Rodeando la tierra

[carroza]

Re: Rodeando la tierra

Hola.

Yo, por mí, cerraba el hilo con la construcción de Breogan, para el problema de construir una linea "recta" en una esfera perfecta.

Si entramos en otras superficies curvas, por ejemplo un paraboloide, para construir circulos no se usaría un compás. Las puntas de un compás tienen una distancia fija en el espacio tridimensional que engloba a la superficie, y, por casualidad, tienen una "distancia" fija sobre la superficie de una esfera. Pero no tienen una "distancia" fija sobre la superficie de un paraboloide.

Para construir "circulos" sobre la superficie de un paraboloide puede utilizarse una cuerda de longitud constante, que gire apoyandose siempre sobre la superficie del paraboloide. Esto permitiría hacer la construcción de Breogan para un paraboloide.

Mi duda surge para superficies más complicadas, con picos y cosas así, de tal manera que los "circulos" tivieran formas singulares, en forma de ocho.

Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Imagino que tu procedimiento es válido para una superficie no esférica, con curvatura arbitraria. Basta con construir los "circulos" con una cuerda tensa, de longitud dada, que esté pegada a la superficie ...¿o no? Haría falta un matemático topólogo para afirmar esto con autoridad.Un saludo

Hola carroza:

Yo entiendo que no es válido, en general, para cualquier superficie. Este método utiliza la propiedad del plano de la esfera que pasa por el centro de la esfera de ser un plano de simetría. Sin esta propiedad, no podría saber que está siguiendo el camino con mayor radio de curvatura. En este método no se hace uso explícito de la posición del centro de la esfera, pero se utiliza una propiedad particular del plano que pasa por el centro. En el caso de la esfera se parte además de que es seguro que los dos primeros puntos, sean cuales sean, pertenecen a un circulo máximo, lo cual no ocurre en otras superficies

Pongamos el caso de un paraboloide. Si como primer punto se toma el vértice del paraboloide y como segundo punto otro punto cualquiera de la superficie, ya se tiene asegurado que estos dos primeros puntos están sobre un plano de simetría que divide al paraboloide en dos partes simétricas y sería aplicable este método para hallar el resto de los puntos de intersección de este plano de simetría con el paraboloide y todos ellos estarán efectivamente alineados. Si partimos de otros puntos cualesquiera estaremos siguiendo otro camino....
Y, a mayores, tal vez convenga también fijarse en que cuando en un punto de la esfera colocamos el compás y lo giramos una vuelta completa se obtiene siempre un círculo. Cuando estamos en un paraboloide solo se obtiene un círculo cuando la punta del compás se coloca en el vértice del paraboloide. Mas si la punta del compás se coloca en cualquier otro punto, la figura que se obtiene no es evidentemente un círculo pero es simétrica respecto a dicho plano pudiéndose, entonces, utilizar dos puntos de este círculo simétricos respecto al plano para obtener, por equidistancia, cualquier otro punto del plano de simetría y, en concreto, aquellos que pertenecen a la intersección del plano de simetría con el paraboloide.
Un saludo

[carroza]

Re: Rodeando la tierra

Muy bueno, Breogan. A mí me ha convencido. Como dice Oscar, puedes evitar el punto 5 de tu argumento, ya que podrían plantearse problemas a la hora de determinar el punto medio entre dos dados, en una superficie curva.

Imagino que tu procedimiento es válido para una superficie no esférica, con curvatura arbitraria. Basta con construir los "circulos" con una cuerda tensa, de longitud dada, que esté pegada a la superficie ...¿o no? Haría falta un matemático topólogo para afirmar esto con autoridad.

Un saludo

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Hola:

Oscar el método sugerido por mi creo que no hace uso de ningún modo de la posición del centro de la tierra, creo ( y solo creo, porque es algo que recién veo y no se si es del todo cierto) que el método hace lo que hace porque todos los diámetros de un circulo trazado sobre una esfera pertenecen a un circulo máximo de dicha esfera.

Suerte

El método que has sugerido para la determinación del tercer punto es el mismo que el que se utiliza para trazar la bisectriz de un ángulo en el plano, sirvíéndose de la propiedad de la bisectriz de ser equidistante de los lados del ángulo.

