Rodeando la tierra

Re: Rodeando la tierra

Desde luego que no, el debate dice que el explorador, cojo y tuerto, podrá dirigirse segun un círculo máximo de la tierra con solo establecer tantos puntos alineados como sea necesario utilizando para ello su propia visión, es decir trazando tan solo lineas visuales podrá describir un circulo máximo de la tierra. No puede por lo tanto establecer verticales ni el plano de horionte. Tan solo puede trazar una alineación de puntos usando como únicas referencias su propia vista y el suelo que pisa. Se admite que la tierra es perfectamente esférica a todos los efectos.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Tres puntos en el espacio definen una circunferencia. Esta circunferencia está contenida en la superficie de infinitas esferas.
Unicamente en la esfera de radio mínimo, para la cual la circunferencia definida por los puntos es un circulo máximo, puede decirse que los tres puntos estén alineados.
En el resto de las esferas, que contienen a los tres puntos, los tres puntos no estarán alineados.

Pero este, en lo que entendí, no era el problema inicial.
El problema inicial era si un explorador sobre la superficie terrestre (considerada una esfera perfecta) es capaz de
acertar en seguir la trayectoria de un círculo máximo sin ninguna información, ni explícita ni implícita, sobre la dirección del centro de la esfera con solo marcar tres puntos sobre esa superficie esférica.

Imaginemos las tres naves, con una luz sobre su mástil. Desde la nave trasera, veríamos las dos luces de las naves anteriores, que no coincidirían exactamente en la misma dirección por efecto de la curvatura de la tierra..
Si las naves viajan en un circulo máximo, las posiciones relativas de las luces, no coincidentes, serán perpendiculares a la línea del horizonte.
Sin embargo, si viajamos por un paralelo, las posiciones relativas de las luces no son perpendiculares al horizonte.
Así que quizás baste una condición menos restrictiva que conocer la dirección del centro de la tierra. Basta conocer la línea del horizonte.

Pero, amigo carroza, ese mástil te está indicando la dirección del centro de la Tierra. Y trataríamos con vectores, no con puntos.

Cosa distinta es lo que pod explica en el post 63. En lo que entendí yo de lo que ahora dice pod, es que el explorador tendría que estudiar la curvatura de la superficie esférica a nivel local (o estudiar la curvatura de las distintas trayectorias) y después de ese estudio efectivamente puede elegir la trayectoria del circulo máximo. Pero, con permiso de pod, yo no entendí que este fuera el problema inicial planteado, o por lo menos ese no fue el debate que yo entendía que estábamos haciendo.

Saludos a todos

[carroza]

Re: Rodeando la tierra

Así que repito lo que preguntó oscar de una forma mucho mas especifica, los 3 siguientes puntos:
$P=(-1,0,0)$
$Q=(1,0,0)$
$R=(0,\sqrt{3},0)$
Que están situados en la superficie de una esfera desconocida, ¿ estan alineados o no ?

Hola. Interesante debate. Voy a tratar de responder a esta pregunta.

Tres puntos en el espacio definen una circunferencia. Esta circunferencia está contenida en la superficie de infinitas esferas.

Unicamente en la esfera de radio mínimo, para la cual la circunferencia definida por los puntos es un circulo máximo, puede decirse que los tres puntos estén alineados.

En el resto de las esferas, que contienen a los tres puntos, los tres puntos no estarán alineados.

Un saludo

- - - Actualizado - - -

Y como las matemáticas no son Física....imaginad tres naves en alta mar, las tres siguiendo la ruta de un paralelo terrestre. ¿Será capaz la primera de las naves de ver que la tercera no está "alineada" con las dos primeras?. Si pudieran verse desde fuera de la Tierra, a una distancia donde se pudiera apreciar la curvatura de la Tierra o si, por algún arte de magia, pudieran reducir a escala el tamaño de la Tierra hasta apreciar la curvatura, sin duda que serían capaces, porque, aunque fuese de forma inconsciente, podrían situar el centro de la Tierra....Sin saber situar el centro de la Tierra, lo creo imposible.

Hola.

