2o ciclo Módulo vector con notación tensorial

[panthera]

¡Hola! Acabo de empezar a ver notación tensorial, y tengo una pregunta muy básica pero que ahora mismo no veo.

Si tenemos un vector, digamos por ejemplo de momento lineal, tenemos que su módulo es:

$p^2 = \sum_\mu p_\mu^2$ (1)

O en notación tensorial:

$p^2=p_\mu p^\mu$ (2)

Si ahora aplico el siguiente diferencial a la (1):

$\frac{\partial p^2}{\partial p_\nu} = \sum_\mu \frac{\partial p_\mu^2}{\partial p_\nu} = \sum_\mu 2p_\mu \delta_{\mu,\nu}= 2 p_\nu$

Pero si lo aplico a (2)

$\frac{\partial (p_\mu p^\mu)}{\partial p_\nu} = p^\nu$

¿Qué es lo que no estoy haciendo bien en el segundo caso? Gracias!

[Richard R Richard]

Hola panthera Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer Consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes

¡Hola! Acabo de empezar a ver notación tensorial, y tengo una pregunta muy básica pero que ahora mismo no veo.

Si tenemos un vector, digamos por ejemplo de momento lineal, tenemos que su módulo es:

$p^2 = \sum_\mu p_\mu^2$ (1)

O en notación tensorial:

$p^2=p_\mu p^\mu$ (2)

Si ahora aplico el siguiente diferencial a la (1):

$\frac{\partial p^2}{\partial p_\nu} = \sum_\mu \frac{\partial p_\mu^2}{\partial p_\nu} = \sum_\mu 2p_\mu \delta_{\mu,\nu}= 2 p_\nu$

Pero si lo aplico a (2)

$\frac{\partial (p_\mu p^\mu)}{\partial p_\nu} = p^\nu$

¿Qué es lo que no estoy haciendo bien en el segundo caso? Gracias!

hola en la segunda tienes que usar la siguiente relación entre los vectores

$x^j=g^{ij} x_i$

luego

$p^2=p_jp^j=p_jg^{ij} p_i$

en un espacio plano $g^{ij}=\delta^{ij}$

entonces solo en ese caso $p^2=p_jp_j=p_ip_i$ y ahora puedes derivar y hallar el mismo resultado que en 1.

Saludos

[Weip]

¿Qué es lo que no estoy haciendo bien en el segundo caso? Gracias!

Hola panthera, el segundo caso sería:

$\dst\frac{\partial p^{\mu}p_{\mu}}{\partial p_{\nu}}=p^{\mu}\frac{\partial p_{\mu}}{\partial p_{\nu}}+p_{\mu}\frac{\partial p^{\mu}}{\partial p_{\nu}}=p^{\mu}\delta^{\nu}_{\mu}+p_{\mu}\delta^{\mu\nu}=2p^{\nu}$

Observa que a pesar de derivar $p_{\nu}$ con índice abajo, el resultado tiene el índice arriba. Esto es porque en el caso (1) la notación en componentes no distingue entre $p_{\mu}$ y $p^{\mu}$, con lo que toda la información sobre la covarianza y contravarianza se pierde.

$p^2=p_jp^j=p_jg^{ij} p_i$

en un espacio plano $g^{ij}=\delta^{ij}$

entonces solo en ese caso $p^2=p_jp_j=p_ip_i$ y ahora puedes derivar y hallar el mismo resultado que en 1.

Hola Richard, en este paso no te sigo: cuando tienes $p^2=p_j \delta^{ij}p_i$ pasas a $p^2=p_jp_j$, pero ahí se rompe la covarianza de la expresión. Si usas notación de Einstein y consideras que los índices pueden estar arriba y abajo, entonces este paso que comento no es legal. En cambio si usas la notación (1) sí, pero faltarían sumatorios y tal. Lo más próximo que se podría hacer es lo siguiente, si haces derivada respecto $p_k$:

$p^2=p_jp^j=p_j\delta^{jk}p_k=\delta^{jk}p_jp_k$

Entonces derivar y llegarías al mismo sitio, $2p^k$, con el índice arriba. (En estos pasos habría que usar índices griegos, pero se entiende).

