Entendiendo tensores

[leo_ro]

El motivo de este hilo es poder entender a los tensores de una forma intuitiva.

Desde mi punto de vista los considero como una aplicación lineal, diferenciando a lo que conocía desde el álgebra como aplicación lineal de vectores a espacios duales. Bueno, entonces los tensores son una generalización de espacios duales pero en donde si una 1-forma es una aplicación linea:

$\omega (v) \to R$ , donde $V \in {R}^{2}$ y $V = {V}^{\alpha} {e}_{\alpha}$ ,

De esta manera como $\omega$ es una aplicación lineal, se puede definir como $\omega = {\omega}_{\beta} {e}^{\beta}$

Además dado un cambio de coordenadas en $v$, la matriz de transformación de la base de $v$ transforma a sus componentes con la matriz inversa de transformación (de alli de que el vector v es contravariante) y la matriz inversa de transformación transforma la base del espacio dual pero sus componentes lo hacen con la matriz de transformación, de allí que el espacio dual es covariante.

Entonces $\omega$ es un tensor de 1-forma. Si $T$ fuera un tensor de 2-forma, es una aplicación linea que toma 2 vectores en vez de uno

$T (v, u) \to R$

¿es correcta esta definición de tensor? Como aplicación lineal que si es de rango 1 toma un vector, si es de rango 2 toma 2 vectores, etc.

Por lo tanto, $T= ({V}^{\alpha} \times {\omega}_{\beta} ) ({e}_{\alpha} \times {e}^{\beta})$ , donde x es el producto externo o producto tensorial.

Tal que

${T}^{\beta}_{\alpha} {V}^{\alpha} {\omega}_{\beta} \to R$

[Weip]

Hola leo_ro.

¿es correcta esta definición de tensor? Como aplicación lineal que si es de rango 1 toma un vector, si es de rango 2 toma 2 vectores, etc.

Sí, todo lo que has dicho es correcto. De hecho los tensores de rango 2 se representan mediante matrices en una cierta base justamente para poder comer dos vectores y devolver un escalar, es la única manera de hacerlo para preservar la linealidad. Sin duda es la forma correcta de interpretar los tensores desde el punto de vista algebraico.

Luego si quisieras entenderlo en un contexto más de física, habría que cambiar la explicación para meter de por medio derivadas, relatividad, etc. Pero como la pregunta está en el subforo de métodos matemáticos supongo que se puede dejar para otra ocasión.

[leo_ro]

Gracias Weip.

¿Podrías por favor ayudarme además con esto? Tengo muchas preguntas pero no las voy a preguntar todas al mismo tiempo.

1 - Al ser una aplicación multilineal un tensor, (tal que si es de rango 3, por ejemplo, toma 3 vectores y los lleva a su cuerpo de escalares) Estos transforman necesariamente ante cambios de coordenadas.

Se entiende que sí por la propia definición de tensor con los productos exteriores.

$T= ({V}^{\alpha} \times {\omega}_{\beta} ) ({e}_{\alpha} \times {e}^{\beta})$

${e}^{\beta}$ es contravariante
${e}_{\alpha}$ es covariante
${V}^{\alpha}$es contravariante
${\omega}_{\beta}$es covariante

Entonces al cambiar de coordenadas, las componentes y las bases del tensor cambian y se mantiene la relación multilineal. ¿Es correcto?

2 - Dada la pregunta numero 1 entonces: ¿Siempre se construye un tensor a partir de vectores y espacios duales? ¿es posible construir un tensor, por ejemple este de rango 3, con solo vectores y sin 1-formas?

$T= ({V}^{\alpha} \times {\omega}_{\beta} ) ({e}_{\alpha} \times {e}^{\beta})$

${e}_{\beta}$ es covariante
${e}_{\alpha}$ es covariante
${V}^{\alpha}$es contravariante
${\omega}^{\beta}$es contravariante

[Weip]

Entonces al cambiar de coordenadas, las componentes y las bases del tensor cambian y se mantiene la relación multilineal. ¿Es correcto?