Imaginemos las tres naves, con una luz sobre su mástil. Desde la nave trasera, veríamos las dos luces de las naves anteriores, que no coincidirían exactamente en la misma dirección por efecto de la curvatura de la tierra..

Si las naves viajan en un circulo máximo, las posiciones relativas de las luces, no coincidentes, serán perpendiculares a la línea del horizonte.

Sin embargo, si viajamos por un paralelo, las posiciones relativas de las luces no son perpendiculares al horizonte.

Así que quizás baste una condición menos restrictiva que conocer la dirección del centro de la tierra. Basta conocer la línea del horizonte.

Un saludo.

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

La forma de saber si un circulo de la esfera (es decir, una subvariedad $S^1$) es máximo o no es muy sencilla, y está explicitada en el nombre. Un círculo es máximo si cualquier deformación del mismo hace que su longitud sea menor.

Pero eso es no es un poco como hacer trampa y cambiar las condiciones del experimento.

Se habla de un explorador en un mundo tridimensional, no de un un explorador en un mundo bidimensional con una cierta curvatura (extrinseca o intrinseca da igual). Si planteamos que el explorador vive en un mundo bidimensional, al alinear las estacas, por ejemplo visualmente, los rayos de luz al viajar de una estaca a otra siguen la distancia minima en ese mundo que se corresponde con una geodesica (suponiendo que el mundo tienen leyes de movimiento equivalentes al nuestro). Pero un explorador en la tierra en un mundo tridimensional no tiene ese lujo, los rayos de luz no siguen una linea geodesica sobre la superficie bidimensional de la tierra.

El explorador tridimensional terrestre tendria que poner tres estacas, pero despues necesitaría medir la distancia entre ellas, y para eso no vale comprobar visualmente el alineamiento, tiene que poner infinitas estacas alineadas (o dar infinitos pasos) entre las tres estacas para poder comprobar la distancia entre ellas, pero como partimos de que el explorador es un humano tridimensional (y Jabato ha postulado que es cojo y medio tuerto lo que dificulta aun mas el problema), el principio de minima accion sobre mundos bidimensionales no se le aplica, asi que no sabría seguir una linea geodesica bidimensional para comprobar cual es la ruta minima posible.
Vale que podriamos decirle al explorador: toma todas las infinitas rutas posibles entre estas dos estacas que incluyan a la estaca del medio y escoge la mas corta, pero claro , luego ya hablamos de un explorador con superpoderes, que está usando mas de 3 puntos de la superficie para comprobar la alineacion (en realidad los estaría usando todos !!!), y dudo en llamar a esto alineamiento visual, asi que no tengo claro que esto sea admisible por lo menos en las condiciones del problema planteado.

Re: Rodeando la tierra

Ya pues entonces parece que no he leído bien tu mensaje, lo volveré a revisar a ver si lo entiendo. Mi posición está clara, sí, y la de Oscar también, lo que no acaba de entenderse es como es posible que ambos parece que tengamos razón. Uno de los dos debería estar equivocado ¿no?

Salu2

[pod]

Re: Rodeando la tierra

Este hilo empieza a padecer del típico caso de sobre análisis, llevando a una respuesta mucho más compleja de lo necesario

Esto no lo entiendo, 3 puntos en el espacio de la superficie de una esfera no definen de forma univoca una unica esfera, pueden corresponder a distintas esferas de distintos radios y centros. Si sustituyo los 3 puntos que tengo en la ecuacion de una esfera, me salen un sistema no lineal de 3 ecuaciones y 4 incognitas (no se el radio, ni el centro).
Luego si solo a partir de los 3 puntos (y sin ninguna otra información como por ejemplo la curvatura o la direccion del centro, que nos permita deducir la ecuacion de la esfera y por lo tanto su centro) podemos concluir que forman un circulo maximo (saber si estan alineados), tiene que cumplirse que formen un circulo maximo en todas las esferas posibles a las que puedan pertenecer, ¿ esto se cumple ?
Yo diria que no, si tengo 3 puntos en el espacio tridimensional formando un triangulo equilatero, puede ser que pertenezcan a una esfera pequeña cuyo centro esta justo en el centro del triangulo y por lo tanto formen un circulo maximo, o puede ser que esos 3 puntos formen parte de una esfera muchisimo mayor con centro fuera del triangulo y que por lo tanto no esten alineados en absoluto.