[Richard R Richard]

cuando tienes $p^2=p_j \delta^{ij}p_i$ pasas a $p^2=p_jp_j$, pero ahí se rompe la covarianza de la expresión. Si usas notación de Einstein y consideras que los índices pueden estar arriba y abajo, entonces este paso que comento no es legal. En cambio si usas la notación (1) sí, pero faltarían sumatorios y tal. Lo más próximo que se podría hacer es lo siguiente, si haces derivada respecto $p_k$:

$p^2=p_jp^j=p_j\delta^{jk}p_k=\delta^{jk}p_jp_k$

Entonces derivar y llegarías al mismo sitio, $2p^k$, con el índice arriba. (En estos pasos habría que usar índices griegos, pero se entiende).

Hola, Weip , aver si entiendo tu crítica, cuando los indices estan arriba y abajo , en la notación de Einstein equivale a un sumatorio en todas las coordenadas, pero al aplicar la multiplicación por el delta de Kronecker debería pasar a ser explícito en el sumatorio cuando los índices quedan a mismo nivel.

resumiendo sería

$p^2=p_jp^j=p_j g^{ij} p_i=p_j\delta^{ij}p_i=\sum\limits_{j=0}^{3}p_jp_j=\sum\limits_{j=0}^{3}p_j^2$

para luego si $\dfrac{\partial p_i}{\partial p_j}=\delta_{i,j}$

$\dfrac{\partial p^2}{\partial p_i} =\sum\limits_{j=0}^{3}\dfrac{\partial p_j^2}{\partial p_i} =\sum\limits_{j=0}^{3}2p_j \delta_{i,j}= 2 p_i$

Saludos

[Weip]

$p^2=p_jp^j=p_j g^{ij} p_i=p_j\delta^{ij}p_i=\sum\limits_{j=0}^{3}p_jp_j=\sum\limits_{j=0}^{3}p_j^2$

para luego si $\dfrac{\partial p_i}{\partial p_j}=\delta_{i,j}$

$\dfrac{\partial p^2}{\partial p_i} =\sum\limits_{j=0}^{3}\dfrac{\partial p_j^2}{\partial p_i} =\sum\limits_{j=0}^{3}2p_j \delta_{i,j}= 2 p_i$

Hola de nuevo Richard, entiendo que tu procedimiento viene a ser, en el momento de aplicar la delta de Kronecker, pasar de la notación tensorial a la notación en componentes para hacer el mismo cálculo que en (1). Está bien pero es una forma extraña de proceder, no recomiendo mezclar las dos notaciones sin aviso porque el lector asume que sigues usando la notación tensorial con la que empezaste.

Entiendo que panthera quiere saber hacerlo con la notación tensorial de manera nativa, en ese caso el procedimiento es el que describí en mi anterior mensaje, derivar el producto directamente y tener cuidado con qué se transforma de forma covariante y qué se transforma de manera contravariante para poner bien los índices.

Entiendo también que el razonamiento que siguió panthera en el caso de usar notación tensorial fue bajar el índice $p_{\mu}p^{\mu}=p_{\mu}p_{\nu}\delta^{\mu\nu}$, y al derivar respecto $p_{\nu}$ olvidó que era un producto y quedó $p_{\mu}\delta^{\mu\nu}=p^{\nu}$. Quizás no fue esto pero aprovecho para comentarlo porque a veces me pasa a mí si estoy despistado.

[panthera]

Muchas gracias a ambos! Estoy intentando lidiar con una derivación, y con lo que me habéis explicado lo entiendo mucho mejor, pero aun así soy incapaz de obtener el resultado final. En esta derivación tienen:

$\frac{d}{dp'^2} p'^\mu p'^ \nu \int d\vec{p} \left( p_\nu p_\mu \right)= \frac{1}{d} \int d\vec{p} p^2$

donde $d$ es la dimensión espacial.


