Secundaria Determinante

[The Higgs Particle]

Estoy viendo que la definición rigurosa de determinante es:

$\det(A) = |A| = \left|\begin{array}{rrrr}a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}\end{array}\right|$ $= \dst \sum_{\sigma \epsilon S_n} \left( -1\right)^{i(\sigma)} a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} ... a_{n \sigma(n)}$

Entiendo que $S_n$ es el conjunto de todas las permutaciones ($\sigma$) de $n$ elementos (así, en una matriz de orden $3$, se tratará de jugar con las posiciones de $1,2,3$); también entiendo lo que es $i(\sigma)$ y cómo se calcula. Sin embargo, lo que no sé es qué significan los subíndices "$n \sigma(n)$".

Podríais echarme un cable?

[angel relativamente]

Re: Determinante

Claro, $a_{i\sigma(i)}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $\sigma(i)$. Te pongo el ejemplo 2x2. En el conjunto $S_2$ solo hay 2 permutaciones, la identidad y la que permuta dos elementos $\sigma(1,2)=(2,1)$. Tenemos pues que el primer sumando asociado a la permutación identidad sería $a_{1Id(1)}a_{2Id(2)}=a_{11}a_{22}$, y el término asociado a la transposición será $-a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}=-a_{12}a_{21}$ por lo que
$\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

PD: A modo de juego, te dejo un ejercicio típico para ver qué poco eficiente es este método: Supón que tienes un ordenador que tarda 0.1s en realizar una operación (suma, resta, multiplicación...). Se pide calcular, para qué valor de $n$, el tiempo que tardará en calcular $\det(A)$, con $A\in M_{n\times n}$, es superior a la edad del universo. Te sorprenderá el valor

Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Determinante

Creo que ya lo he entendido. Así, en una matriz de orden 3, hay un total de $3 ! = 6$ permutaciones posibles:

$\sigma_0(1,2,3) = Id(1,2,3)$	$i(\sigma_0) = 0$
$\sigma_1(1,2,3) = (2, 1, 3)$	$i(\sigma_1) = 1$
$\sigma_2(1,2,3) = (2, 3, 1)$	$i(\sigma_2) = 2$
$\sigma_3(1,2,3) = (3, 2, 1)$	$i(\sigma_3) = 3$
$\sigma_4(1,2,3) = (1, 3, 2)$	$i(\sigma_4) = 1$
$\sigma_5(1,2,3) = (3, 1, 2)$	$i(\sigma_5) = 2$

$\det(A) = |A| = \left|\begin{array}{rrr}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|<br /> =$ $= \dst \sum_{\sigma \epsilon S_n} \dst \left( -1\right)^{i(\sigma)} a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} a_{3 \sigma(3)}<br />$ $=\left[ (-1)^{0}a_{11}a_{23}a_{33}\right] + \left[ (-1)^{1}a_{12}a_{21}a_{33}\right] + \left[ (-1)^{2}a_{12}a_{23}a_{31}\right] + \left[ (-1)^{3}a_{13}a_{22}a_{31}\right] +$ $\left[ (-1)^{1}a_{11}a_{23}a_{32}\right] + \left[ (-1)^{2}a_{13}a_{21}a_{32}\right]$

Llegando así al conocido:

$|A| = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$ $- a_{12}a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32}$

PD: A modo de juego, te dejo un ejercicio típico para ver qué poco eficiente es este método: Supón que tienes un ordenador que tarda 0.1s en realizar una operación (suma, resta, multiplicación...). Se pide calcular, para qué valor de $n$, el tiempo que tardará en calcular $\det(A)$, con $A\in M_{n\times n}$, es superior a la edad del universo. Te sorprenderá el valor

El número de operaciones (sumas, en este caso), que debe realizar la máquina serían:

$|S_n| = n!$

donde $|S_n|$ es el cardinal (leí que también se podría representar como $\# S_n$, ¿no?) del conjunto de todas las permutaciones posibles $\left( S_n = \dst \sum_{i = 1}^{n!}\sigma_i \right)$

Entonces, el tiempo total invertido sería:

$t_t = t |S_n| = \dst \frac{n!}{10}$

Como la edad del universo es, aproximadamente, $4.35 \times 10^{17} (s)$, entonces, sabiendo que $20! = 2.43 \times 10^{18}$, podemos decir que $\forall n \epsilon \mathbb{N}$ $|$ $n > 20$, se cumple que la máquina tardará más tiempo en realizar $|M|$, $M_{n \times n}$, que el transcurrido desde el inicio del universo.

