Geometrías no euclidianas

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

¡Ya estoy de vuelta! Leí tu mensaje pero aún no había podido dedicar tiempo a él ya que no domino mucho el tema y tengo que sopesar con cuidado mis respuestas.

Yo también tengo conocimiento de la expresión de las esferas, por eso preguntaba (a lo mejor cada figura tiene una expresión asociada del estilo). Bueno ya me buscaré la vida.

Algo habrá por alguna parte pero no tengo la menor idea.

Me refiero por ejemplo al área del triangulo hiperbólico: $A=\pi-(\alpha+\beta+\gamma)$. $\alpha\beta\gamma$ son ángulos, y no sé si se cancelaran (supongo que sí) porque no sé la expersión del volumen. En este caso área y volumen son lo mismo para dos dimensiones, pero lo pregunto por si me pasa más adelante, hay que ser previsor (y viendo en el mensaje de hace unas semanas, todas mis dudas se han hecho realidad).

No conozco esta fórmula, pero diría que le falta algo porque no coinciden las unidades en ambos lados de la igualdad. Además, En todo caso ya veo que lo de la constante adimensional es mejor usarlo solo para espacios euclidianos. Si el espacio está curvado, la relación entre los ángulos y el área de un triángulo depende del radio de curvatura del espacio en el que que está el triángulo. Entonces en la fórmula del área debería haber ése radio para poderse cancelar y aún así no se si funcionaría. Lo que sí es cierto es que los ángulos son adimensionales y no tienen que cancelarse.

Yo tenia la idea de representar en una gráfica los valores de la constante adimensional (y así ver las posibles incoherencias a partir de una determinada dimensión), pero si lo dejo en función de la altura o la base me será difícil ordenarlos. ¿Alguna idea? Es que hasta ahora, en la parte euclídea del proceso, solo me había planteado el caso de n-cubos en los que la constante es siempre un número, pero después caí que cuadrados propiamente dichos (con cuatro ángulos rectos) no existen en la geometría hiperbólica, y por eso me he pasado a los n-triángulos, pero me encuentro con este problema.

Ya, en un espacio hiperbólico puedes tener cinco ángulos rectos en un "circulo". Creo que fué mala idea lo de la constante para espacios no euclidianos.

Por cierto, hecho con h, supongo que te has despistado (creo vamos, ahora voy a quedar mal y todo xD).

Si no me despisto, no sería yo mismo .

Respecto a tu último párrafo, yo he leído lo mismo que tú me dices del espacio de Minkowski. La duda que yo tengo es qué hacer, si considerar la cuarta dimensión como espacial o como temporal. Según he leído como lo estoy haciendo ahora en geometría euclídea la estoy considerando temporal, pero tampoco veo la diferencia si yo la considero espacial. ¿Este tipo de espacio lo he de tener en cuenta en la geometría hiperbólica? Es que prefiero quedarme en el modelo del disco de Poincaré para no complicarme aún más. Pero ahora me entra la duda si en toda la geometría entraría en acción el espacio de Minkowski. Físicamente sí, eso lo tengo claro, pero con tanto lío ya me he confundido.

Sí, diría que el Disco de Poincaré es más tratable que el espacio Minkowsky. Además la cuarta dimensión sería el tiempo, pero según el observador las componentes espaciales y la temporal se combinan ya que el cambio de sistema de coordenadas entre dos sistemas es una rotación hiperbólica.

Tu última sugerencia suena bien pero necesito meditar bien lo del toroide, porque ponerlo como una dimensión más y imaginando eso para tres dimensiones ya me cuesta de pensar.

No te mates si no lo ves claro, asegúrate de exprimir lo que sabes bien para tener el material suficiente. Mis sugerencias son tiradas "al aire" por si te da ideas, pero no lo tomes demasiado en serio

Edito: Ahora me he encontrado con una cosa que no sé si soy yo o qué pero no sé aplicar la fórmula de la constante adimensional: yo tengo un triangulo euclidiano, y quiero relacionar su pérímetro con su área. Su perímetro es $3a$, siendo $a$ uno de sus lados (los tres son iguales) y su área $\frac{1}{2}ah$, siendo $a$ la base y $h$ la altura. Claro, yo estoy en dos dimensiones, y por tanto debería elevar las dos expresiones al cuadrado y luego dividir, por lo que me quedaría $\frac{36}{h^2}$. Pero también veo que tanto el perímetro como el área no necesitan elevarse al cuadrdo puesto que los lados son unidimensionales, y la altura está elevada a 1. Si no considero los cuadrados y divido, me quedaría $\frac{6}{h}$. Como he de dejar la constante en función de la altura, no sé cual de las dos coger...

Para poner un ejemplo, en el caso de un triángulo equilátero normal y corriente tienes que buscar la relación entre la arista y la altura. Por pitágoras tenemos que

$$a^2= h^2+(\frac 1 2 a)^2,$$

$$h^2=a^2-(\frac 1 2 a)^2,$$

$$h=\frac{\sqrt 3}{2}a.$$

Con esto podemos definir el perímetro y el área en función de la arista

$$P=3a.$$

$$A=\frac 1 2 ah=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

Si el triángulo no es equilátero puedes poner dos de las aristas en función de la otra para lograr lo mismo. Si tengo tres aristas: a, b, c, las puedo parametrizar en función de a.

$$a=a$$

$$b=ka$$

$$c=ja$$

Lo bueno de esto es que $j$ y $k$ son adimensionales y no tienen que cancelarse. pero solo obtendrás un determinado número si $k$ y $j$ tienen un valor determinado.