Según todo lo que me habéis explicado, lo que yo consigo es:

$\frac{d}{dp'^2} p'^\mu p'^ \nu \int{ d\vec{p} \left(p_\nu p_\mu \right)}= \frac{d\left(p'^\mu \delta^{\nu i} p'_i \right)}{d(p'^j p'_j)} \int d\vec p \left( p_\mu p^i \delta_{i \nu } \right)$

Y la verdad es que aquí me pierdo un poco cómo seguir, tampoco veo cómo obtienen el factor $1/d$ de la dimensión

Acaso hacen algo como:
$\frac{d\left(p'^\mu \delta^{\nu i} p'_i \right)}{d(p'^j p'_j)} = \delta^{\nu i} \left(\frac{dp'^\mu}{dp'^j} \right) \otimes \left(\frac{dp'_i}{dp'_j} \right)=\delta^{\nu i} \delta_j^\mu \delta_i^j = \delta^{\nu i} \delta^\mu_i$

de modo que:

$\frac{d}{dp'^2} p'^\mu p'^ \nu \int d\vec{p} \left( p_\nu p_\mu \right)= \int d\vec p \left( p_\mu p^i \delta^\mu_i \delta^{\nu i} \delta_{i \nu } \right) = \int d\vec p \left( p_i p^i \right) = \int d\vec p p^2$

donde he usado $\delta^{\nu i} \delta_{i \nu } = 1/d$???

[Weip]

Estoy intentando lidiar con una derivación, y con lo que me habéis explicado lo entiendo mucho mejor, pero aun así soy incapaz de obtener el resultado final. En esta derivación tienen:

$\frac{d}{dp'^2} p'^\mu p'^ \nu \int d\vec{p} \left( p_\nu p_\mu \right)= \frac{1}{d} \int d\vec{p} p^2$

donde $d$ es la dimensión espacial.

Hola panthera, expongo el cálculo que he hecho. Primero observa que:

$dp'^2=\dst\frac{dp'^2}{dp'_{\alpha}}dp'_{\alpha}=2p'^{\alpha}dp'_{\alpha}$

Aquí he usado el cálculo realizado en mi primer mensaje #3 derivando el producto. De la anterior igualdad se deduce, despejando (hay que dividir entre $d p'^2$ y multiplicar ambos lados por $p'_{\alpha}$):

$\dst\frac{dp'_{\alpha}}{dp'^2}=\frac{1}{2}\frac{p'_{\alpha}}{p'^2}$

Ahora vamos a la integral y derivamos el producto (lo meto dentro de la integral un poco porque sí, nada importante):

$\dst\int d\vec{p}p_{\mu}p_{\nu}\dst\frac{d}{dp'^2}\left(p'^{\mu}p'^{\nu}\right)=\int d\vec{p}p_{\mu}p_{\nu}\left(p'^{\mu}\frac{d p'^{\nu}}{dp'^2}+p'^{\nu}\frac{d p'^{\mu}}{dp'^2}\right)=$

$=\dst\int d\vec{p}p_{\mu}p_{\nu}\left(p'^{\mu}\dst\frac{p'^{\nu}}{2p'^2}+p'^{\nu}\frac{p'^{\mu}}{2p'^2}\right)=\int d\vec{p}p_{\mu}p_{\nu}\frac{p'^{\mu}p'^{\nu}}{p'^2}=\int d\vec{p}p_{\mu}p^{\mu}g_{\mu\nu}\frac{p'^{\mu}p'^{\nu}}{p'^2}=\int d\vec{p}p^2\frac{p'^2}{p'^2}=\int d\vec{p}p^2$

Como ves, el cálculo sale tal cual, pero no consigo reproducir el $1/d$. Debería salir de algo como $1/(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu})$ pero eso es algo rarísimo... No sé si hay alguna sutilidad en el procedimiento pero todos los pasos son tan fáciles que no sabría decir. ¿Puedes ofrecer más contexto sobre esta identidad? ¿Dónde la encontraste? ¿Hay pasos previos? Así podremos responder mejor.

Acaso hacen algo como:
$\frac{d\left(p'^\mu \delta^{\nu i} p'_i \right)}{d(p'^j p'_j)} = \delta^{\nu i} \left(\frac{dp'^\mu}{dp'^j} \right) \otimes \left(\frac{dp'_i}{dp'_j} \right)=\delta^{\nu i} \delta_j^\mu \delta_i^j = \delta^{\nu i} \delta^\mu_i$

de modo que:

$\frac{d}{dp'^2} p'^\mu p'^ \nu \int d\vec{p} \left( p_\nu p_\mu \right)= \int d\vec p \left( p_\mu p^i \delta^\mu_i \delta^{\nu i} \delta_{i \nu } \right) = \int d\vec p \left( p_i p^i \right) = \int d\vec p p^2$

donde he usado $\delta^{\nu i} \delta_{i \nu } = 1/d$???