¿Es así?

[angel relativamente]

Re: Determinante

Hola THP. Está muy bien justificada la regla de Sarrus 3x3. Lo único que en la notación que yo he visto, no conozco ese $i(\sigma)$. Normalmente se define la función "signo de la permutación" $\epsilon(\sigma)$, que vale $1$ si $\sigma$ descompone como un número par de transposiciones, y -1 si lo hace como un número impar. De esa forma se escribe $\det(A)=\dst \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} ... a_{n \sigma(n)}$. ¿Entiendo que en tu caso $i(\sigma)$ es el número de transposiciones en que descompone? Observa que ese número no es único, por lo que $i(\sigma)$ no estaría bien definido, salvo paridad (que es lo único que interesa si lo vas a poner como exponente de un -1). Así, por ejemplo observa que tu $i(\sigma_3)$ podría valer 1, sin más que transponer el 1 y el 3.

Con respecto al problema, primero dos apuntes. 1- En efecto, al cardinal de un conjunto se le suele poner el # especialmente cuando es un conjunto finito. 2- No estoy seguro qué quieres decir con $S_n = \dst \sum_{i = 1}^{n!}\sigma_i$, ya que obviamente el conjunto de las permutaciones no es igual a la suma de las mismas.
Por otro lado, el número de sumas que hace el programa es $n!-1$ (si hay $n!$ sumandos, entonces hace $n!-1$ sumas), todo y que esto no modifica apenas el resultado. No obstante, te has dejado los productos. Observa que cada sumando tiene un total de $n+1$ factores, y por tanto de $n$ productos. En total el número de productos será $nn!$ y así el número de operaciones (sumas y productos) es $(n!-1)+nn!=nn!+n!-1 = (n+1)n! -1 = (n+1)! -1 \approx (n+1)!$. Observamos que además tiene que calcular esos $(-1)^{\sigma(i)}$, que aunque supongamos que los $\sigma(i)$ los calcula instantáneamente (o se los metes tú al programa), aún tendría que hacer $n!$ potencias. En total, las operaciones contando sumas, productos y potencias es $(n+1)!+n!$ y con $n=20$ ya nos pasaríamos de la edad del universo.

Por último, dejando de lado el problema, dices que esta es la definición rigurosa de determinante. Bueno, es una de ellas, pero no es algo aceptado unilateralmente entre los matemáticos. Cuando lees diversas fuentes, te encuentras que hay distintas definiciones para una misma cosa. Y no por ello alguna está mal, ya que si tú tomas algo como definición puedes ver que las otras se deducen de la misma (son teoremas, o como suele decirse, definiciones equivalentes). Esta en particular es bastante compacta ya que te da directamente el determinante a partir de los elementos de la matriz. Es por ello que goza de fama, pero tiene detractores debido a que es muy poco intuitiva (¿a quién se le ocurrió definir eso? ¿no tiene más sentido definir el determinante como algo más sencillo, y llegar a esa expresión como teorema?). A mí en particular me gusta más la definición recurrente. Lo único que tienes que definir con esta es el determinante de una matriz 1x1 (tan simple como decir que el determinante es el único elemento que tiene). Después, defines el determinante de una matriz nxn con el método de desarrollar por una fila y utilizar los menores, por lo que obtienes el determinante de una matriz nxn como combinación lineal de determinantes (n-1)x(n-1). Y con eso ya está, porque ahora cada determinante (n-1)x(n-1) lo puedes poner como c.l. de (n-2)x(n-2), e iterando dejarás el determinante original como c.l. de determinantes 1x1. Es lo mismo que la definición de permutaciones y no es difícil demostrar que coinciden, pero esta es mucho más natural.

Saludos,

[Weip]

Re: Determinante

Buenas, vengo a aportar una tercera definición de determinante para reforzar lo que dice Ángel. Un determinante de orden $n$ es una aplicación $det:M_{n \times n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:

1) Normalización: el determinante de la matriz identidad es uno.
2) Linealidad por columnas: $det(a_1,...,\lambda a_{k}+\mu a_k',...,a_n)=\lambda det(a_1,...,a_k,...,a_n)+\mu det(a_1,...,a_k',...a_n)$, con $\lambda$ y $\mu$ constantes reales y $1 \leqslant k \leqslant n$.
3) Antisimetría adyacente: si la matriz tiene dos columnas iguales y adyacentes entonces su determinante es cero.

