrió otra xD, a ver si alguien se lo mira y nos echa un cable xD.

Espero que mañana no se pasen mucho xDD.

Saludos y suerte!

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Hola

Pues sí es verdad, me equivoqué de palabra y sí, es el 41.

El problema que tengo yo es que no sé dibujar figuras. ¿Qué idea utilizas a la hora de dibujar una figura?

Por otra parte sigo sin ver lo de los puntos de corte (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Debe ser por no tener el dibujo pero de todas maneras, matemáticamente habrá una forma ¿no?

En fin, mañana rodarán cabezas

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Jaja, esperemos que no rueden mucho xDD.

El dibujo es un paraboloide, los puntos de corte los puedes hacer haciendo x=y=0 para ver dónde corta en el eje x, x=z=0 para ver dónde corta en el eje y y z=y=0 para ver donde corta en el eje x. Si no te dijese que corta con los planos pues tendrías que resolver el sistema. Es decir, que lo que te queda es como si a una campana le pusieses los tres ejes en su centro (aprox), y luego cogieses de ella sólo la parte positiva de los ejes. Te quedaría como una especie de "octavo" de pelota, no? xD, pues eso es lo que queda en este caso. Es que no sé como dibujarlo con el ordenador, si no lo ves te escaneo el dibujo.

Entonces, del punto (1,0,0) al (0,0,1) vamos siguiendo una parábola y lo mismo con los otros puntos, que son las primeras ecuaciones que te he escrito antes (fíjate que es hacer x=0, z=0, y=0 en la ecuación del paraboloide).


Y bueno, hay figuras que más o menos sé cómo son según la ecuación, así que si es mu rara... xD ni en broma sé dibujarla, lo cual te limita mucho el problema, la verdad.

$x^2 + y^2 = 1$ sería en 2D una circunferencia, por lo tanto, en 3D como añades el eje z, tendrías un cilindro de radio 1.
$x^2+y^2 = z$ es un parabolide (""campana"") con origen en el (0,0,0) y hacia arriba.
$x^2+y^2 = a-z$ sería lo mismo, pero con origen en (0,0,a) y hacia abajo.
$\alpha x+\beta y+\gamma z = \mu$ es un plano.

Saludos!

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Ahhh! ahora lo he pillado xd

Vale gracias por el esquema mental. Ahora mismo me lo aprendo

Yo es que iba viendo dibujitos gracias a wolframalpha http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+ pero estas cosas en un examen no sirven... por desgracia...

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Una condición necesaria pero no suficiente para tener un campo vectorial conservativo es que su rotacional sea nulo. Si además el dominio de definición del campo vectorial es simplemente conexo, esta condición se convierte en necesaria y suficiente. En este caso, tenemos funciones que cumplen este requisito, así que a ver el rotacional:

Sea $\displaystyle F(x, y, z) = (\overbrace{2x + z}^P, \overbrace{2y-z}^Q, \overbrace{xyz}^R)$, entonces el rotacional es

$\displaystyle \text{rot} ~ F = \nabla \times F = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) = (xz - 1, 1 - yz, 0) \neq (0, 0, 0),$

y por tanto el campo vectorial no es conservativo.

Saludos.

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Pensaba que simplemente por tener un rotacional diferente a 0 el campo ya era conservativo. Entonces, ¿Cuales son todas las posibles condiciones?

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Pensaba que simplemente por tener un rotacional diferente a 0 el campo ya era conservativo. Entonces, ¿Cuales son todas las posibles condiciones?

Es al revés, si el rotacional es 0 el campo es conservativo. Creo que los campos que nos dan a nosotros siempre cumplen esta condición, a ver si Metaleer nos puede dar un ejemplo donde no se cumpla

Saludos!

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Es al revés, si el rotacional es 0 el campo es conservativo.

Ups! Debo de tener dislexia
Cierto, cierto.