Mmm... Creo que te está saliendo por arte de magia un poco. Al menos tus pasos no los sigo. Quizás se le podría dar sentido a la identidad que has usado pero no la había visto antes, tendría que pensarlo un poco. No quiere decir que esté mal, simplemente no la conocía, en caso que sea correcta, que debería pensarlo.

Otra cosilla, mejor no mezcles índices latinos y griegos. Los latinos son exclusivamente para el mundo 2D y 3D, los griegos para 4D. Lo comento por si en algún momento te lo han de corregir o algo así.

[Richard R Richard]

"mejor no mezcles índices latinos y griegos"A ha!! ahora veo que no te gusta de lo que escribo.

[Weip]

Hola Richard, en tus mensajes no mezclastes índices latinos y griegos, así que no hay problema. panthera sí lo hizo y es un poco peligroso, en un examen se perderían puntos. Sí es cierto que usar todo índices latinos en 4D es una cosa que del todo convincente no es porque las convenciones son otras, pero estrictamente está bien (aunque, de nuevo, en examenes o ejercicios mejor usar índices griegos; o la convención que haya en clase, en todo caso).

[panthera]

Muchas gracias por tu ayuda, Weip. No sé si ayuda, pero estoy intentando seguir un TFG sobre la ecuación de Dirac, y tiene explícitamente escrito esto en un paso:

$\int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)(f(p+p')+f(p-p')) = \int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)p'^\mu p'^\nu \partial_\mu \partial_\mu f(p) = -\frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int dp \partial_\mu f(p) \partial_\nu f(p) =$
$= - \frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int 4p_\mu p_\nu \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2 = \frac{-4}{d}\int dp p^2 \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2$

donde el primer paso es una expansión de Taylor a segundo orden, el segundo es integración por partes, el tercero es simplemente regla de la cadena, y el último es donde empieza la magia para mí jaja. Yo tampoco tengo ni idea de dónde le sale el factor $1/d$ en ese último paso, no sé si tiene que ver con el espacio de Minkowski de alguna forma


PS: Gracias por el tip de no mezclar índices latinos y griegos, no tenía ni idea!

[panthera]

Muchas gracias por tu ayuda, Weip. No sé si ayuda, pero estoy intentando seguir un TFG sobre la ecuación de Dirac, y tiene explícitamente escrito esto en un paso:

$\int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)(f(p+p')+f(p-p')) = \int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)p'^\mu p'^\nu \partial_\mu \partial_\mu f(p) = -\frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int dp \partial_\mu f(p) \partial_\nu f(p) =$
$= - \frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int 4p_\mu p_\nu \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2 = \frac{-4}{d}\int dp p^2 \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2$

donde el primer paso es una expansión de Taylor a segundo orden, el segundo es integración por partes, el tercero es simplemente regla de la cadena, y el último es donde empieza la magia para mí jaja. Yo tampoco tengo ni idea de dónde le sale el factor $1/d$ en ese último paso, no sé si tiene que ver con el espacio de Minkowski de alguna forma


PS: Gracias por el tip de no mezclar índices latinos y griegos, no tenía ni idea!

Por cierto, estoy pensando en algo que a lo mejor ayuda más: más abajo en el mismo documento viene una derivación parecida para otra magnitud, pero con la diferencia de que solo se deriva hasta primer orden respecto al momento externo ($p'$), de forma que les queda algo como:

$\frac{\partial}{\partial p'} p'^\mu \int dp \left[p_\mu p \left(\frac{d}{dp^2} g(p^2) \right) \right]= \frac{1}{d} \int dp \left[ p^2 \left(\frac{d}{dp^2} g(p^2) \right) \right]$

entonces mi primera pregunta es:

1) ¿$\partial p^\mu /\partial p = \partial p^\mu/\partial p^i = \delta^\mu_i$?

2) Imagino, por comparación entre ambas derivaciones, que el término $1/d$ debe de venir del integrando (los momentos sin prima, $p$). ¿Quizá por la diferencia de definición entre $p, p^2$? ¿Es posible que $p^2 = p_\mu p^\mu /d$, o algo similar?

[Weip]

Hola panthera.