Un detallito por si te interesa:

donde $|S_n|$ es el cardinal (leí que también se podría representar como $\# S_n$, ¿no?) del conjunto de todas las permutaciones posibles

En el contexto de los grupos también se le llama orden del grupo.

[The Higgs Particle]

Re: Determinante

Lo único que en la notación que yo he visto, no conozco ese $i(\sigma)$. Normalmente se define la función "signo de la permutación" $\epsilon(\sigma)$, que vale $1$ si $\sigma$ descompone como un número par de transposiciones, y -1 si lo hace como un número impar. De esa forma se escribe $\det(A)=\dst \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} ... a_{n \sigma(n)}$. ¿Entiendo que en tu caso $i(\sigma)$ es el número de transposiciones en que descompone?

En mi libro pone: "Llamamos índice de una permutación al número total de inversiones que resenta una permutación $\sigma$, y se representa como $i(\sigma)$".
De esta forma, luego divide en permutaciones pares en las que $i (\sigma)$ es par (que hará, como tú dices, que $\left( -1\right)^{i(\sigma)} = 1$) y las permutaciones impares, con $i(\sigma)$ un número impar, que hará luego $\left( -1\right)^{i(\sigma)} = -1$.
Vamos, es lo mismo que en lo tuyo, porque lo que en la fórmula de mi libro pone $\left( -1\right)^{i(\sigma)}$ en la tuya lo llamas $\epsilon(\sigma)$



Muchas gracias por corregirme el ejercicio. ¡Qué fallo el de dejarme los productos!

- - - Actualizado - - -

Weip, muchas gracias por aportarme otra definición y, también, por lo de orden de grupo, que sabes que me encanta saber esas cosas

[alexpglez]

Re: Determinante

cumple las siguientes propiedades:

1) Normalización: el determinante de la matriz identidad es uno.
2) Linealidad por columnas: $det(a_1,...,\lambda a_{k}+\mu a_k',...,a_n)=\lambda det(a_1,...,a_k,...,a_n)+\mu det(a_1,...,a_k',...a_n)$, con $\lambda$ y $\mu$ constantes reales y $1 \leqslant k \leqslant n$.
3) Antisimetría adyacente: si la matriz tiene dos columnas iguales y adyacentes entonces su determinante es cero.

No había caído, y con esto se demuestra que la función determinante es única¿? Y al demostrar que la definición anterior de la suma de los productos, etc. coincide con la función determinante, se demuestra pues que la fórmula para el determinante es ésa misma¿?

La inducción para demostrar lo primero, ¿consistiría demostrar que para la matriz identidad cualquier función determinante da 1 (por definición), y que las 2 propiedades siguientes, junto con la hipótesis de que la función determinante es correcta para ciertas matrices, implican que vale para cualquier otra matriz (creada por una combinación lineal de dos vectores o el intercambio de dos vectores)?

[Weip]

Re: Determinante

No había caído, y con esto se demuestra que la función determinante es única¿?

Fíjate que hablo de un determinante y no de el determinante. Que esta aplicación es única se demuestra a posteriori. Básicamente se trata de ver que el determinante de las matrices elementales y el de las matrices invertibles está bien determinado (ya sabes, $|A^{-1}|=1/|A|$ y estas cosas). Una vez tienes esto ya has acabado puesto que si la matriz no es invertible, su determinante es cero.

Y al demostrar que la definición anterior de la suma de los productos, etc. coincide con la función determinante, se demuestra pues que la fórmula para el determinante es ésa misma¿?

Sí, con esta definición puedes derivar los teoremas correspondientes a la fórmula que ha puesto The Higgs Particle y a la definición recurrente que ha comentado Ángel.

La inducción para demostrar lo primero, ¿consistiría demostrar que para la matriz identidad cualquier función determinante da 1 (por definición), y que las 2 propiedades siguientes, junto con la hipótesis de que la función determinante es correcta para ciertas matrices, implican que vale para cualquier otra matriz (creada por una combinación lineal de dos vectores o el intercambio de dos vectores)?