Correctísimo.

2 - Dada la pregunta numero 1 entonces: ¿Siempre se construye un tensor a partir de vectores y espacios duales? ¿es posible construir un tensor, por ejemple este de rango 3, con solo vectores y sin 1-formas?

¿Te refieres a un tensor que sólo coma vectores? Si es eso, se me ocurre de ejemplo el producto escalar $\langle \cdot,\cdot \rangle: V\times V\to K$ con $V$ espacio vectorial sobre un cuerpo $K$.

[leo_ro]

Si es eso, se me ocurre de ejemplo el producto escalar

¿Es el producto escalar un tensor? Entiendo el productor escalar como una aplicación de 1-forma, por lo que sí, sería un tensor pero no estoy 100% seguro.

Además, ¿Estás indicando que el producto escalar se construye a través del producto exterior entre 2 vectores? Es decir, dado 2 vectores de 2 dimensiones. Con el producto exterior entre los mismos se construye un tensor tal que

${ T}^{\alpha }_{\beta } = {v}^{\alpha} \times { u}^{ \beta}$

Tal que el producto escalar entre v y u es:

${ T}^{\alpha }_{\beta } {v}^{\alpha} { u}^{ \beta} \to R$

(PD: estoy usando solo las componentes de los tensores y vectores, no sus bases)

De esta manera, el tensor ${ T}^{\alpha }_{\beta }$ no es más que la aplicación lineal que llamamos producto escalar.

[Weip]

¿Es el producto escalar un tensor? Entiendo el productor escalar como una aplicación de 1-forma, por lo que sí, sería un tensor pero no estoy 100% seguro.

Sí, es un tensor. En general un tensor es cualquier aplicación multilineal $T:V \times ... \times V \times V^* \times ... \times V^* \to K$. En particular el producto escalar es una aplicación bilineal $V \times V \to K$, por tanto es un tensor.

Además, ¿Estás indicando que el producto escalar se construye a través del producto exterior entre 2 vectores?

No, debería haberlo dicho, uso $\times$ para el producto cartesiano. La verdad es que la notación que usas no la había visto nunca ni en física ni en matemáticas, por eso no la uso. Aún así diría que lo que escribes está bien.

De esta manera, el tensor ${ T}^{\alpha }_{\beta }$ no es más que la aplicación lineal que llamamos producto escalar.

Sí pero no: A parte de bilineal, esta aplicación debería ser simétrica y definida positiva. Te dejo este link con los detalles pero bueno no es que sea muy importante para la discusión. Solo que para poder llamar producto escalar a tu tensor necesitas algunas propiedades más.

[carroza]

Hola, Weip , leo_ro .

Permitidme que participe en el debate, aportando mi entendimiento de tensores. Lo que yo describiría como el "significado físico" de los tensores.

Un tensor es un conjunto de n "cosas", $( c_1 \dots c_n )$ tales que, frente a una transformación determinada (típicamente rotaciones, pero también transformaciones de Lorentz, y muchas otras), cada una de esas n "cosas", digamos la cosa $c_i$ se convierten en otra cosa $c'_i$ que es una combinación lineal de todas las n "cosas". $c'_i = \sum_j \alpha_{ij} c_j$ Además, los coeficientes de esa combinación lineal $\alpha_{ij}$, no dependen de la naturaleza de las n "cosas", sino solamente de las transformaciones que hagamos.

Voy con ejemplos: Las componentes de un vector posición en tres dimensiones, son tres cosas X,Y, Z, con dimesniones de distancia, que frente a rotaciones se convierte cada una de ellas en una combinación de las demás. Por tanto, (X,Y,Z) forman un tensor.

