Representaciones con matrices de operadores ... dependencia con las bases utilizadas

[vcorle]

Hola

Estoy estudiando por mi cuenta con el libro "Quantum Computation and Quantum Information" de M.A. Nielsen y I.L. Chuang, y he llegado al segundo capítulo en el que se supone que se hace un repaso sobre Álgebra Lineal a modo de introducción a la mecánica cuántica. El caso es que se plantean una serie de ejercicios para reforzar los conceptos que se repasan y su resolución me ha llevado a una gran duda. Lo más seguro es que toda la confusión se deba a mi desconocimiento pero soy incapaz de verlo, de ahi que haya decidido probar con este foro. Agradeceré cualquier ayuda que me podáis brindar.

El caso es que según el libro, dado $A: V \rightarrow W$, un operador lineal entre los espacios vectoriales $V$ y $W,$ y suponiendo $|v_{1}\rangle, ..., |v_{m}\rangle$ la base para $V$ y $|w_{1}\rangle, ..., |w_{n}\rangle$ la base para $W$, para cada $j$ en el rango $1,...,m$, existen números complejos $A_{1j}$ a $A_{nj}$ de forma que:

$A|v_{j}\rangle = \displaystyle\sum_{i} A_{ij} |w_{i}\rangle$ (eq. 1)

Sea pues un espacio vectorial $V$ con base $|v_{0}\rangle, |v_{1}\rangle$ (tened en cuenta que no les asigno ningún valor concreto a priori) quiero calcular los elementos de la matriz que representa al operador $A$ con el que se obtendría $A |v_{0}\rangle = |v_{1}\rangle$ y $A |v_{1}\rangle = |v_{0}\rangle$.

Utilizando (eq. 1), tendríamos:

$A |v_{0}\rangle = A_{00} |v_{0}\rangle + A_{10} |v_{1}\rangle = |v_{1}\rangle \Rightarrow A_{00} = 0; A_{10} = 1$

$A |v_{1}\rangle = A_{01} |v_{0}\rangle + A_{11} |v_{1}\rangle = |v_{0}\rangle \Rightarrow A_{01} = 1; A_{11} = 0$

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Apliquemos ahora valores concretos ya que en teoría lo anterior es válido para cualquier base:

- Sea por ejemplo la base $|v_{0}\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $|v_{1}\rangle= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$. En este caso vemos que es correcto.

- Ocurre lo mismo con la base $|v_{0}\rangle = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ y $|v_{1}\rangle= \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

- Probemos ahora con la base $|v_{0}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $|v_{1}\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. En este caso podemos ver que aplicar $A$ sobre estos vectores no nos da el resultado que esperamos. De hecho para que tengamos que $A |v_{0}\rangle = |v_{1}\rangle$ y $A |v_{1}\rangle = |v_{0}\rangle$ el operador debería ser:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Mi pregunta es: ¿cómo es posible? El resultado que he obtenido para $A$ parecía no depender de ninguna base en particular, parecía algo completamente general. ¿Alguien sabe en qué me he equivocado ??

[Richard R Richard]

Se poco del tema pero me parece que tienes que mirar que las coordenadas $w_i$ varían en un cambio de base por lo que el operador A si seria constante.
por otro lado supongo que por simplicidad has supuesto que A esta compuesto por números reales cuando entiendo que son complejos, y que pueden o no tener su parte imaginaria nula.
Y revisa la ortografía látex de la combinación lineal de ejemplo de w vas a v no de v a v.

[vcorle]

El caso general es $A: V \rightarrow W$, pero no hay problema en que $W$ sea $V$. En ese caso las bases de origen y destino son las mismas.

En cuanto a los números que componen la matriz del operador $A$ ya he puesto que son números complejos.

Estoy preguntando porqué mi solución me da un resultado concreto para el operador $A$ (sin haber asignado valores concretos a las bases) y sin embargo al aplicar bases concretas queda demostrado que no funciona con todas.

Aún así gracias por tu respuesta.

[teclado]

$A |v_{0}\rangle = A_{00} |v_{0}\rangle + A_{10} |v_{1}\rangle = |v_{1}\rangle \Rightarrow A_{00} = 0; A_{10} = 1$
$A |v_{1}\rangle = A_{01} |v_{0}\rangle + A_{11} |v_{1}\rangle = |v_{0}\rangle \Rightarrow A_{01} = 1; A_{11} = 0$
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Date cuenta de que los $A_{ij}$ se aplican sobre vectores, no sobre sus componentes, y con los elementos de la matriz que construyes ocurre lo contrario.

Si aplicas la (eq.1) sobre los vectores que indicas al final de esta forma:

$A|v_0\rangle = 0\times|v_0\rangle + 1\times|v_1\rangle = 0\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) + 1\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) = |v_1\rangle$
$A|v_1\rangle = 1\times|v_0\rangle + 0\times|v_1\rangle = 1\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1) + 0\times \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) = |v_0\rangle$

Te queda el resultado que quieres.

La base en la que te queda la matriz $A$ construida de esta forma es la base $\lbrace|v_0\rangle,|v_1\rangle\rbrace$ (tanto del espacio donde se aplica como en el espacio imagen, ya que en este caso coinciden). Independientemente de cuáles sean $|v_0\rangle$ y $|v_1\rangle$, estos vectores, en esta base son siempre los (1,0) y (0,1) respectivamente. Si quieres emplear otra base $\lbrace |v_0'\rangle=a|v_0\rangle+b|v_1\rangle, |v_1'\rangle=c|v_0\rangle+d|v_1\rangle\rbrace$ tendrás que aplicar un cambio de base a la matriz, y tu base seguirá siendo $\lbrace |v_0'\rangle=(1,0), |v_1'\rangle=(0,1)\rbrace$.

[Richard R Richard]

Si claro el que sabe... sabe, pero era eso lo que veía , y no supe como transmitir.

[vcorle]

Muchísimas gracias teclado. No era consciente de que no es lo mismo trabajar con los vectores que hacerlo con sus componentes. De nuevo, mil gracias!!!