Rodeando la tierra

Re: Rodeando la tierra

Creo que sigues sin entenderlo oscarmuinhos. Para mi pod ha dado en el clavo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Pero amigo pod el problema no está planteado así.
No se trata de saber cual es la distancia más corta entre dos puntos de la superficie esférica, que, por supuesto, es la geodésica (o linea recta de la superficie esférica).

El problema empieza así..

Necesitaría demostrar que si nos movemos sobre la superficie terrestre siempre manteniendo la misma dirección al final llegaríamos a describir un círculo máximo de la tierra.

Por ejemplo un explorador que avanza en la dirección de tres puntos alineados sobre el suelo. Cuando alcanza el tercero sitúa un nuevo punto alineado con los tres anteriores, y continua su avance, etc. Se trata de demostrar que acabaría llegando al punto de partida después de haber descrito un círculo máximo.

Salu2

Y lógicamente el problema continúa por aclarar que entender por puntos "alineados" sobre una superficie esférica.

Y la definición utilizada.... que el "explorador los vea alineados" ...

La solución que tú planteas parte ya de aceptar que tres puntos están alineados si están sobre un círculo máximo, es decir sobre la misma recta de una superficie esférica. Con lo cual, en todo caso, solo habría que justificar (como bien dices tú) la definición de recta utilizada demostrando que la distancia más corta entre dos puntos de una superficie esférica es la geodésica.

Pero ¿ES CAPAZ ESE EXPLORADOR QUE NOS PROPONE JABATO DE TRAZAR UN CÍRCULO MÁXIMO CON SOLO VER A SUS TRES PUNTOS "ALINEADOS"?
Y aquí, si me permites, quiero recordar una frase de nuestro profesor de termodinámica cuando nos explicaba las propiedades del vector fuerza termodinámica a partir de la homogeneidad de la Energía interna o los potenciales termodinámicos utilizando las transformadas de Legendre: "no se olviden: las Matemáticas no son Física. La Física es observación en lenguaje matemático".

Re: Rodeando la tierra

Muy bueno pod.

Salu2

[pod]

Re: Rodeando la tierra

Básicamente la respuesta de este hilo se reduce a comprobar que un circulo máximo es la solución a la ecuación de las geodésicas (cómo el hilo está marcado como avanzado, se supone que deberíamos poder hacerlo sin mucha dificultad).

Alternativamente, dando por sentado que las geodésicas son cuervas de mínima distancia, uno puede utilizar la demostración que el circulo máximo es la distancia más corta entre dos puntos de la esfera. Es una demostración relativamente simple, la podéis ver en la wiki.

Por ejemplo, si me muevo continuamente hacia el oeste y no parto de un punto del ecuador, habré descrito un paralelo.

En realidad para caminar hacia el oeste uno tiene que ir girando continuamente: hacia la derecha si estamos en el hemisferio norte, a la izquierda en el hemisferio sur. Uno lo ve claro si intenta caminar por un paralelo muy próximo al polo. Por ejemplo, imagínate un paralelo de un metro de radio. Obviamente recorrer un círculo de un metro de radio no es lo mismo que "caminar siempre en la misma dirección". El único caso en que uno puede ir siempre al oeste sin cambiar de dirección contínuamente (y recorrer un circulo máximo) es en el ecuador.

[Johny_tolengo]

Re: Rodeando la tierra

Tres puntos ubicados sobre un círculo máximo estarán contenidos en un plano que pasa por el centro de la esfera y, por lo tanto, dicho plano contendrá también al punto central de aquella.
Creo que la solución se podría encontrar intentando demostrar que tres puntos cualesquiera sobre la superficie de una esfera pueden estar ubicados sobre un plano que no contiene al punto del centro de la misma.

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Esa es la idea, sí, pero hay un problema y es que la alineación de las estacas define unívocamente la trayectoria del explorador y por lo tanto de todas esas proyecciones hay que elegir una. La cuestión estriba en saber cual. Yo opino que es el círculo máximo, pero hasta el momento no veo la forma de demostrarlo.

Salu2

Define univocamente la trayectoria sobre el plano tangente pero no sobre la esfera...porque de alguna manera habrá que proyectar esa trayectoria sobre la esfera y esta proyección no es única: puede hacerse siguiendo la dirección perpendicular al plano tangente (dirección vertical de la esfera) y nos dará, efectivamente, un circulo máximo sobre la esfera; pero puede hacerse en cualquier otra dirección y ya no tendremos un círculo máximo...