No sé si ayuda, pero estoy intentando seguir un TFG sobre la ecuación de Dirac, y tiene explícitamente escrito esto en un paso:

$\int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)(f(p+p')+f(p-p')) = \int dp \frac{d}{dp'^2}f(p)p'^\mu p'^\nu \partial_\mu \partial_\mu f(p) = -\frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int dp \partial_\mu f(p) \partial_\nu f(p) =$
$= - \frac{d}{dp'^2}p'^\mu p'^\nu \int 4p_\mu p_\nu \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2 = \frac{-4}{d}\int dp p^2 \left(\frac{d}{dp^2} \tilde{f}(p^2) \right)^2$

Si es un TFG y es público, iría bien un link para mirarlo mejor. Si $f$ es una función cualquiera entonces nada, pero si está relacionada con los espinores, podría sospechar porque es más fácil obtener factores como $1/d$ al elevar al cuadrado por ejemplo.

$\frac{\partial}{\partial p'} p'^\mu \int dp \left[p_\mu p \left(\frac{d}{dp^2} g(p^2) \right) \right]= \frac{1}{d} \int dp \left[ p^2 \left(\frac{d}{dp^2} g(p^2) \right) \right]$

Me ha pasado lo mismo, consigo derivar la identidad, pero sin el $1/d$.

entonces mi primera pregunta es:

1) ¿$\partial p^\mu /\partial p = \partial p^\mu/\partial p^i = \delta^\mu_i$?

$p$ es el módulo del momento, así que las derivadas no son iguales. Para calcular $dp'^{\mu}/dp'$, hay que volver a hacer un procedimiento parecido al de mi anterior intervención:

$dp'=\dst\frac{dp'}{dp'^{\mu}}dp'^{\mu}$

Ahora calcula la derivada usando $p'=\sqrt{p_{\alpha}p^{\alpha}}$ y despejando como antes llegarás a:

$\dst\frac{dp'^{\mu}}{dp'}=\frac{p'^{\mu}}{p'}$

Entiendo que la derivada debería estar evaluada en $p'=p$, de ahí sale la identidad cancelando las $p$ (si no se evalua en ese punto es imposible obtener esa igualdad porque las $p'$ no se hablan con las $p$).

2) Imagino, por comparación entre ambas derivaciones, que el término $1/d$ debe de venir del integrando (los momentos sin prima, $p$). ¿Quizá por la diferencia de definición entre $p, p^2$? ¿Es posible que $p^2 = p_\mu p^\mu /d$, o algo similar?

Sería una convención poco usual creo. En caso de ser así el texto debería aclararlo en alguna parte. Siendo $1/d$ una constante es cierto que podría estar en la definición de algun elemento, cualquiera podría ser. Eso o se nos escapa algo.

[panthera]

Si es un TFG y es público, iría bien un link para mirarlo mejor. Si $f$ es una función cualquiera entonces nada, pero si está relacionada con los espinores, podría sospechar porque es más fácil obtener factores como $1/d$ al elevar al cuadrado por ejemplo

Sí, claro. Este es el link, y la derivación está en la página 35: https://www.db-thueringen.de/servlet...echnberger.pdf


Por si ayuda: el contexto de todo este capítulo es derivar las flow equations de diferentes parámetros, y en este caso es con las dimensiones anómalas (las "constantes de normalización" de los campos bosónicos, $\phi(p)$, o fermiónicos, $\psi(p)$ -que en este caso es un spinor-). Así, construyes la acción efectiva, $\Gamma_k$ para cada shell de momento ($k$), y aislas la magnitud que quieres estudiar (en este caso, las dimensiones anómalas) mediante las "reglas de proyección. Por ejemplo:

si: $\Gamma_k \propto Z_{\phi k} \phi(p)p^2\phi(-p) \to Z_{\phi k} \propto \frac{\partial}{\partial (p'^2)} \frac{\delta}{\delta \phi(p')} \frac{\delta}{\delta \phi(q')} \Gamma_k$

Sería una convención poco usual creo. En caso de ser así el texto debería aclararlo en alguna parte. Siendo $1/d$ una constante es cierto que podría estar en la definición de algun elemento, cualquiera podría ser. Eso o se nos escapa algo.

