Divulgación Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

[inakigarber]

Buenos dias
En esta página http://la-mecanica-cuantica.blogspot...trices-ii.html, que he estado leyendo con interes (y bastante trabajo), me he encontrado con un párrafo que no deja de dejarme perplejo. En el párrafo final donde marca que no todas las matrices (cuadradas, el paréntesis es mío) son diagonizables. Explica que de una matriz no diagonalizable puede obtenerse otra diagonalizable, simplemente elevando esta al cuadrado. Sin embrago me pierdo en la parte siguiente cuando explica la ecuación del oscilador armónico. Este es el fondo de la cuestión en que estoy perdido hace tiempo ¿como puedo utilizar las matrices para tratar los datos obtenidos en la medida de la posición y la velocidad? Por ejemplo, si he tomado por ejemplo 10 medidas de la posición y otras tantas de la velocidad. ¿Como debería operar con ellos mediante matrices?
Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

... me he encontrado con un párrafo que no deja de dejarme perplejo. En el párrafo final donde marca que no todas las matrices (cuadradas, el paréntesis es mío) son diagonizables ...

Una matriz cuadrada n x n solo es diagonalizable si existen n autovectores linealmente independientes.
En el pdf adjunto tienes explicaciones y ejemplos:

http://personal.us.es/jsmonter/jes1/pdf/DiagMarilin.pdf

Saludos.

[Weip]

Re: Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

Explica que de una matriz no diagonalizable puede obtenerse otra diagonalizable, simplemente elevando esta al cuadrado.

He estado leyendo lo que dices y hay cosas que no son ciertas. La primera es la que indicas. Un contraejemplo a la afirmación que hace el blog es la matriz:

$\left( \begin{matrix}3 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right)$

Sobre $\mathbb{R}$ no diagonaliza. Su cuadrado es:

$\left( \begin{matrix}5 & -12 \\ 12 & 5 \end{matrix} \right)$

Y tampoco diagonaliza sobre $\mathbb{R}$. En el siguiente párrafo también se dice que las matrices que no diagonalizan no tienen valores propios pero esto es falso. Lo que no tienen es matriz diagonal asociada.

Sin embrago me pierdo en la parte siguiente cuando explica la ecuación del oscilador armónico. Este es el fondo de la cuestión en que estoy perdido hace tiempo ¿como puedo utilizar las matrices para tratar los datos obtenidos en la medida de la posición y la velocidad? Por ejemplo, si he tomado por ejemplo 10 medidas de la posición y otras tantas de la velocidad. ¿Como debería operar con ellos mediante matrices?
Saludos y gracias.

No te preocupes de esa parte porque el blog no lo explica nada bien. Solo deja entrever para qué sirve todo esto pero no lo explica hasta apartados más avanzados. Respecto a tu pregunta, lo que tu mides son los valores propios de los operadores. Por ejemplo los niveles de energía permitidos de una partícula en una caja son valores propios del operador energía. En el caso de la posición verás más adelante que una partícula libre por ejemplo puede estar en cualquier lugar haciendo uso de las técnicas que estás aprendiendo. Todo llegará. Tener las medidas de antemano te puede servir para comprobar las ecuaciones pero en principio tu estudias para hacer el proceso al revés: a partir de las ecuaciones encontrar las medidas.

[inakigarber]

Re: Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

Gracias por las respuestas;

He estado leyendo lo que dices y hay cosas que no son ciertas. La primera es la que indicas. Un contraejemplo a la afirmación que hace el blog es la matriz:

$\left( \begin{matrix}3 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right)$

Sobre $\mathbb{R}$ no diagonaliza. Su cuadrado es:

$\left( \begin{matrix}5 & -12 \\ 12 & 5 \end{matrix} \right)$

Y tampoco diagonaliza sobre $\mathbb{R}$. En el siguiente párrafo también se dice que las matrices que no diagonalizan no tienen valores propios pero esto es falso. Lo que no tienen es matriz diagonal asociada....