Aquí estás dando por supuesto que la esfera está inmersa en un espacio tridimensional. Pero no tiene por qué ser así. La geometría Riemanniana tiene suficientes herramientas para estudiar una variedad por si sola, sin que sea necesario recurrir siempre a una inmersión ("embedding" en inglés).

Si estudiamos la variedad diferencial $S^2$ (es decir, una esfera) por si sola, sin considerarla inmersa en un espacio tridimensional plano, entonces simplemente no existe tal cosa como "centro de la esfera", ni ningún tipo de dirección "de la plomada" ni nada de eso.

La forma de saber si un circulo de la esfera (es decir, una subvariedad $S^1$) es máximo o no es muy sencilla, y está explicitada en el nombre. Un círculo es máximo si cualquier deformación del mismo hace que su longitud sea menor.

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

Jabato lo que explicas creo que ha quedado bastente claro, yo entiendo que en este hilo se estan tratando y mezclado dos temas diferentes.
Por un lado la cuestion que has explicado y por otro lado una cuestion que habla de estacas, alineamientos y muy importante: que supone que el explorador no sabe andar en linea recta (por eso necesita las estacas), porque si ya sabe andar en linea recta no tiene sentido ir con estacas por ahi comprando alineamientos.
Lo que he dicho que no entiendo de la respuesta de pod se refiera a una pregunta muy especifica de oscar sobre 3 puntos y que no tiene que ver con que el explorador ande en linea recta o no. Así que repito lo que preguntó oscar de una forma mucho mas especifica, los 3 siguientes puntos:
$P=(-1,0,0)$
$Q=(1,0,0)$
$R=(0,\sqrt{3},0)$
Que están situados en la superficie de una esfera desconocida, ¿ estan alineados o no ?

Re: Rodeando la tierra

Vamos a ver si soy capaz de explicarlo. Tres puntos en el espacio (no alineados en el sentido euclideo) determinan un plano, de eso no hay duda, y dentro de ese plano determinan una circunferencia, correcto también. Si por el centro de esa circunferencia trazamos la perpendicular al plano cada punto de dicha perpendicular sería el centro de una esfera que contiene a los tres puntos y por lo tanto a la circunferencia. Hasta ahí creo que no hay duda. Ahora bien esos tres puntos solo estarán alineados en una de esas esferas, la que tiene su centro en el plano que forman los tres puntos. Nada que objetar al razonamiento. El concepto de puntos alineados es relativo a la esfera que los contiene. No hay que olvidar que el explorador se desplaza precisamente por la esfera.

La cuestión estriba en demostrar que una geodésica trazada por el explorador en un plano se convierte a su vez en una geodésica trazada en la esfera. No es fácil entenderlo pero para mí el fenómeno ocurre, es decir si el explorador es capaz realizar su trabajo entonces la trayectoria descrita es un círculo máximo, lo que todavía no tengo claro es porqué ocurre, pero desde luego que ocurre, de eso no tengo dudas.

Ahora bien no hay que perder de vista que el explorador no traza una única linea sino que en cada fase del proceso va trazando los lados de una poligonal que resulta estar inscrita en un círculo máximo de la esfera y eso ocurre precisamente porque anda en linea recta por la esfera (su percepción es la de una linea recta aunque todos sabemos que realmente no lo es). Si estuviera andando por otra esfera distinta de entre las descritas más arriba entonces aunque él realizara exactamente el mismo trabajo, su trayectoria sería distinta porque la esfera sería distinta. Realmente curioso. El explorador no percibe la diferencia de lo que hace en cada caso, el actúa siempre de la misma forma, pero el resultado es bien distinto, aunque siempre acabará volviendo al punto del que partió después de rodear completamente la esfera trazando precisamente un círculo máximo.