Los vectores unitarios en tres dimensiones, $\hat u_x, \hat u_y, \hat u_z$, son tres cosas, sin dimensiones, tales que frente a rotaciones se convierte cada una de ellas en una combinación de las demás. Por tanto $\hat u_x, \hat u_y, \hat u_z$ forman un tensor. Las transformaciones correspondientes están relacionadas con las de (X,Y,Z), con lo que un tensor sería covariante y el otro contravariante (no recuerdo cual es cual), pero ambos son tensores.

La masa es una cosa (con dimensiones de masa) que frente a rotaciones es invariante. Por tanto, la masa es, trivialmente, una combinación de la masa $m = 1 \cdot m$. Por tanto, la masa es un tensor.

El tensor de inercia está hecho de 9 cantidades, con dimensiones de $M L^2$ tales que, frente a rotaciones, cada uno de ellos se convierte en una combinación de los demás. Esta combinación está relacionada con la que cambia (X, Y, Z), pero no es la misma. Por tanto, las nueve componentes del tensor de inercia forman un tensor.

Las funciones de onda que corresponden a los tres estados de un átomo de hidrógeno (sin espín) en un orbital p, $\phi_{px}(\vec r), \phi_{py}(\vec r) , \phi_{pz}(\vec r)$, son tres cosas, con dimensiones de $L^{-3/2}$, que frente a rotaciones se convierte cada una en una combinación de las otras tres, dadas por las mismac combinaciones que casmbian (X,Y,Z). Por tanto, las tres funciones de onda consitituyen un tensor.

Un ultimo ejemplo: Las tres componentes del campo eléctrico $E_x, E_y, E_z$, frente a rotaciones, se convierten en combinaciones de ellas, por lo que las tres forman un tensor de tres componentes. Las tres componentes del campo magnético $B_x, B_y, B_z$, frente a rotaciones, se convierten en combinaciones de ellas, por lo que las tres forman un tensor de tres componentes. Sin embargo, so, además de las rotaciones, consideramos las transformaciones de Lorentz, entonces las seis cosas $E_x, E_y, E_z, cB_x, cB_y, cB_z$, se convierten en combinaciones de las seis, con lo que las seis componentes del campo electromagnético constituyen un tensor de seis componentes .

Saludos

[Richard R Richard]

Creo que las componentes XYZ,tranforman con el tensor contravariante, y la de los vectores unitarios es covariante, por eso estas son especiales en los espacios 3+1 de relatividad.
Sobre el tensor de las transformaciones de Lorentz es un tensor antisimétrico de 16 componentes,por ello las 4 componentes de la diagonal son nulas y solo 6 componentes son independientes,puesto que las otras 6 traspuestas tienen el mismo módulo pero signo contrario. Así lo recuerdo.

[leo_ro]

He aqui donde me entra la confusión.

Definición 1 (por Weip): Tensor como una aplicacion (funcion) multilineal. Tal que su orden depende de la cantidad de vectores que conforman el dominio de esa aplicacion multilineal.

Definición 2 (por Carroza): Tensor (pero me parece que es una definición complementamente diferente a la 1) a un objeto de un grupo que transforma con cambios de coordenadas.

¿Podemos entonces definir a un tensor como un JOIN de ambas definiciones?

Es decir:

JOIN: Tensor como una aplicación (funcion) multilineal que transforma bajo cambios de coordenadas (con sus componente en forma contravariante y sus bases en forma covariante)

Pero aca, entra en conflicto con la definición 2. Ya que en la definición 2 indica que tensor es todo objeto que pertenece a un grupo y que transforma bajo cambios de coordenas, y aquí estamos ante un grupo mas grande que solamente el grupo de aplicaciones multilineales. Por ejemplo el tensor electromagnético no es una transformación multilineal, o si??

[Weip]

La cuestión es que depende de en qué contexto estés, la palabra tensor significa una cosa u otra. Explicaré toda la intríngulis por si le interesa a alguien, pero dejar claro que para hacer física no es necesario nada de esto.