Re: Rodeando la tierra

Esa es la idea, sí, pero hay un problema y es que la alineación de las estacas define unívocamente la trayectoria del explorador y por lo tanto de todas esas proyecciones hay que elegir una. La cuestión estriba en saber cual. Yo opino que es el círculo máximo, pero hasta el momento no veo la forma de demostrarlo.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Bien puestos en el caso de que el explorador (obviamente) no percibe la redondez de la Tierra, se puede considerar, tal y como dices tú, dices que se mueve sobre un plano tangente a la superficie de la Tierra y alinea sus tres puntos sobre ese plano tangente. En este plano tangente "la alineación" no cabe duda que es la del plano euclídeo: el punto C está alineado con los puntos A y B si C pertenece a la recta determinada por los puntos A y B. Mas esto por si solo no define la alineación sobre la superficie terrestre. Estos tres puntos (alineados sobre el plano tangente) habrá que "proyectarlos" sobre la superficie esférica, ¿no es así?. Y puede ser proyectados de muchas maneras. Si se proyectan verticalmente nos definirán el círculo máximo...

Re: Rodeando la tierra

El explorador clava tres estacas en el suelo, y comprueba que están alineadas es decir que puede ver las tres proyectadas una sobre otra. Podemos quizás considerar que las tres estacas están sobre el plano tangente a la esfera (plano del horizonte) en tres puntos geométricamente alineados. Hay que tener en cuenta que aunque la superficie sea esférica la percepción del explorador es la de una superficie plana. Tres puntos coplanarios pueden estar geométricamente alineados creo yo. El explorador no percibe la diferencia porque su visión de la superficie terrestre es la de una superficie plana.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Es que te estás inventando el enunciado. No hay que definir alineados de ninguna forma, están alineados si el explorador los ve alineados. Esa es la definición de alineados. De hecho es el explorador quien los coloca alineados. Lo que hay que demostrar es que si el explorador los ve alineados entonces la trayectoria que seguirá es la de un círculo máximo. No hay que dar más definiciones. La única condición para que los puntos estén alineados es esa y no otra. La única aproximación que es necesario hacer es la de identificar los puntos de la superficie terrestre con los de una superficie esférica, todo lo demás está en el enunciado.

Salu2

Creo que no me invento nada... Y claro que será necesario "definir" antes lo que se entiende por "alinear tres puntos" sobre una superficie esférica, porque la definición de alineación del espacio euclídeo no sirve.

Si se toma como definición de alineados que el explorador los vea alineados,...es claro que el explorador deberá añadir algo más, porque si solo se fija en los puntos nunca los podrá ver alineados...lo que puede ver alineadas son las "estacas" (es decir vectores) que dices al principio, pero entonces, en este caso, habrá que añadir en que plano están esas estacas o que dirección tienen dichas estacas o vectores...Si previamente dices que las dos primeras estacas tienen dirección vertical (entendida como la dirección gravitatoria o hacia el centro de la esfera) entonces estas dos estacas pertenecen al plano que pasa por esos dos puntos y ademas corta a la esfera según un círculo máximo (dos vectores y un punto determinan un plano y como los vectores concurren en el centro de la esfera, el plano no puede ser otro que el correspondiente a un círculo máximo). Y claro está que la tercera estaca para estar "alineada" deberá pertenecer al mismo plano que las otras dos....es decir a un círculo máximo.

Pero de esta forma no estás alineando puntos sino imponiendo la condición de que las estacas o vectores sean verticales (la vertical es la dirección desde el punto al centro de la esfera), es decir que pertenezcan a un plano ecuatorial. Es decir estás definiendo la alineación...¿o no? Porque si a las dos primeras estacas que el explorador "ve alineadas" no se les impone la condición de que sean verticales (dirigidas hacia el centro de la esfera) la tercera estaca que el observador coloque "viéndola alineada" con las otras dos coincidirá con un paralelo, pero no con un circulo máximo

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Pues claramente sí, el explorador puede a primera vista colocar tres estacas alineadas en dirección este, yo tampoco estoy tan seguro de que mi afirmación sea correcta. Lo que busco es la demostración matemática, o bien de que la afirmación es cierta o bien de que la afirmación es falsa, pero una demostración. Hasta el momento solo ha habido afirmaciones pero sin justificación, lo que se busca es la demostración fehaciente que justifique una de las dos alternativas, o bien que la trayectoria es la de un círculo máximo o bien que no lo es, pero una demostración. Desde luego lo que es cierto es que solo puede haber una trayectoria, pero ... ¿cual? Si no es un círculo máximo entonces ... ¿cual es la trayectoria?

