Divulgación Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

[inakigarber]

Buenas noches.
En este enlace (hacia el final del post) me he encontrado con un problema cuya solución creo que esta equivocada.
"Dadas las matrices.$A=\begin{pmatrix} 0& 0& 0& 4\\ 0& 3& 0& 0 \\ 0& 0&-3& 0 \\ 4& 0& 0& 0 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0&0&0&6 \\ 0&8&0&0 \\ 0&0&-8&0 \\ 6&0&0&0 \end{pmatrix}$ Si los autovalores de A son (4,3,-4 y -3). Cuales son los autovalores de B.
Al tratar de calcular los autovalores de A (para comprobar que exactamenente me sale lo mismo), a mi no me salen los autovalores de A.
Yo hago lo siguiente;

$$A=\begin{pmatrix}-\lambda&0&0&4 \\ 0&3-\lambda&0&0 \\ 0&0&-3-\lambda&0 \\ 4&0&0&-\lambda \end{pmatrix}$$

y su determinamte;

$$\Delta=(-\lambda)^2(3-\lambda)(-3-\lambda)=0$$

que me da tres soluciones;$\lambda=0, -\lambda=3, -\lambda=-3$
de las cuales son validas las no nulas (3 y -3). Con la otra matriz me ocurre lo mismo. Yo creo que el ejemplo de libro esta equivocado, pero quisiera aclararlo.
Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

En efecto creo que está mal el enunciado.
A mí el cálculo de los autovalores de A me salen -4, 4, -3, 3
(Repasa las operaciones pues creo que tienes mal el determinante)
Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Perdona, no habia visto tu post. A mi me salen como autovalores de la matriz A (3 y -3). ¿En que me equivoco en el razonamiento arriba expuesto?

[Alriga]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Te equivocas en las operaciones al hacer el determinante.
Al hacer las operaciones me sale

$-\lambda(9\lambda-\lambda ^3)-4(4\lambda ^2-36)=0$

Simplifica y te saldrá una ecuación bicuadrada con las 4 soluciones que te he escrito antes.

Gabon, saludos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Me equivoco, pero no consigo verlo. Al hacer el determinante me sale; $\Delta=(-\lambda)(3-\lambda)(-3-\lambda)(-\lambda)=0$ y el reste de factores que se suman o se restan tienen algún 0. Algo que no entiendo debo estar haciéndolo mal.

[Alriga]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

$\Delta=det \begin{pmatrix}-k&0&0&4 \\ 0&3-k&0&0 \\ 0&0&-3-k&0 \\ 4&0&0&-k \end{pmatrix}$

Desarrollando por los elementos de la primera fila y aplicando la regla de Sarrus a los dos subdeterminantes 3x3 se obtiene:

$\Delta=-k\left|\begin{matrix} 3-k&0&0 \\ 0&-3-k&0 \\ 0&0&-k \end{matrix}\right| -4\left| \begin{matrix} 0&3-k&0 \\ 0&0&-3-k \\ 4&0&0 \end{matrix}\right|$

$\Delta=-k(3-k)(-3-k)(-k)-4(3-k)(-3-k)4$

Y ahora solo hay que hacer operaciones:

$\Delta=-k(-9-3k+3k+k^2)(-k)-4(-9-3k+3k+k^2)4$

$\Delta=-k(9k-k^3)-4(4k^2-36)$

Y la ecuación característica queda:

$k^4-25k^2+144=0$

Es una ecuación bicuadrada cuyas soluciones son -4, -3, 3 y 4

Egunon, saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Buenos dias
Sabia que estaba equivocado (porque distintas calculadoras on line) daban los mismos valores que el libro y que los tuyos. Pero no sabia en que. Pensaba que la regla de Sarrus era aplicable a todas las matrices cuadradas. Por eso me salía ese resultado. Ahora se que esta regla vale para matrices de 3 x 3. Lo mirare con mas detalle mas adelante.
Saludos

[Alriga]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

... Pensaba que la regla de Sarrus era aplicable a todas las matrices cuadradas. Por eso me salía ese resultado. Ahora se que esta regla vale para matrices de 3 x 3 ...

Una de las formas de calcular un determinante y que se aplica frecuentemente cuando el orden es mayor que 3x3 es desarrollando por los adjuntos de una fila o una columna.
Normalmente se elige la fila o la columna que tienen más ceros para simplificar los cálculos. Aquí lo explica:

http://www.vadenumeros.es/segundo/de...r-adjuntos.htm

Saludos

[Weip]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Pensaba que la regla de Sarrus era aplicable a todas las matrices cuadradas. Por eso me salía ese resultado. Ahora se que esta regla vale para matrices de 3 x 3. Lo mirare con mas detalle mas adelante.

Alriga ya te ha ayudado así que solo vengo a comentar la situación. Existe una regla para cada orden de determinante pero a la práctica solo se usan las de orden dos y tres. El motivo es que paras llegar a ellas se requiere resolver $n!$ determinantes con $n$ el orden del determinante que quieres calcular, y como sabes el factorial es una función que crece muy rápidamente. Todas estas reglas salen de la regla de Laplace, que ofrece un método general para calcular determinantes.

[carroza]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Hola.

Para resolver este problema, ¿no vale darse cuenta que es diagonal por cajas, con lo que salen inmediatamente autovalores (para A) 3 y -3, y la restante matriz 2x2, tiene autovalores 4 y -4?

¿O es obligatorio martirizarse con determinantes 4x4?

Saludos

[Alriga]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

Para resolver este problema, ¿no vale darse cuenta que es diagonal por cajas, con lo que salen inmediatamente autovalores (para A) 3 y -3, y la restante matriz 2x2, tiene autovalores 4 y -4? ¿O es obligatorio martirizarse con determinantes 4x4?

No, el martirio no es obligatorio.
Me ha parecido que el método de cálculo del determinante mediante adjuntos era el más adecuado al nivel que creo que inakigarber tiene en este momento, (pero puedo estar totalmente equivocado, por supuesto)
Pero seguro que si tú amplias la información explicándole los fundamentos del cálculo “por cajas” dispondrá de más armas y más poderosas para afrontar estos problemas en el futuro.
Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre autovalores de una matriz cuadrada

$\Delta=det \begin{pmatrix}-k&0&0&4 \\ 0&3-k&0&0 \\ 0&0&-3-k&0 \\ 4&0&0&-k \end{pmatrix}$

Desarrollando por los elementos de la primera fila y aplicando la regla de Sarrus a los dos subdeterminantes 3x3 se obtiene:

$\Delta=-k\left|\begin{matrix} 3-k&0&0 \\ 0&-3-k&0 \\ 0&0&-k \end{matrix}\right| -4\left| \begin{matrix} 0&3-k&0 \\ 0&0&-3-k \\ 4&0&0 \end{matrix}\right|$

$\Delta=-k(3-k)(-3-k)(-k)-4(3-k)(-3-k)4$

Y ahora solo hay que hacer operaciones:

$\Delta=-k(-9-3k+3k+k^2)(-k)-4(-9-3k+3k+k^2)4$

$\Delta=-k(9k-k^3)-4(4k^2-36)$

Y la ecuación característica queda:

$k^4-25k^2+144=0$

Es una ecuación bicuadrada cuyas soluciones son -4, -3, 3 y 4

Egunon, saludos.

Asi, si. De esta manera si sale. El problema fue que en mi ignorancia sobre el tema me empeñe en que podia aplicarse la misma regla independientemente de que fueran de 3 x 3 o de 4 x 4. Eso ha sido un gran error. Esta claro que en el tema de las matrices aún me queda mucho por entender.
Gabon, buenas noches.