Efectivamente no hace uso de la dirección del centro de la Tierra, pero si hace uso del plano que pasa por el centro de la Tierra.
Aquí empiezas tomando dos puntos (1 y 2) por el que pasa un plano meridional. A continuación determinas dos puntos de una perpendicular a dicho plano meridional equidistantes al mismo (3 y 4). Y, por último, a continuación, aprovechando que cualquier punto del plano meridional tiene que equidistar de estos dos puntos, hallas el punto 5 (punto medio entre los puntos 3 y 4) y el punto 6.
O sea que directamente no estás haciendo uso del centro de la Tierra ni de la dirección del centro de la Tierra, pero sí estás utilizando las propiedades de un plano que solo tiene ese plano meridional que pasa por el centro de la Tierra.

Un saludo

[Breogan]

Re: Rodeando la tierra

Hola:

Con las limitaciones que tiene este explorador me parece que va a estar muerto antes de completar una vuelta al mundo, por donde pueda que lo haga...

Oscar el método sugerido por mi creo que no hace uso de ningún modo de la posición del centro de la tierra, creo ( y solo creo, porque es algo que recién veo y no se si es del todo cierto) que el método hace lo que hace porque todos los diámetros de un circulo trazado sobre una esfera pertenecen a un circulo máximo de dicha esfera.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Muy interesante procedimiento, Breogán. No necesitaría siquiera determinar el punto 5 (punto medio de 3 y 4) sino que (en lo que creo) se puede trazar el punto 6 desde 3 y 4. Y repitiendo el procedimiento con los dos últimos puntos seguir la trayectoria de un círculo máximo, efectivamente, solo aprovechando la simetría de la esfera, sin verticales, ni tangencias, ni centro de la esfera, ni curvaturas, ni perpendiculares... que nos sitúen el plano que contiene al centro de la esfera (si bien se aprovecha de saber que los puntos 3 y 4 equidistan de ese plano meridional que pasa por su centro)
Muchas gracias.

Y, efectivamente, si sirve para alinear tres puntos sobre la esfera, también sirve para saber si tres puntos de la esfera están o no alineados, es decir si están o no sobre un círculo máximo. Y, aunque este no sea el procedimiento permitido al explorador de Jabato, lo cierto es que no necesita conocer la dirección del centro de la esfera (si bien, -hay que reiterarlo-, indirectamente se aprovecha de las propiedades del plano que pasa por él).... Yo retiro, pues, todo lo dicho en relación a esta necesidad de que, para determinar si tres puntos sobre la esfera están o no alineados, se tenga que conocer, de una forma u otra, la dirección del centro de la esfera (de forma que con ello se pueda conocer la posición del plano que pasa por el centro de la esfera) ... (aunque tampoco estoy muy seguro de que este tu procedimiento prescinda por completo de conocerlo a través de sus propiedades...)

Re: Rodeando la tierra

En teoría el explorador solo puede utilizar las visuales, para hacer lo que haga falta, lo que desde luego no puede hacer es tomar medidas o dibujar círculos. Si puede ver los tres puntos con su ojo puede saber si están alineados y/o ubicar un nuevo punto alineado con ellos, cualquiera que sea la posición.

La construcción que propones creo que es buena y permite de una forma precisa ubicar cuatro puntos (y hasta 5) sobre un círculo máximo sin necesidad de otras referencias que no sean las del suelo que se pisa, aunque es una lástima que para poder hacerla haya que trazar círculos y tomar medidas, pero ... si le suministro un carrete de hilo de sedal a mi explorador entonces ya podría realizarla, y si le añado un anzuelo (eso vale poco) entonces podría hasta pescar, aunque el cebo se lo tendría que apañar él. Interesante, creo que se lo voy a regalar para su cumpleaños que es dentro de unos días.

Salu2

[Breogan]

Re: Rodeando la tierra

Hola:

Agrego un dibujo de la construcción geométrica referida anteriormente:

Repasando la construcción:

1º _ Elegimos el punto 1 y trazamos el circulo 1'
2º _ Elegimos el punto 2 y trazamos el circulo 2', de forma que se intercepte con 1'
3º _ Marcamos el punto 5 en el medio del segmento definido por los puntos 3 y 4, que resultan de la intersección de los círculos 1' y 2'
4º _ Trazamos los círculos 3' y 4' con centro en los puntos 3 y 4 respectivamente
5º _ Donde se interceptan los círculos 3' y 4' marcamos el punto 6
6º _ A partir de los puntos 6 y 2 y los círculos 6' y 2' se empieza a repetir a partir del paso 3º

De esta forma creo que los puntos 1, 5, 2, y 6 quedan alineados, y creo que a su vez pertenecen a un circulo máximo de la tierra.
Me gustaría escuchar su punto de vista al respecto. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

PD: disculpas Jabato, justo estaba escribiendo este mensaje cuando vos respondiste. Mi intención no es traer a colación la teoría de la relatividad, solo venia a cuento de tirar una piedra en una órbita rasante, como sugirió Rodri y que implícitamente suponía la hipótesis de gravedad centrada en la esfera.