Salu2

Si se desea se puede transformar el razonamiento anterior en demostración matemática con solo tomar dos vectores y un punto y estudiar la posición del plano definido por estos dos vectores y el punto con relación a la esfera....o tomar dos puntos y un vector colocado en uno de ellos y tomar luego un segundo vector coplanario con el otro vector y el punto y estudiar la posición relativa entre este plano y la esfera

Re: Rodeando la tierra

Pues claramente sí, el explorador puede a primera vista colocar tres estacas alineadas en dirección este, yo tampoco estoy tan seguro de que mi afirmación sea correcta. Lo que busco es la demostración matemática, o bien de que la afirmación es cierta o bien de que la afirmación es falsa, pero una demostración. Hasta el momento solo ha habido afirmaciones pero sin justificación, lo que se busca es la demostración fehaciente que justifique una de las dos alternativas, o bien que la trayectoria es la de un círculo máximo o bien que no lo es, pero una demostración. Desde luego lo que es cierto es que solo puede haber una trayectoria, pero ... ¿cual? Si no es un círculo máximo entonces ... ¿cual es la trayectoria?

Salu2

[H2SO4]

Re: Rodeando la tierra

al colocar la tercera estaca alineada con las dos primeras ello le obligara a seguir una trayectoria conforme a la traza de un círculo máximo y no puede ser la de un paralelo
Salu2

O sea, que un terrícola no puede alinear tres estacas en dirección este-oeste. Curioso.

Un saludo

Re: Rodeando la tierra

Es que te estás inventando el enunciado. No hay que definir alineados de ninguna forma, están alineados si el explorador los ve alineados. Esa es la definición de alineados. De hecho es el explorador quien los coloca alineados. Lo que hay que demostrar es que si el explorador los ve alineados entonces la trayectoria que seguirá es la de un círculo máximo. No hay que dar más definiciones. La única condición para que los puntos estén alineados es esa y no otra. La única aproximación que es necesario hacer es la de identificar los puntos de la superficie terrestre con los de una superficie esférica, todo lo demás está en el enunciado.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

A ver si lo doy explicado yo también...
1) Nos colocamos (o colocamos a nuestro explorador) en un punto cualquiera de la esfera. Este punto pertenece evidentemente a un círculo máximo. Llamémoslo punto A (que para verlo más claramente) girando la esfera convenientemente podemos poner que coincida con el eje z.
2) Nos movemos ahora a un segundo punto B. Este segundo punto B tiene que pertenecer a alguno de los infinitos círculos máximos que pasan por el punto A. Estos dos puntos A y B determinan una recta que pertenece a los infinitos planos que cortan a la esfera por los puntos A y B. Uno de estos planos cortará a la esfera dando lugar a un círculo máximo;
4) Nos colocamos ahora en un tercer punto C de la superficie de la esfera "alineado" con los otros dos. Y ahora aquí hay que pararse a definir lo que se entiende por alineación sobre una superficie esférica:

-Si por alineados definimos: "tres puntos sobre una superficie esférica están alineados si pertenecen a un mismo plano", es evidente que tres puntos de una superficie esférica siempre van a pertenecer al mismo plano y por lo tanto estarán siempre alineados. Con esta definición de la alineación, tres puntos alineados no tienen por que pertenecer a un círculo máximo, pero si que pertenecerán a una circunferencia y siguiendo la alineación (siguiendo el mismo plano) se llegará al punto de partida;

-Si definimos la alineación: "tres puntos están alineados si y solo si pertenecen a un plano que corta a la circunferencia según un círculo máximo", ...ya no hace falta demostrar nada, porque forma parte de la definición de alineación.

En resumen, que hay que definir antes lo que se entiende por alineación.

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si lo explico. Situándonos en el punto donde está inicialmente el explorador. Y tracemos mentalmente todas las tangentes a la superficie terrestre por ese punto. El explorador al iniciar su movimiento y una vez ubicada la segunda estaca (la primera está junto al explorador) deberá trasladarse según una de esas tangentes. De eso no hay duda. Pues bien al colocar la tercera estaca alineada con las dos primeras ello le obligara a seguir una trayectoria conforme a la traza de un círculo máximo y no puede ser la de un paralelo, por ejemplo. La cosa está en demostrarlo claro, no basta con afirmarlo.

Salu2