Las funciones $f(p)$ es cierto que son propagadores fermiónicos o bosónicos, pero en ese paso no modifica nada con ellos, solo con el momento $p$. Me tiene perdidísimo

[panthera]

Por cierto, sobre esto:

$p$ es el módulo del momento, así que las derivadas no son iguales. Para calcular $dp'^{\mu}/dp'$, hay que volver a hacer un procedimiento parecido al de mi anterior intervención:

$dp'=\dst\frac{dp'}{dp'^{\mu}}dp'^{\mu}$

Ahora calcula la derivada usando $p'=\sqrt{p_{\alpha}p^{\alpha}}$ y despejando como antes llegarás a:

$\dst\frac{dp'^{\mu}}{dp'}=\frac{p'^{\mu}}{p'}$

Entiendo que la derivada debería estar evaluada en $p'=p$, de ahí sale la identidad cancelando las $p$ (si no se evalua en ese punto es imposible obtener esa igualdad porque las $p'$ no se hablan con las $p$)

He llegado ahora a la misma expresión, pero una vez que lo tengo dentro de la integral, no sé cómo seguir para quitármelos de encima:

$\frac{\partial p'^\mu}{\partial p'} \int dp p_\mu p [...] = \int dp \left(\frac{p'^\mu}{p'} p_\mu p [...] \right)$

[Weip]

Hola panthera. Estos días no podré tener mucho tiempo más para dedicarle al tema pero quería comentar que, quizás, el $1/d$ sale de alguna manera del paso $dp'_{\alpha}/dp'_{\alpha}$. La cuestión está en que, en general:

$\dst\frac{dp'_{\alpha}}{dp'_{\beta}}=g^{\beta}_{\alpha}$

Por tanto:

$\dst\frac{dp'_{\alpha}}{dp'_{\alpha}}=g^{\alpha}_{\alpha}=d$

Por supuesto, esto no soluciona nada: al final queda $d$ multiplicando, y no dividiendo. Pero lo comento porque este paso lo hice por descuido pensando que $dp'_{\alpha}/dp'_{\alpha}=1$ y es cierto que ahí habría que ir con cuidado y pensar si, de alguna manera, el $1/d$ sale de ahí o tiene algún tipo de relación. Como digo no podré dedicarme a pensarlo pero por eso quería dejarlo por aquí.

He llegado ahora a la misma expresión, pero una vez que lo tengo dentro de la integral, no sé cómo seguir para quitármelos de encima:

$\frac{\partial p'^\mu}{\partial p'} \int dp p_\mu p [...] = \int dp \left(\frac{p'^\mu}{p'} p_\mu p [...] \right)$

Asumí que la derivada estaba evaluada en $p=p'$. Por supuesto, es una suposición, y por supuesto, el paso de pasarlo dentro de la integral no es correcto, pero es la única manera que de el resultado; porque las $p'$ y las $p$ no se hablan.

También todo esto podría tratarse de algún error; es improbable pero lo comento porque hace no mucho un compañero de la universidad le pasaba algo parecido que estaba siguiendo un TFG de otra persona, y se encalló en un razonamiento que acabó siendo erróneo. Lo comento solo por si acaso, a veces estas cosas pasan porque los TFGs no son textos demasiado controlados. De hecho entero entero es probable que nunca nadie lo haya leído, más allá del autor. Bueno, dejo de divagar, si lo acabas sacando coméntalo por aquí, intentaré pasarme por el hilo igualmente.

[panthera]

Hola, Weip. No te preocupes, muchas gracias por todo tu tiempo. Creo que he obtenido lo correcto, pero tengo dudas en los pasos que he seguido (ya sabes que los físicos tendemos a pasar diferenciales multiplicando como si nada! jaja). Podrías ayudarme a ver si son correctos?


1. Gradiente de una función en notación tensorial:
He asumido para la expansión de Taylor que $G(p \pm p') = G(p) \pm \partial_r G(p) p'^r + \frac{1}{2} \partial_i \partial_j G(p) p'^i p'^j$, siendo $\partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial p^x}$


2. Métrica de Minkowski y la dimensión. Sobre cómo obtener el factor $d$: arbitrariamente en un mensaje anterior había usado que $\eta_{ij} \eta^{ji} = d, \eta^{ij}\eta_{ji} = \frac{1}{d}$. He intentado llegar a este resultado, aunque imagino que la rigurosidad por el camino es más que dudosa, pero bueno. Para ello, por un lado:

$\frac{\partial p^i}{\partial p_a} = \left\lbrace\begin{array}{c} \frac{\partial (p_j \eta^{ji})}{\partial p_a} = \eta^{ia} \\ \frac{\partial p^i }{\partial (\eta_{aj} p^j} = \frac{\eta^i_j}{\eta_{aj}} \end{array}\right.$

de donde: $\eta^{ia} = \frac{\eta^i_j}{\eta_{aj}}$ (imagino que esto lo cumplen solo métricas constantes).