Salu2

[abuelillo]

Re: Rodeando la tierra

No.

(Y tres caracteres más para llegar al mínimo del foro)

Esto no lo entiendo, 3 puntos en el espacio de la superficie de una esfera no definen de forma univoca una unica esfera, pueden corresponder a distintas esferas de distintos radios y centros. Si sustituyo los 3 puntos que tengo en la ecuacion de una esfera, me salen un sistema no lineal de 3 ecuaciones y 4 incognitas (no se el radio, ni el centro).
Luego si solo a partir de los 3 puntos (y sin ninguna otra información como por ejemplo la curvatura o la direccion del centro, que nos permita deducir la ecuacion de la esfera y por lo tanto su centro) podemos concluir que forman un circulo maximo (saber si estan alineados), tiene que cumplirse que formen un circulo maximo en todas las esferas posibles a las que puedan pertenecer, ¿ esto se cumple ?
Yo diria que no, si tengo 3 puntos en el espacio tridimensional formando un triangulo equilatero, puede ser que pertenezcan a una esfera pequeña cuyo centro esta justo en el centro del triangulo y por lo tanto formen un circulo maximo, o puede ser que esos 3 puntos formen parte de una esfera muchisimo mayor con centro fuera del triangulo y que por lo tanto no esten alineados en absoluto.

[pod]

Re: Rodeando la tierra

De tres puntos colocados sobre una superficie esférica solo se puede saber si están o no alineados (es decir si están sobre una circunferencia máxima) si (de una forma u otra) se conoce la dirección del centro de la esfera. ¿Es o no cierto?.

No.

(Y tres caracteres más para llegar al mínimo del foro)

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

Si el explorador tuviera una regla de esas de plástico flexible que hemos usado todos en la escuela, que pueden flexionarse en un sentido pero no pueden en el otro, podría dibujar una linea apoyando la regla contra el suelo y dibujando una "linea recta". Bien pues eligiendo cualquier terna de puntos de esa linea tendría un conjunto de tres puntos alineados. Y no conoce ni tiene forma de averiguar donde está el centro de la tierra ni necesita saberlo para nada, aunque ciertamente renuncio ya a convencerte de que tal cosa es posible.
Salu2

Y no conoce ni tiene forma de averiguar donde está el centro de la tierra ni necesita saberlo para nada

Creo que dije que se necesita conocer cual es la dirección del centro de la Tierra....de una forma u otra.

Y amigo Jabato, conocer un plano tangente equivale a conocer la dirección del centro de la Tierra...

(y una aclaración: si tienes dos planos tangentes a la esfera o dos puntos sobre esa geodésica que tan hábilmente es capaz de trazar nuestro explorador ya se conoce o se puede conocer donde está el centro de la esfera).

Lo que propones tú de empezar conociendo el plano tangente es lo mismo que propone pod al trasladar el vector tangente siempre paralelo a sí mismo. El vector tangente señala la perpendicular y trasladamos esa perpendicular, o sea trasladamos la dirección del centro de la Tierra. (Y además entonces no debería hablarse de "puntos alineados", sino de "vectores alineados", porque la verdad es que no es posible conocer si tres puntos de una superficie esférica están sobre un círculo máximo sin conocer la dirección del centro de la esfera.

Y vuelvo al problema de las tres naves, las tres navegando una detrás de otra siguiendo la trayectoria de un paralelo terrestre. No están sobre un circulo máximo, por lo tanto, están evidentemente desalineadas y cualquier observador situado fuera de la Tierra a una altura desde la que pueda apreciar la curvatura de la Tierra, podría afirmarlo.Pero, ¿Es capaz el capitán de la primera nave de ver que la tercera nave no está alineada con las otras dos que están en el mismo paralelo?

Re: Rodeando la tierra

Si el explorador tuviera una regla de esas de plástico flexible que hemos usado todos en la escuela, que pueden flexionarse en un sentido pero no pueden en el otro, podría dibujar una linea apoyando la regla contra el suelo y dibujando una "linea recta". Bien pues eligiendo cualquier terna de puntos de esa linea tendría un conjunto de tres puntos alineados. Y no conoce ni tiene forma de averiguar donde está el centro de la tierra ni necesita saberlo para nada, aunque ciertamente renuncio ya a convencerte de que tal cosa es posible.

