2o ciclo Armónicos esféricos

[Gothgauss]

Apasionante tema el de los armonicos, cuya infomracion en la red es mas bien escasa

Yo tengo dos preguntas. En los armonicos esfericos, como se demuestra uqe los armoncos esfericos son funciones propias de Lz

¿Puede ser haciendo L^2=Lx^2+Ly^2+Lz^2 y viendo que no depende de la variable de Lz?

¿Cuales son los valores propios correspondinetes a cada armonico?

[pod]

Re: Armónicos esféricos

Apasionante tema el de los armonicos, cuya infomracion en la red es mas bien escasa

Yo tengo dos preguntas. En los armonicos esfericos, como se demuestra uqe los armoncos esfericos son funciones propias de Lz

¿Puede ser haciendo L^2=Lx^2+Ly^2+Lz^2 y viendo que no depende de la variable de Lz?

¿Cuales son los valores propios correspondinetes a cada armonico?

Para ver si un armónico esférico es propio de $L_z = i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}$ basta con aplicar dicho operador y ver que nos da una función proporcional... En este caso,

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi} Y_{lm}(\theta,\,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\,\varphi) \ .$$

O, en notación de Dirac (por si la comprendes),

$$\hat L_z \left| l,m\right> = m \hbar \left| l,m \right> \ .$$

Como ves, el valor propio es simplemente el número cuántico m (en unidades de h barra).

[Gothgauss]

Re: Armónicos esféricos

Gracias por la respuesta.

Tan sólo añadir que se te despisto un signo - en el término de la izquierda

[pod]

Re: Armónicos esféricos

A veces los signos cambian según como se use en cuántica, en geodésia, etc. Por ejemplo, tienes la fase de Condon-Shortley. La que seguro es correcta es la ecuación 2 del mensaje anterior.

[Pablo]

Re: Armónicos esféricos

Para ver si un armónico esférico es propio de $L_z = i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi}$ basta con aplicar dicho operador y ver que nos da una función proporcional... En este caso,

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial\varphi} Y_{lm}(\theta,\,\varphi) = m\hbar Y_{lm}(\theta,\,\varphi) \ .$$

O, en notación de Dirac (por si la comprendes),

$$\hat L_z \left| l,m\right> = m \hbar \left| l,m \right> \ .$$

Como ves, el valor propio es simplemente el número cuántico m (en unidades de h barra).

Además puedes para un desarrollo más profundo del tema pues coger los armónicos esféricos como desarrollo en serie de potencias de los polinomios de Legendre y utilizar las propiedades de las funciones hipergeométricas en términos de la teoría de Nikiforov-Uvarov, y descompones L**2 en coordenadas esféricas.
Sé que es tedioso pero la solución es bien bella.

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Tengo una pregunta. Tengo que hacer un trabajo sobre armónicos esféricos... he buscado en internet y dice que son unas soluciones a las ecuaciones de Laplace, que se escriben en función de dos ángulos y un radio, etc. Mi profesora me dice que lo enfoque estudiando la forma de las funciones, que se escriben a partir de funciones seno y coseno, que cualquier función de dos ángulos sobre una esfera, f(theta, phi), se puede escribir como un desarrollo en serie con unos coeficientes. Me ha dicho que desarrolle ese tema pero no se como hacerlo... alguien puede orientarme? Gracias.

[pod]

Re: Armónicos esféricos

Tengo una pregunta. Tengo que hacer un trabajo sobre armónicos esféricos... he buscado en internet y dice que son unas soluciones a las ecuaciones de Laplace, que se escriben en función de dos ángulos y un radio, etc. Mi profesora me dice que lo enfoque estudiando la forma de las funciones, que se escriben a partir de funciones seno y coseno, que cualquier función de dos ángulos sobre una esfera, f(theta, phi), se puede escribir como un desarrollo en serie con unos coeficientes. Me ha dicho que desarrolle ese tema pero no se como hacerlo... alguien puede orientarme? Gracias.

Puedes intentar leer esto: http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/strum/

En ese documento no salen los armónicos esféricos, pero la metodología de funciones propias y funciones ortogonales es esa.