El concepto de tensor en álgebra lineal es lo que se ha venido diciendo hasta ahora, y explota la estructura de espacio vectorial. Si quieres hacer física con esto, resulta que en el espacio / espaciotiempo desde el punto de vista matemático tienes más estructuras, principalmente la de variedad riemanniana / lorentziana, porque puedes medir distancias, ángulos, curvatura, etc. Entonces sucede que tienes un espacio tangente en cada punto $p$, que es un espacio vectorial $T_pM$, y también un espacio cotangente $T_pM^*$, que es el dual del anterior. La unión disjunta de los dos resulta en una cosa llamado "fibrado tangente", $TM$, cuyas secciones dan campos vectoriales de toda la vida. Esta construcción se puede generalizar para considerar campos tensoriales, que es lo que se denomina tensor a secas en física. Son aplicaciones multilineales igual que antes pero siendo $V$ el espacio tangente. Hay tensores que provienen de unos fibrados "más simétricos" en cierto sentido, en los cuales tienes un grupo de Lie que actúa sobre el campo, y puedes considerar tensores que se transformen con las leyes de estos grupos. Esto es a lo que se refiere carroza, desde el punto de vista de las matemáticas.

Explicado así, rápido y mal, es un embrollo, pero así reconcilian las dos definiciones. En concepto son lo mismo, pero técnicamente se implementan de otras maneras porque las necesidades de cada área son distintas. Si estás estudiando álgebra lineal, la definición 1 es la que debes tomar. Si estás estudiando mecánica, electrodinámica, relatividad, etc entonces toma la definición 2, sin tener en cuenta nada de lo que he dicho en este mensaje.

[carroza]

Gracias, Weip. La mayoría en este foro amamos las matemáticas, y valoramos mucho tus contribuciones, y las de los matemáticos del foro, que ponen rigor a nuestros conceptos, más prácticos y, quizás, mas cercanos a la naturaleza, aunque no siempre podamos definirlos, axiomáticamente, con rigor.

Leo_ro, en ningún momento he propuesto una definición alternativa de Tensor a la que Weip da. Su definición es la correcta, en el ámbito del álgebra lineal, que es donde se puede dar una definición estricta de tensor, en el caso general.

Simplemente, he pretendido dar una receta operativa, que te permita identíficar qué son tensores y qué no, si abres al azar un libro de física. Por ejemplo, las magnitudes termodinámicas (presión, temperatura, etc) no forman un tensor. Los 118 elementos de la tabla periódica no forman un tensor. Sin embargo, los tres piones $(\pi^+, \pi^-, \pi^0 )$, sí forman un tensor, asociado a un grupo isomorfo al de las rotaciones que es el grupo de las transformaciones de isospín.

No obstante, debo corregirte una cosa: Los tensores no son un objeto de un grupo. Los tensores son objetos que generan un espacio vectorial que puede tomarse como la sede de una representación (irreducible o no) de un grupo. En este sentido, de espacio vectorial, se liga mi receta operativa con la definición, precisa y correcta, de Weip. En cuanto tengamos "cosas" (coordendadas, vectores base, operadores, estados de partículas, ...), que generen una base de un espacio vectorial que sea sede de una representación de un grupo de transformaciones, tenemos que esas "cosas" forman un tensor.

Muchas gracias, Richard R Richard , por tus aclaraciones.

Un saludo

[Weip]

Gracias, Weip. La mayoría en este foro amamos las matemáticas, y valoramos mucho tus contribuciones, y las de los matemáticos del foro, que ponen rigor a nuestros conceptos, más prácticos y, quizás, mas cercanos a la naturaleza, aunque no siempre podamos definirlos, axiomáticamente, con rigor.