Creo que no te entiendo. Yo he dado una definición así que no hay nada que demostrar. Que el determinante de la identidad es uno es por decreto. Lo mismo para las otras dos propiedades. Otra cosa es que a partir de aquí falte demostrar la existencia y unicidad del determinante y otras propiedades conocidas como la regla de Laplace o la alternancia (por decir algunas). Agradecería que formulases la pregunta de otra forma a ver si veo lo que quieres decir.

[alexpglez]

Re: Determinante

Creo que ya entiendo, pero por si acaso detallo lo que quería decir.

Definamos una función determinante por la función $det: M_{nxn}(R) \rightarrow R$, con las propiedades:

$$det(I)=1$$

$$det(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det(u_1,...,u_k',...u_n)$$

$$det(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)$$

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

-

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_1(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_1(u_1,...,u_k',...u_n)$$

y

$$det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_2(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$$

utilizando la hipótesis de inducción $det_1(u_1,...,u_k,...u_n)=det_2(u_1,...,u_k,...u_n) \;\;\; det_1(u_1,...,u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$. Luego:

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)$$

-

$$det_1(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det_1(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=$$

$$=-det_2(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=det_2(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)$$

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado. Lógicamente veo posible sólo que esto demuestre que $det_1=det_2$, sólo si mediante combinaciones lineales con los vectores de la matriz identidad llego a cualquier matriz.

[Weip]

Re: Determinante

utilizando la hipótesis de inducción

Este comentario me confunde. Hasta ahora no estabas siguiendo el esquema de inducción. Si de algún modo lo estabas siguiendo ¿donde está la comprobación inicial? ¿Sobre qué haces inducción? ¿Sobre el orden del determinante? Esta sería la interpretación más plausible pero luego dices:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

Das a entender que estás haciendo inducción sobre algo que no es un natural pero no acabas de decir sobre qué.

[alexpglez]

Re: Determinante

Por lo que tengo entendido, la inducción es comprobar para un caso y comprobar que la hipótesis junto con las propiedes implica que se da para otros casos, como he hecho, es así¿?

[Weip]

Re: Determinante

la inducción es comprobar para un caso

¿Qué caso has comprobado? ¿Te refieres a lo del determinante de la identidad?

comprobar que la hipótesis junto con las propiedes implica que se da para otros casos

La hipótesis que has usado es que el determinante es único. Supongo que quieres decir otra cosa pero no veo el qué.

Si quisieras hacer una inducción para demostrar la unidad del determinante lo suyo sería hacerlo sobre le orden del determinante, de forma que tendrías que demostrar esta propiedad para matrices de orden uno, luego la supones cierta para matrices de orden $k$ y demuestras el caso $k+1$. Hasta ahora lo que has hecho es probar la unidad del determinante cuando la matriz es la identidad y luego supones lo que quieres demostrar. Esto último sería un despiste fácil de corregir si hicieras inducción sobre $n$ pero por tus comentarios no parece que sea el caso (todo esto dejando de lado que la inducción no es el esquema de demostración más efectivo en este caso).

Igual soy yo que estoy espeso, pero es que no veo la inducción. Me gustaría que me explicaras tu último comentario porque es lo que me descoloca más:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

[alexpglez]

Re: Determinante

Según tengo entendido, el método de inducción matemática, sólo es aplicable a las demostraciones con naturales, puesto que se deriva del 5º axioma de Peano. Esto es así, ya que el 5º axioma de Peano dice que si algo es verdadera para un cierto número natural X (sea 0, 1 u otro), y que que sea verdad para cierto número implica que es cierto también para su siguiente, implica que la proposición es verdadera para todos los naturales a partir de X. Lo que he querido comprobar es que, la unicidad de la función determinante para dos matrices, implica que la definición sea única también para cualquier otra matriz tal que en su fila haya una combinación lineal de las conocidas y tenga el resto de filas iguales, junto con el caso de la unicidad del caso de la matriz identidad (que es única por definición).

[Weip]

Re: Determinante

Lo que dices es cierto, pero no se corresponde con lo que has escrito más arriba. ¿Ves porqué?

[alexpglez]

Re: Determinante

Lo que dices es cierto, pero no se corresponde con lo que has escrito más arriba. ¿Ves porqué?

No lo veo, escribí eso mismo que he dicho.