Y por el otro lado:

$\frac{\partial p_i}{\partial p^a} = \left\lbrace\begin{array}{c} \frac{\partial (p^r \eta_{ri})}{\partial p^a} = \eta_{ia} \\ \frac{\partial p_i }{\partial (\eta^{ar} p_r} = \frac{\eta^r_i}{\eta^{ar}} \end{array}\right.$

de donde: $\eta_{ia} = \frac{\eta^r_i}{\eta^{ar}}$

So that: $\eta^{ai} \eta_{ia} = \left(\frac{\eta^i_j}{\eta_{aj}} \right) \left(\frac{\eta^r_i}{\eta^{ar}} \right) = \frac{1}{\eta_{aj} \eta^{aj}} = \frac{1}{d}$




3. Primer desarrollo. Asumiendo que el resultado anterior es correcto, en este caso, tendría:

$\eta^{ab}\frac{\partial p'^i}{\partial p'^a} \int dp p_b \partial_i G(p) = \eta^{ab}\eta^i_a \int dp p_b 2p_i\left( \frac{\partial \tilde{G}(p^2)}{\partial p^2}\right) = 2\eta^{ib}\int dp \eta_{bi}p_bp^b \left( \frac{\partial \tilde{G}(p^2)}{\partial p^2}\right) = \frac{2}{d} \int dp p^2 \left( \frac{\partial \tilde{G}(p^2)}{\partial p^2}\right)$

donde en el segundo paso he usado la regla de la cadena: $\partial_i G(p) = \frac{\partial \tilde{G}(p^2)}{\partial p^2} \frac{\partial p^2}{\partial p^i}$; y en el último paso, que $\eta^{ib} \eta_{bi} = 1/d$.




4. Segundo desarrollo. El otro caso creo que lo he sacado sin tomar este resultado (2) anterior, así que supongo que es más fiable jaja. Teníamos:

$\frac{\partial}{\partial p'^2} p'^\mu p'^\nu \int dp p_\mu p_\nu =$$\frac{1}{2} \left( \frac{p'^\nu}{\eta_{j\mu} p'^j} + \frac{p'^\mu}{\eta_{j\nu} p'^j} \right) \int dp p_\mu p_\nu$$= \left(\frac{\eta^\nu_j}{2\eta_{j\mu}} + \frac{\eta^\mu_j}{2\eta_{j\nu}} \right) \int dp p_\mu p_\nu$

donde he usado que: $\partial p'^\mu/\partial p'^2 = 1/(2p'_{\mu})$ y, aunque creo que no es correcto, que $p'^{\nu} / p'^\mu = \eta^\nu_\mu$ (sin los diferenciales). Y ahora multiplicando y dividiendo por $\eta^{\mu \nu}$:

$\frac{\partial}{\partial p'^2} p'^\mu p'^\nu \int dp p_\mu p_\nu$$=\frac{\eta^{\nu \mu}}{2} \left( \frac{1}{ \eta_{\mu \nu} \eta^{\nu \mu}} + \frac{1}{\eta_{\mu \nu} \eta^{\nu \mu}} \right) \int dp p_\mu p_\nu$$= \frac{\eta^{\nu \mu}}{\cancel{2}} \left(\frac{\cancel{2}}{d} \right)\int dp p_\mu p_\nu$$=\frac{1}{d} \int dp p_\mu p^\mu = \frac{1}{d} \int dp p^2$

Entiendo que hay cierta arbitrariedad en este paso, porque bien podía haber multiplicado en la otra dirección, y de vuelta a empezar... (me refiero: $\frac{\eta^{\nu \mu}}{2} \left( \frac{1}{ \eta^{\nu \mu} \eta_{\mu \nu}} + \frac{1}{\eta^{\nu \mu} \eta_{\mu \nu}} \right)$).

[panthera]

¿Alguna idea alguien?