Repito una duda, el tuerto puede alinear solo con una recta que pase por su ojo sano, o también puede alinear los tres puntos desplegados en una linea que no pase por su ojo sano.

Gracias

Suerte

Re: Rodeando la tierra

Pues no se si lo sabes pero cuando hablas de geodésicas del campo gravitatorio estás hablando de la teoría de la relatividad de Einstein que es algo más complicada, aunque en esa teoría el campo gravitatorio no es más que un reflejo de la curvatura del espacio-tiempo. Quizás sería mas adecuado hablar en ese caso de geodésicas del espacio-tiempo, no de geodésicas del campo gravitatorio. Creo que no tiene mucha utilidad para mi explorador pero gracias de todos modos.

Ah, muchas gracias otra vez de parte de mi explorador, buena estrategia para trazar tres puntos situados sobre un círculo máximo aunque mi explorador no puede trazar el punto medio de un segmento porque no puede hacer mediciones, y mucho menos trazar círculos, tan solo puede utilizar las lineas visuales que le permite su ojo sano. Es un hombre con poco recursos económicos.

Salu2

[Breogan]

Re: Rodeando la tierra

Hola:

Jabato, no soy el mas informado para aclararte el tema. Creo entender que la geodesica del campo gravitacional es la linea mas corta que une dos puntos en un espacio de cuatro dimensiones (tres espaciales y una temporal) dotado con una métrica de Minkowski, creo que las órbitas son ejemplos de lineas geodesicas. Esto te lo pueden explicar mucho mejor y mas exactamente otros foreros, mi comentario solo fue para explicitar una suposición implícita, que el centro de atracción gravitacional coincide con el centro de la esfera, sobre todo en los mensajes de Rodi y arivasm.

En el mensaje anterior se perdió mi acotación sobre la utilización de hipótesis simplificadoras, y su correspondiente declaración explicita para que todos se entiendan mejor. Siempre me quedo la duda de si el tuerto alineaba los puntos con una linea que terminaba (o empezaba) en su ojo sano, o también podía alinear los puntos en una linea que formara cierto angulo con el horizonte, sin que la linea formada por los puntos terminara en su ojo.

Mas halla de lo anterior (que ya quedo viejo), creo que tengo la forma de alinear tres puntos de forma que sean parte de un circulo máximo de la tierra sin recurrir a la gravedad, al centro de la tierra, o a otra referencia; pero todavía no se me ocurre como poner un cuarto punto con la misma alineación.
Supongamos la tierra perfectamente esférica, sin accidentes geográficos; supongamos el tuerto con una vista de alcance y resolución infinita, con la capacidad de trazar círculos perfectos sobre la superficie terrestre y capacidad de medir con infinita presición , el procedimiento seria:
1º Marca dos puntos sobre la superficie terrestre.
2º Traza sendos círculos con centros en cada uno de los puntos, y con un radio apenas mayor que la mitad de la distancia entre dichos puntos.
3º Traza el segmento de recta que une los puntos de intersección de ambos círculos.
4º Marca el punto medio de dicho segmento.

De esta forma, los centros de ambos círculos y el punto marcado según el item 4 estarían todos sobre el mismo circulo máximo, no? Ni idea como alinear un cuarto punto

Creo

Suerte

Re: Rodeando la tierra

Hay una pregunta que, después de este debate me asalta, y que no sé si podría contestar. La cuestión es la siguiente, en el debate se plantearon dos cuestiones de las que una está aún sin contestar:

1ª) Una demostración matemáticamente rigurosa de que si el explorador traza una geodésica en un espacio supuestamente plano (el que ve el explorador) describirá a su vez una geodésica en el espacio físico real que es una superficie esférica. La demostración matemática está aún pendiente de ser expuesta aunque ya se intuye bastante bien por donde hay que enfocarla.

2ª).- La segunda cuestión era si nuestro explorador, tuerto y cojo, sería capaz de trazar dicha geodésica sin tener referencia al plano horizontal o bien a la vertical, pregunta que creo que ya quedó contestada.