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Sigo sin saber cómo hacerlo... según mi profesora debo hacer lo siguiente: expresar una función n una esfera sobre dos ángulos (theta y fi). Ésta se expresa de la siguiente manera: f(theta,fi)=Sumatorio(en L y M) de A(subLM)*Y(subLM) de theta*fi... debo desarrollar ese tema, expresar cómo se halla el coeficiente A, calcular un ejemplo. etc. etc... pero no sé cómo ni dónde buscar... alguien sabe dónde puedo encontrar información que me ayude a resolver mi problema? Gracias...

[pod]

Re: Armónicos esféricos

Bueno, los armónicos esféricos cumplen la siguiente condición de ortonormalidad,

$$\int_0^{2\pi}\!\!\dd\varphi \int_0^\pi \!\!\dd\theta\ \sin\theta\ Y_{l'm'}^* (\theta,\,\varphi) Y_{lm}(\theta,\,\varphi) = \delta_{l'l} \delta_{m'm}\ .$$

Supongo que sabes que significan esas deltas de Kronequer; sino, en resumen eso significa que esa integral vale 1 si $l' = l$ y $m'=m$ (las dos condiciones deben cumplirse). Si una (o las dos) condiciones no se cumple, entonces esa integral siempre da cero.

Eso se aprovecha de la forma siguiente, tu puedes expandir cualquier función de dos ángulos de la forma

$$f(\theta,\,\varphi) = \sum_{l,m} A_{l,m} Y_{l,m}(\theta,\,\varphi)\ .$$

Para aprovechar la igualdad de antes, lo que haces es meter esto en una integral apropiada y desarrollar,

$$\begin{aligned}<br /> \int_0^{2\pi}\!\!\dd\varphi \int_0^\pi \!\!\dd\theta\ \sin\theta\ Y_{l'm'}^*(\theta,\,\varphi)\ f(\theta,\,\varphi) & = <br /> \sum_{l,m} A_{l,m} \int_0^{2\pi}\!\!\dd\varphi \int_0^\pi \!\!\dd\theta\ \sin\theta\ Y_{l'm'}^*(\theta,\,\varphi) Y_{lm}(\theta,\,\varphi) \\ <br /> & = \sum_{l,m} A_{l,m} \delta_{l'l} \delta_{m'm} \\<br /> & = A_{l',m'}\ ,<br /> \end{aligned}$$

de donde sale

$$A_{l,m} = \int_0^{2\pi}\!\!\dd\varphi \int_0^\pi \!\!\dd\theta\ \sin\theta\ Y_{l,m}^*(\theta,\,\varphi)\ f(\theta,\,\varphi)$$

Esta es la forma general de proceder para expansiones de cualquier funciónm ortogonal, como explica el documento que te cité.

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Tengo una pregunta, ¿qué significa el asterisco sobre uno de los armónicos esféricos de la integral... acaso es para denotar que es diferente al otro? Gracias...

[pod]

Re: Armónicos esféricos

Tengo una pregunta, ¿qué significa el asterisco sobre uno de los armónicos esféricos de la integral... acaso es para denotar que es diferente al otro? Gracias...

Complejo conjugado.

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Gracias... ya he logrado reunir la informacion.... pero me falta calcular un ejemplo... podeis ayudarme? la verdad no tengo los conocimientos necesario para hacerlo...

[pod]

Re: Armónicos esféricos

Gracias... ya he logrado reunir la informacion.... pero me falta calcular un ejemplo... podeis ayudarme? la verdad no tengo los conocimientos necesario para hacerlo...

¿No sabes integrar?

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Sí, pero no sé cómo plantear el ejemplo de una manera coherente y que muestre su utilidad... entiendo el concepto de armónico en un nivel general, pero no lo suficiente como para ponerme a trabajo con eso...

[pgerlein]

Re: Armónicos esféricos

Tengo una duda... al definir los armónicos esféricos los defines como un polinomio de lagrange por un coeficiente asociado... qué son las funciones asociadas de Lagrange y c´mo se relacionan con los armónicos esféricos?