Divulgación Movimiento en el recubrimiento de una k-esfera

[cnavast]

[FONT=verdana]Defino una k-esfera como una esfera de dimensión k con radio = 1.[/FONT]

[FONT=verdana]Ahora hago la siguiente observación:[/FONT]
[FONT=verdana]Para k=3, el "recubrimiento" de esa 3-esfera es una superficie que tiene dimensión 2.[/FONT]
[FONT=verdana]Para k=2, el "recubrimiento" de esa 2-esfera (círculo) es una línea que tiene dimensión 1.[/FONT]

[FONT=verdana]Si ahora me pongo en k=4, ¿el recubrimiento de la 4-esfera es también una superficie bidimensional o podríamos hablar de "superficie tridimensional"? o dicho de otra forma, ¿el recubrimiento de una k-esfera tiene dimensión k-1? [/FONT]

[FONT=verdana]Tampoco sé muy bien cómo definir recubrimiento, pero la analogía sería para un círculo una línea y para una esfera una superficie (en estos casos se cumple, esfera en k, recubrimiento en k-1).[/FONT]

[FONT=verdana]Lo que quiero hacer es partir de una k-esfera y estudiar sólo su recubrimiento olvidándome de la dimensión k. Para el caso de la 3-esfera, definir la superficie con sólo 2 grados de libertad observando que por ejemplo si me muevo en línea "recta" con una dirección y un sentido acabaría volviendo al punto de origen. Me gustaría generalizar esto en k o por lo menos para k=4.[/FONT]

[Alriga]

Re: Movimiento en el recubrimiento de una k-esfera

Hola, bienvenido a la Web de Física, si crees que participarás otras veces te puede interesar echar un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva
En cuanto a tu consulta, ¿has mirado lo que dice la Wikipedia del tema? Veo que aparece el volumen y la superficie de la k-esfera de forma general: n-sphere

Saludos.

[Weip]

Re: Movimiento en el recubrimiento de una k-esfera

[FONT=verdana]Tampoco sé muy bien cómo definir recubrimiento, pero la analogía sería para un círculo una línea y para una esfera una superficie (en estos casos se cumple, esfera en k, recubrimiento en k-1).[/FONT]

La frontera topológica coincide con tu noción de recubrimiento y responde a todas tus dudas de un plumazo: todo sí. Con esto tienes toda la topología para aplicar a tu ejercicio mental. ¿Sabes algo acerca de esta rama de las matemáticas?

Espero haberte ayudado.

PD: Si miras cosas de topología podrás encontrarte con el concepto de recubrimiento pero es una noción distinta a la tuya, no tiene nada que ver con tu consulta. Tu te refieres a la frontera.

[cnavast]

Re: Movimiento en el recubrimiento de una k-esfera

La frontera topológica coincide con tu noción de recubrimiento y responde a todas tus dudas de un plumazo: todo sí. Con esto tienes toda la topología para aplicar a tu ejercicio mental. ¿Sabes algo acerca de esta rama de las matemáticas?

Espero haberte ayudado.

PD: Si miras cosas de topología podrás encontrarte con el concepto de recubrimiento pero es una noción distinta a la tuya, no tiene nada que ver con tu consulta. Tu te refieres a la frontera.

@Weip muchas gracias por tu respuesta, la verdad es que no tengo ninguna noción sobre topología e imaginaba que ya estaría estudiado, como imagino que también estará estudiada la razón de mi pregunta, igual me puedes ayudar también en esto:

Estaba intentando entender los "límites" del Universo (suponiendo que existen). Mi punto de partida era imaginarme el espacio como una esfera que se va haciendo más "gorda" con todo (galaxias, etc) contenido dentro de la misma, pero entiendo que esto no tiene sentido porque una esfera ya está dentro de un espacio. Es decir, si fuera así, el límite del universo simplemente sería la "pared" de separación entre la esfera y el "espacio exterior", pero no puede haber espacio exterior, por lo que el límite del universo no puede ser como un punto que digas "hasta aquí".

Entonces he pensado en el ejemplo bidimensional: si el universo fuera la superficie 2D de una esfera en expansión, tendríamos un universo sin límites como 'paredes' pero a la vez finito, y entonces es cuando me ha surgido la duda.

Me gustaría saber si existe alguna geometría que tenga esto en cuenta, es decir, si podríamos definir matemáticamente un espacio en 2D donde un vector arbitrariamente largo apunte a su origen (en caso de que esta superficie sea la de la esfera), o si esto sólo puede hacerse asumiendo que la superficie 2D está dentro de 3D (es decir, con ecuaciones que tengan en cuenta las 3 dimensiones y no sólo 2).

Y luego también me gustaría saber (ya metiéndome en terreno absolutamente desconocido para mí) si el concepto de espacio que puede curvarse de la relatividad tiene algo que ver con todo esto o si los tiros van por otro lado...

Lo que sospecho es que si para definir un espacio k-dimensional "curvo" se necesitan matemáticas que tengan k+1 dimensiones entonces la relatividad no irá por ahí, porque estaríamos asumiendo que nuestro universo tridimensional (o 4D con el tiempo) está contenido en una dimensión superior, cosa que no se postula en la relatividad, ¿no?

Siento la poca precisión en términos y conceptos, ojalá me haya conseguido explicar un poco.

[Weip]

Re: Movimiento en el recubrimiento de una k-esfera

Lo que sospecho es que si para definir un espacio k-dimensional "curvo" se necesitan matemáticas que tengan k+1 dimensiones entonces la relatividad no irá por ahí, porque estaríamos asumiendo que nuestro universo tridimensional (o 4D con el tiempo) está contenido en una dimensión superior, cosa que no se postula en la relatividad, ¿no?

Conceptos como la distancia o la curvatura son nociones intrínsecas, es decir, se pueden medir desde "dentro" de tu espacio sin hacer referencia al espacio ambiente. Vamos, que un espacio curvado no necesariamente está contenido en otro de dimensión superior.