La pregunta que me asalta es si dicha regla, es decir una geodésica trazada en un espacio plano se transforma en otra geodésica trazada en la superficie terrestre, sigue siendo válida para otras superficies o es una propiedad que solo se satisface en la esfera. Esta última pregunta enlaza también con el ultimo mensaje, de Breogan, en el que se plantea una cuestión que habla de geodésicas del campo gravitatorio, mensaje que no sé si entiendo bien, porque me gustaría que Breogan aclarara a que se refiere por geodésicas del campo gravitatorio. ¿Te refieres Breogan a trayectorias de mínima longitud compatibles con el movimiento libre en el seno del campo gravitatorio o a otro concepto que se me escapa? No me queda muy claro a que te refieres cuando hablas de geodésicas del campo gravitatorio.

Salu2

[Breogan]

Re: Rodeando la tierra

Hola:

Primero felicitar a todos por el hilo, se me hizo muy interesante leer la diversas opiniones.

Intervengo solo para exponer una opinión que es mas una duda.
En el caso de la piedra de Rodri (o la bala de arivasm) yo creo que la bala no sigue un circulo máximo de la esfera, sino que sigue una linea geodésica del campo gravitacional (menudo lió en que me metí), que en este caso coincide con el circulo máximo solo por que el centro de la esfera coincide con el centro gravitacional. Si esto no fuera así la trayectoria no seria un circulo máximo de la esfera.
Seria parecido al ejemplo dado por pod en otro post, sobre el explorador que para dar una vuelta alrededor del polo con un radio pequeño debe girar continuamente hacia un lado, abandonando la trayectoria recta. Si el centro gravitacional del planeta estuviera en el centro del circulo del paralelo en el que camina, no se vería obligado a doblar para llegar al mismo punto desde donde salio.

En cuanto al problema en concreto, creo que el secreto esta en establecer el método posible para determinar una trayectoria sobre la superficie terrestre, dejando bien claro las hipótesis simplificadoras usadas a tal efecto.

Suerte.

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Aunque me juré no participar en este hilo lo haré: los pistoleros son muy listos y saben que para matar a otro que esté en el mismo paralelo no hay que tirar según el paralelo, sino en la dirección del círculo máximo que pasa por el punto en el que está el otro pistolero.

Eres un pillo arisvam...Se ve que los años de enseñanza te enseñaron donde cazar a los alumnos con conceptos poco claros... Yo diría que la lista es la bala que entre sus muchas trayectorias posibles para llegar a su blanco siempre sabe elegir el meridiano sin perderse en calcular curvaturas, tangencias, verticales, ni mucho menos en quitar y poner estacas....
Pero aquí, arisvam, somos igual de listos que esa bala...y sabemos que dos puntos de una esfera siempre están unidos por un meridiano....
El pistolero listo sería el que fuese capaz de disparar en una dirección que no fuera un meridiano...(con permiso del Sr. Coriolis que nos reprendería por no tenerlo en cuenta)

Se me ocurre un experimento mental que quizá aporte algo de luz adicional al problema.
Imaginemos que el explorador está exactamente en el polo norte, con una Tierra perfectamente esférica y sin rotación. Ahora el explorador, harto de tanta estaca y tanto caminar, coge una piedra (la llevaba en el bolsillo, porque en el polo no hay) y la lanza con una fuerza sobrehumana hacia cualquier dirección del horizonte. La velocidad es tan sobrehumana que la piedra se pierde en el horizonte y siguiendo su "movimiento natural" acaba pasando exactamente por encima del polo sur, da la vuelta a la Tierra y termina golpeando el cogote del explorador.

A mí me parece que esto es exactamente lo que sucedería. La piedra sobrevolaría todo el rato un meridiano terrestre, porque la componente $\varphi$ de la velocidad, en el sistema de coordenadas esféricas ($r,\theta, \varphi$) sería cero constantemente, al tener la fuerza gravitatoria (responsable de curvar la trayectoria) solo componente radial.

Ese "movimiento natural" sobrevolaría exactamante todas las estacas alineadas que queramos poner al dar una vuelta a la Tierra según el meridiano en cuestión. Y esto demuestra, en mi opinión, que el método de alinear estacas produce una trayectoria que es un círculo máximo.

Hola Rodri.
Efectivamente que esa piedra, lo mismo que la bala del sabio pistolero de arisvam, nos marca la dirección de un círculo máximo. Pero no se si te has dado cuenta que esa piedra, lo mismo que la bala, son tan listas que saben cual es la dirección vertical y se guían alineándose con su plano "vertical".

Re: Rodeando la tierra

Ahhhhh!

[arivasm]

Re: Rodeando la tierra

Aunque me juré no participar en este hilo lo haré: los pistoleros son muy listos y saben que para matar a otro que esté en el mismo paralelo no hay que tirar según el paralelo, sino en la dirección del círculo máximo que pasa por el punto en el que está el otro pistolero.