Salu2

[oscarmuinhos]

Re: Rodeando la tierra

A Jabato y a pod:
De tres puntos colocados sobre una superficie esférica solo se puede saber si están o no alineados (es decir si están sobre una circunferencia máxima) si (de una forma u otra) se conoce la dirección del centro de la esfera. ¿Es o no cierto?. Por lo tanto ningún explorador podrá acertar a colocar tres puntos alineados sobre la superficie de una esfera si previamente no conoce la dirección del centro de la esfera. ¿Falla algo en este razonamiento?.
Cierto que si cualquiera de nosotros alineamos tres puntos sobre la superficie de una pelota nos es muy fácil saber si están o no alineados, porque estamos viendo la pelota entera, e implícitamente conocemos y situamos el centro de la esfera. Mas esto no le ocurre lo mismo al explorador situado sobre la superficie terrestre (recordad que muchas culturas prehistóricas empezaron considerando que "su mundo" era plano).
Y trasladar ese vector tangente, amigo pod, no es trasladar puntos, es situar y trasladar la verticalidad, es decir es señalar la dirección del centro de la esfera. Solo desde esa posición de verticalidad, conociendo esa verticalidad, (que le está situando o señalando la dirección del centro de la Tierra) puede un explorador alinear sus tres puntos (es decir, situarlos sobre un círculo máximo).

Y como las matemáticas no son Física....imaginad tres naves en alta mar, las tres siguiendo la ruta de un paralelo terrestre. ¿Será capaz la primera de las naves de ver que la tercera no está "alineada" con las dos primeras?. Si pudieran verse desde fuera de la Tierra, a una distancia donde se pudiera apreciar la curvatura de la Tierra o si, por algún arte de magia, pudieran reducir a escala el tamaño de la Tierra hasta apreciar la curvatura, sin duda que serían capaces, porque, aunque fuese de forma inconsciente, podrían situar el centro de la Tierra....Sin saber situar el centro de la Tierra, lo creo imposible.

Re: Rodeando la tierra

Esa también me vale. Aunque imagino que a nuestro amigo Oscar no le va a parecer buena puesto que lo que está cuestionando es la capacidad del explorador para avanzar en linea recta, es decir para trazar el tercer punto de forma que éste pertenezca a un círculo máximo. Está claro (creo que ya lo está) que si consigue hacerlo su trayectoria será un círculo máximo, pero veremos a ver lo que opina Oscar. ¿Puede o no puede el explorador avanzar en linea recta?

Salu2

[Arahuan]

Re: Rodeando la tierra

Supongo que mi razonamiento sobre utilizar coordenadas polares posadas prácticamente sobre la superficie (casi plana para un pequeño fragmento de esta) no fue lo suficientemente sofisticado para ti, pese a que llegue a la conclusión que se esperaba...

Sin meterme en líos mayores debido a que consideras una esfera (esa figura tan benévola que permanece inalterada con cualquier tipo de rotación), planteo algo simple que más de uno no me lo tomara enserio por la sencillez del planteamiento...

Suponiendo una esfera de radio r, y tomando como punto de partida el punto A contenida en la superficie nos movemos a B, rotamos la esfera hasta que A y B estén contenidas en plano Z=0, la dirección sobre la cual nos estamos moviendo es entonces ê[FONT=system]¶ [/FONT] (ese conocido vector tangente a la superficie y que se encuentra contenido en el plano Z=0 de las coordenadas esféricas)

Nuestro siguiente punto también estará contenida en la superficie y solo habrá variado su componente azimutal (debido a que la dirección que se esta tomando es la del vector ê[FONT=system]¶[/FONT]), al seguir avanzando esta claro que hemos rodeado la esfera por un circulo máximo (que en nuestro nuevo sistema sería algo así como el ecuador), solo basta rotarlo a su posición original y el problema esta resuelto...