Creo que los campos que nos dan a nosotros siempre cumplen esta condición, a ver si Metaleer nos puede dar un ejemplo donde no se cumpla

Pues me parece a mí que también. En las actividades siempre te has de fijar que el rotacional sea 0. A ver si nos sorprende el maestro

[Metaleer]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

El típico contraejemplo académico:

$\displaystyle F(x, y, z) = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0 \right).$

Os invito a que comprobéis que el rotacional es , pero si calculáis la integral de línea a lo largo de una circunferencia de radio unidad, centrada en el origen del plano XY, veréis que da $2 \pi \neq 0$, luego difícilmente se trata de un campo vectorial conservativo. El problema es que uno no se fija en el dominio de definición del campo vectorial, que debe ser simplemente conexo para tener la doble implicación

$F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$

pero es que en general es

$F~\text{conservativo} \Rightarrow \nabla \times F = 0.$

Esto es una de las cagadas que más se ve en la bibliografía, ya son varios libros donde he visto que usan el hecho mágico de que $F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$ y, combinándolo con el Teorema de Kelvin-Stokes, llegan a la conclusión de que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$ para campos conservativos, donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$, y no al revés.

Saludos.

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

Anda, pues eso no nos lo habían dicho, es decir, que si la función no es continua en el recinto, este resultado no es válido? Pero, por ejemplo, el campo gravitatorio no es continuo en $\vec 0$ y sí que es conservativo, no?

Entonces, para saber si un campo es conservativo o no, bastaría con ver que el rotacional es 0 y que, al menos, una de las circulaciones es nula? O sería imposible saberlo?

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

El típico contraejemplo académico:

Esto es una de las cagadas que más se ve en la bibliografía, ya son varios libros donde he visto que usan el hecho mágico de que $F~\text{conservativo} \Leftrightarrow \nabla \times F = 0,$ y, combinándolo con el Teorema de Kelvin-Stokes, llegan a la conclusión de que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$ para campos conservativos, donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0$, y no al revés.

Pero si esto es cierto, ¿Por qué en este ejercicio http://forum.lawebdefisica.com/threa...rema-de-Stokes aún siendo la integral de línea igual a 0 no es conservativo (Digo esto porque lo pone en la solución del ejercicio)? Vale que se afirma que el rotacional es diferente a 0 y que lo hacemos en una región simple connexa y por tanto no es conservativo pero en tu última frase dices que:

donde realmente la definición de campo conservativo es que $\displaystyle \oint_\mathcal{C} F \cdot dr = 0<br />$

y en este caso esa integral de línea es 0. Entonces, ¿Cual prevalece?

[arreldepi]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

La condición de $\vec\nabla\times \vec F =0$ es necesaria, y como en ese caso es diferente de cero, no se cumple. Si he entendido bien a Metaleer creo que lo que dice es que si la región es simplemente conexa entonces, basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

La definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

[Al2000]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

...
Para este va bien hacerse un dibujo, lo que te queda es que corta los tres ejes en los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1). Y la línea que lleva A a B es $x^2+y^2=1$, la que lleva B a C $y^2+z^2=1$ y la que nos lleva de C a A cerrando la línea es $x^2+z^2 = 1$.
...

Amigo, aclárame un par de dudas, si no tienes inconveniente. En la cita de arriba la trayectoria BC y la trayectoria CA están erradas, ¿verdad? ¿Un error de tipeo? Porque en tu siguiente mensaje dicen que son parábolas, por eso asumo que solo es un error de tipeo.

Bueno, mi pregunta en realidad es ¿por qué parametrizas? Es decir, ¿por qué te tomas la molestia de parametrizar si puedes integrar directamente sin mayor problema?:

$$I_{AB}=\int_{AB}(2 x dx + 2 y dy) = \int _1^0 2 x dx + \int _0^1 2 y dy = 0$$

$$I_{BC}= \int _{BC}(2y-z) dy = \int _1^0(2y-1+y^2) dy = - \frac 1 3$$

$$I_{CA}= \int _{CA}(2x+z) dx = \int _0^1(2x+1-x^2) dx = \frac 5 3$$

¿Será simplemente la fuerza de la costumbre?

Saludos,

Al

[idontknow]

Re: Un problema de circulación de campo vectorial

a definición de simplemente conexa cuál es? Es que yo en mis apuntes tengo: región sin agujeros xD.

xd pues es esa. Según mis apuntes un dominio sin agujeros. O sea yo tengo una figura plana tipo región de dominio R2 de integración y ha de ser toda 1, sin huecos por el medio aunque puede ser multiplemente convexa para la que tengo dibujada una figura plana con 2 agujeros lo que pasa que es como si la partiera entre 2. No sé si te la habrán dibujado a ti

basta con que el rotacional se anule, si no, lo del rotacional nulo sólo indica que puede ser conservativo.

Hombre es que dicho como lo decía parecía que también fuera condición necesaria que la integral de línea fuese 0 ¿no?