Pora tanto, no todos los cuadrados de matrices son diagonalizables. Debere aplicar lo que Alriga me aconsejo con anterioridad

Una matriz cuadrada n x n solo es diagonalizable si existen n autovectores linealmente independientes.
En el pdf adjunto tienes explicaciones y ejemplos:

Yo también habia sospechado algo al respecto, ya que en este caso me salieron unos autovalores que coincidieron con la solución que obtuve posteriormente usando Wolfram Alpha.

No te preocupes de esa parte porque el blog no lo explica nada bien. Solo deja entrever para qué sirve todo esto pero no lo explica hasta apartados más avanzados. Respecto a tu pregunta, lo que tu mides son los valores propios de los operadores. Por ejemplo los niveles de energía permitidos de una partícula en una caja son valores propios del operador energía. En el caso de la posición verás más adelante que una partícula libre por ejemplo puede estar en cualquier lugar haciendo uso de las técnicas que estás aprendiendo. Todo llegará. Tener las medidas de antemano te puede servir para comprobar las ecuaciones pero en principio tu estudias para hacer el proceso al revés: a partir de las ecuaciones encontrar las medidas.

Vaya hombre. Tendré que quedarme un tiempo mas con la mosca tras la oreja.

[Breogan]

Re: Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

Hola:

Disculpen, no quiero agregar ruido al hilo, pero me parece que los comentarios de Weip se deben a un error en la interpretación de lo que dice el blog citado.

Copio la parte en cuestión:

[FONT=Georgia]No todas las matrices son diagonalizables. Un ejemplo de este tipo de matrices es el siguiente:[/FONT]

[FONT=Georgia][/FONT]

[FONT=Georgia]Sin embargo, y esto es algo de consecuencias tan importantes como interesantes, a partir de una matriz no diagonalizable como la anterior podemos obtener una matriz que sí es diagonalizable (y que por lo tanto puede poseer autovalores eigen propios) con el simple recurso de [/FONT][FONT=Georgia]multiplicar la matriz por sí misma[/FONT][FONT=Georgia], obteniendo ...........[/FONT]

A mi me parece que en realidad habla de matrices de la forma:

$\dst \begin{pmatrix} 0 & {\bar{z_1}} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ z_1 & 0 & {\bar{z_2}} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & z_2 & 0 & {\bar{z_3}} & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & z_3 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & {\bar{z_n}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & z_n & 0 \end{pmatrix}$

Realmente no se como se llaman, pero creo que si son matrices hermiticas con traza principal cero.
Para este tipo de matrices creo que se cumple casi todo lo que dice el blog, salvo que este tipo de matrices no tenga auto-valores (igual no lo veo en la cita que adjunto).
Por otra parte creo que las matrices posición y momento del oscilador armónico pertenecen a este tipo de matrices.

He estado leyendo lo que dices y hay cosas que no son ciertas. La primera es la que indicas. Un contraejemplo a la afirmación que hace el blog es la matriz:

$\left( \begin{matrix}3 & -2 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right)$

Sobre $\mathbb{R}$ no diagonaliza. Su cuadrado es:

$\left( \begin{matrix}5 & -12 \\ 12 & 5 \end{matrix} \right)$

Y tampoco diagonaliza sobre $\mathbb{R}$. En el siguiente párrafo también se dice que las matrices que no diagonalizan no tienen valores propios pero esto es falso. Lo que no tienen es matriz diagonal asociada.

Este ejemplo que cito no corresponde a las matrices que yo interpreto que son nombradas en el blog.

s.e.u.o.

Suerte

[inakigarber]

Re: Nuevas dudas sobre matrices y diagonalizacion de matrices

Hola:

Disculpen, no quiero agregar ruido al hilo, ...Por otra parte creo que las matrices posición y momento del oscilador armónico pertenecen a este tipo de matrices.

No tienes nada de que disculparte. Por lo que respecta a la segunda parte, si obtuviera una serie de medidas de posición y otra de momento, con las medidas obtenidas obtendría dos matrices, una posición y otra momento, cuyos autovalores serían los valores obtenidos, pero ¿cómo e hace eso?
Saludos y gracias.