En verdad yo prefiero tirar mucho más por tu explicación que por la mía, pero como leo_ro hablaba en términos de álgebra lineal entendí que querría entenderlo así, o que estaría cursando álgebra, o algo del estilo. Una vez planteadas las dos formas de ver un tensor, la conexión entre ellas es muy intrincada y pasa por muchos baches. Por eso yo creo que para leo_ro es mejor quedarse con una de las dos según el interés que tenga y no calentarse mucho la cabeza. En caso de estudiar física, tu explicación es la que debe ser elegida, sin duda.

[leo_ro]

Muchas gracias a ambos.

Simplemente, he pretendido dar una receta operativa, que te permita identíficar qué son tensores y qué no, si abres al azar un libro de física. Por ejemplo, las magnitudes termodinámicas (presión, temperatura, etc) no forman un tensor. Los 118 elementos de la tabla periódica no forman un tensor. Sin embargo, los tres piones , sí forman un tensor, asociado a un grupo isomorfo al de las rotaciones que es el grupo de las transformaciones de isospín.

Entonces lo que puedo inferir es que todo vector (arreglo bidimensional, matrices, polinomios, etc) son tensores pero no todos los tensores son vectores.

Esta condición es que un vector es un elemento de un espacio vectorial que cumple con ciertas reglas para la operación interna y el productor por un escalar; pero un tensor es simplemente un elemento con base y componentes, las cuales transforman bajo ciertas reglas pero si cumple con las reglas del espacio vectorial el tensor también es un elemento del espacio vectorial.

Es decir, un tensor es elemento que posee una base y componentes; y las bases transforman en forma covariante y los componentes en forma contravariante. Por ejemplo si tenemos un espacio vectorial con un arreglo de numeros bidimensional (matriz) 4x4, como tienen una base esa espacio es un tensor. Ahora si esa grupo conformado por esas matrices 4x4 cumplen con las siguientes reglas:

https://es.wikipedia.org/wiki/Espaci...,-%5Beditar%5D

Entonces es un vector. ¿Es correcto esto?

Paso a definirlo formalmente, con arreglos de números (lo llamo así primero)

$v \in V$ tal que ${v} = {V}^{i} {e}_{i}$

$v$ es un tensor, ya que si hacemos una transformación con la matriz de transformación B

${e}_{i '} = {B}_{ik} {e}_{i}$ nueva base

${V}^{i '} = {B}_{ik}^{-1} {V}^{i '}$ nuevas componentes

Ahora como $v$ transforma y se mantiene su relación de modulo, entonces es un tensor, pero a la ves si cumple lo siguiente, $v$ ademas de ser un tensor es un vector: Es decir (V, +, ·)


1. u + (v + w)=(u + v) + w, ∀u, v, w ∈ V (asociativa).
2. u + v = v + u, ∀u, v ∈ V (conmutativa).
3. Existe e ∈ V tal que e + v = v + e = v, ∀v ∈ V (elemento neutro).
4. Para cada v ∈ V existe w tal que v + w = w + v = e (elemento opuesto).
5. λ(µv)=(λµ)v, ∀v ∈ V , ∀λ, µ ∈ R (seudo-asociativa).
6. λ(u+v) = λu+λv y (λ+µ)v = λv +µv, ∀u, v ∈ V y ∀λ, µ ∈ R (distributiva).
7. 1v = v,∀v ∈ V (unimodular).

En cambio si $v$ no cumple con esas reglas, por ejemplo, si no existe el elemento neutro para la suma en V, este no es un espacio vectorial pero si un tensor.

[carroza]

Leo_ro, creo que no es correcto lo que indicas.

Un vector es una cosa, que es un elemento de un espacio vectorial.

Un tensor es un conjunto de n cosas, cada una de las cuales es un vector, y que ademas, cumplen unas propiedades determinadas de transformación.

La terminología habitual puede llevar a confusión porque, en muchas ocasiones, llamamos "vectores" a tensores de rango 1 (como el vector $\vec R$, que realmente son tres cosas), y reservamos la palabra "tensor" para cosas como el tensor de inercia, que se comportan como los nueve productos de las componentes de dos "vectores".