Pero en todo caso no tengo mucho conocimiento sobre espacios no euclidianos, la mayoría de los razonamientos los hago sobre la marcha a partir de mis conocimientos en otras áreas y puedo estar mareando la perdiz para nada. Insisto que lo de la constante no lo mires en espacios no euclidianos o al menos yo no podré ayudar mucho. Aún así, espero al menos poder ayudar en algo.

Saludos y hasta pronto.

[SO3]

Re: Geometrías no euclidianas

He estado leyendo un poco por encima el hilo y me parece que aun no os habeis dado cuenta de que podeis hacer un trabajo muy interesante hablando de algo mucho más simple que triangulos y sus volumenes, y que tendriais que definir antes siquiera de hablar de triangulos: las rectas.

La formula que tienes para triangulos hiperbolicos es para rectas hiperbolicas, no rectas euclideas. Por ejemplo, puedes describir cuales son las rectas en los espacios de curvatura constante, ie, espacio hiperbolico, espacio euclideo y esferas. Puedes decir cual es el comportamiento de dos rectas distintas, por ejemplo, hablar de la nocion de rectas paralelas y por lo tanto del quinto axioma de Euclides, y de porque las geometrias no euclideanas se llaman asi.

El problema de minimizar el volumen a area fija (el problema isoperimétrico) es demasiado dificil, intenta probarlo simplemente para R^2, con la métrica euclidea, que la bola minimiza el volumen para permietrico y veras que es un problema dificil si no tienes las técnicas adecuadas. Probablemente la mayoria de licenciados en matematicas no conozcan una prueba de este hecho.

[guibix]

Re: Geometrías no euclidianas

Gracias por aportar un nuevo enfoque al hilo, que yo me estaba quedando sin recursos . y también gracias por dar el nombre a la "cosa de la constante adimensional": Isoperimetría (es que hay cada nombre...), ya que era algo que había razonado por mi mismo sin haber tocado el tema. ¿Supongo que el problema es mucho más fácil en espacios euclidianos, verdad?

Salud!

[SO3]

Re: Geometrías no euclidianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Isoperimetr%C3%ADa

en la wikipedia te viene la historia del problema isoperimetrico en el plano euclideo.

Aún así, yo te sugeriria que hablases de la geometría de las geodésicas, si no lo has hecho, y de los postulados de Euclides, que son las razones porque a la geometria hiperbolica y elíptica se les llama no euclideas.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Gracias por vuestras respuestas.

La cosa es que de las rectas paralelas ya he hablado ámpliamente en la primera parte del trabajo, así que no sé si ir por ahí. Y las geodésicas y demás también, de hecho eran la parte principal de trabajo. Otra cosa SO3, ¿a que te refieres exactamente con describir rectas en un espacio de curvatura constante? Yo en el trabajo el tema de las rectas lo he trabajado bastante, pero no sé como "investigar" con rectas (es que es lo que me piden).

En cuanto al tema de la constante, si es demasiado difícil, ¿creeis que aún así será difícil para la geometria esférica? Es que como sigue siendo un espacio bidimensional en un cuerpo tridimensional (es decir, que no hay cuatro dimensiones) he pensado que podría trabajar en esa y compararla con la euclidiana.

Por cierto al final tonto de mí me acordé que hay fórmulas de triangulos en función de un lado (teniendo en cuenta que todos son iguales) y así ya me da valores numéricos.

Bueno, he mandado por correo lo que llevo a mi profesora y supongo que para el lunes ya me habrá dicho algo. Ya le dije lo que tenia pensado hacer, pero haber que opinará de lo que llevo hecho.

Edito: Siento la tardanza pero por una cosa u otra aún no he podido hablar con mi profesora. Se supone que el miércoles ya sí os podré dar nuevas noticias y a ver como puedo avanzar (si me surgen más dudas claro pero esto parece cada vez más un callejón sin salida).

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

Ups, creía que ya había posteado pero no. La cosa es que he seguido avanzando y ya solo me queda una duda para, en principio, acabar el fin de semana esta "parte práctica": ¿En geometría hiperbólica, si considero menos dimensiones que 4, la geometría se vuelve euclidiana? Me suena mucho que en este hilo se ha comentado pero no estoy seguro (tampoco lo encuentro). ¿Y si considero menos de 2 dimensiones en la elíptica?

Gracias por adelantado.

- - - Actualizado - - -

Otra pregunta, esta ya sí que debería solucionarme el problema. ¿El perímetro en las otras geometrías sigue siendo la suma de lados? Es que no encuentro fórmulas de perímetros y lo he pensado y esa fórmula típica debería valer para toda geometría no euclidiana.

[Weip]

Re: Geometrías no euclidianas

He encontrado que el perímetro de un triángulo singue siendo la suma de la longitud de sus lados en geometría elíptica, pero aún no he encontrado si lo que digo es cierto en la hiperbólica. ¿Alguien sabe como es el perímetro en esta geometría?
No os preocupéis que esta ya es mi última pregunta, solo con esto ya podré dar por finalizado el trabajo escrito.

Gracias por adelantado.