Pero si somos rigurosos, y definimos "vector" como un elemento de un espacio vectorial, entonces podemos decir que los "tensores" son conjuntos de n vectores, que sólo aparecen si hay, además de las propiedades de los espacios vectoriales (suma, producto por escalar), otras operaciones que transforman unos vectores en otros de forma que el conjunto de "vectores" que llamamos tensor, se transforma cada uno en una combinación de todos.

Un saludo

PS: Soy consciente que mientras que los físicos en general consideramos transformaciones que permanecen dentro del mismo espacio vectorial, para definir tensores, los matemáticos, y los físicos-matemáticos pueden considerar transformaciones más generales, y de ahi pueden salir todo el tema de los fibrados que indicaba Weip.

[Weip]

Entonces lo que puedo inferir es que todo vector (arreglo bidimensional, matrices, polinomios, etc) son tensores pero no todos los tensores son vectores.

Esta condición es que un vector es un elemento de un espacio vectorial que cumple con ciertas reglas para la operación interna y el productor por un escalar; pero un tensor es simplemente un elemento con base y componentes, las cuales transforman bajo ciertas reglas pero si cumple con las reglas del espacio vectorial el tensor también es un elemento del espacio vectorial.

Es decir, un tensor es elemento que posee una base y componentes; y las bases transforman en forma covariante y los componentes en forma contravariante. Por ejemplo si tenemos un espacio vectorial con un arreglo de numeros bidimensional (matriz) 4x4, como tienen una base esa espacio es un tensor. Ahora si esa grupo conformado por esas matrices 4x4 cumplen con las siguientes reglas:

https://es.wikipedia.org/wiki/Espaci...,-%5Beditar%5D

Entonces es un vector. ¿Es correcto esto?

Quizás estás mezclando varias cosas. Restringiéndome al ámbito del álgebra lineal y tomando la definición de vector como espacio vectorial, los tensores también pueden ser vistos como vectores en este sentido. Me explico.

La visión moderna del área un poco es que uno tiene objetos (espacios vectoriales en nuestro caso) y relaciones entre esos objetos (aplicaciones lineales). Se suele escribir $f:V\to W$ como notación porque de alguna manera la aplicación lineal $f$ coge un vector $v$ del espacio $V$ de la izquierda y lo lleva a un nuevo vector $f(v)$ que pertenece al espacio $W$. De esta manera los tensores vendrían a coger un conjunto de vectores y formas, dando como resultado un escalar. Como escribí mensajes atrás, esto en notación se escribe $T:V \times... \times V \times V^* \times ... \times V^* \to K$. Recordar que todo cuerpo puede ser visto como un espacio vectorial sobre sí mismo, así que ese $K$ sigue siendo un objeto legítimo como cualquier otro para mandar nuestros vectores y formas.

Con la definición abstracta de espacio vectorial se puede ver que los tensores cumplen los axiomas. De esta manera, los tensores son, por ejemplo, elementos del producto tensorial $V \otimes W$. De esta manera los tensores pueden ser vistos como vectores que son combinaciones lineales del producto tensorial de las bases de $V$ y $W$. Más en general, uno puede considerar los tensores como vectores del producto tensorial $V \otimes ... \otimes V \otimes V^* \otimes ... \otimes V^*$.

De esta manera lo que es un vector es muy abstracto, y de nuevo la relación con los tensores que se usa en física es lejana (aunque está ahí y todo cuadra sin problemas). En todo caso esta es la explicación oficial de álgebra.

[javisot20]

Entiendo weip que estás diciendo que en determinados casos puedo reducir un tensor a un escalar. Por tanto la definición que dió leo de vector como la reducción de un tensor a un vector, aunque cierta es incompleta, también puede reducirse a un escalar, ¿no?

¿Es matemáticamente reversible y puedo transformar un escalar en un único tensor?