1r ciclo Duda Derivada de Lie sobre un campo vectorial

[Alofre]

Buenos días,

estaba estudiando la derivada de Lie$\mathcal{L}_X Y$ de un campo vectorial a través del flujo $\sigma$ generado por el campo vectorial X
$\mathcal{L}_X Y \equiv \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{(\sigma_{-\varepsilon})_* Y|_{x'} - Y|_x}{\varepsilon}$
En particular quería demostrar que
$\mathcal{L}_X Y=[X, Y]$
Para ello partiendo de la notación del Nahakara se analiza el campo Y en dos puntos $x$ y $x'=\sigma_\varepsilon (x)=x^\mu + \varepsilon X^\mu$. Está claro que:
$\begin{aligned}<br /> \left.Y\right|_{\sigma_{\varepsilon}(x)} & =\left.Y^\mu\left(x^\nu+\varepsilon X^\nu(x)\right) e_\mu\right|_{x+\varepsilon X} \\<br /> & \left.\simeq\left[Y^\mu(x)+\varepsilon X^\mu(x) \partial_\nu Y^\mu(x)\right] e_\mu\right|_{x+\varepsilon X}<br /> \end{aligned}$
Vale ahora el libro comenta que esto está expresado en el espacio tangente de $x'$, lo que es lógico porque $e_\mu|_{x+\varepsilon X}$ es una base de dicho espacio. Pero luego hace esto:
$\begin{aligned}<br /> & {\left.\left[Y^\mu(x)+\varepsilon X^\lambda(x) \partial_\lambda Y^\mu(x)\right] \partial_\mu\left[x^\nu-\varepsilon X^v(x)\right] e_\nu\right|_x} \\<br /> & \quad=\left.\left[Y^\mu(x)+\varepsilon X^\lambda(x) \partial_\lambda Y^\mu(x)\right]\left[\delta_\mu^\nu-\varepsilon \partial_\mu X^v(x)\right] e_\nu\right|_x \\<br /> & \quad=\left.Y^\mu(x) e_\mu\right|_x+\left.\varepsilon\left[X^\mu(x) \partial_\mu Y^v(x)-Y^\mu(x) \partial_\mu X^v(x)\right] e_\nu\right|_x+O\left(\varepsilon^2\right) .<br /> \end{aligned}$
Yo entiendo que la idea es transformar los vectores de la base $e_\mu|_{x+\varepsilon X}$ (que son $\partial_i|_{x'}$) en vectores $\partial_i|_{x}$ que ya son base del espacio tangente en x. Ahora, si lo que está haciendo es la mítica transformación entre vectores de la base n $e'_i = \frac{\partial x'^j}{\partial x^i} e_j$ no veo de donde sale el signo - porque $x'=x+\varepsilon X$.

Agradecería si alguien me podría arrojarme algo de luz en este problema .

Un saludo.

[Weip]

Hola Alofre.

Yo entiendo que la idea es transformar los vectores de la base $e_\mu|_{x+\varepsilon X}$ (que son $\partial_i|_{x'}$) en vectores $\partial_i|_{x}$ que ya son base del espacio tangente en x. Ahora, si lo que está haciendo es la mítica transformación entre vectores de la base n $e'_i = \frac{\partial x'^j}{\partial x^i} e_j$ no veo de donde sale el signo - porque $x'=x+\varepsilon X$.

Bien bien no es un cambio de base porque al final la base son derivadas respecto a $x$ solamente. Lo que está haciendo es calcular $(\sigma_{-\epsilon})_*Y|_{\sigma_{\epsilon}(x)}$ para luego comparar con $Y|_x$, tal como indica la definición de la derivada de Lie $\mathcal{L}_X Y$:

$\mathcal{L}_X Y=\dst\lim_{\epsilon\to 0}\dst\frac{(\sigma_{-\epsilon})_*Y|_{\sigma_{\epsilon}(x)}-Y|_x}{\epsilon}$

Para el desarrollo es mejor desgranar bien qué significa la expresión $(\sigma_{-\epsilon})_*Y|_{\sigma_{\epsilon}(x)}$.

Por un lado, $\sigma_{-\epsilon}$ es la inversa de $\sigma_{\epsilon}$ en el sentido que $\sigma_{-\epsilon}(\sigma_{\epsilon}(x))=x$. Como $\sigma_{\epsilon}(x)=x+\epsilon X(x)$, la inversa vendrá dada por $\sigma_{-\epsilon}(x)=x-\epsilon X(x)$. Para llegar aquí hemos despejado $x$ y hemos intercambiado lo papeles de la variable dependiente e independiente, tal como pasaría si intentamos encontrar la inversa de una función real $y=f(x)$.

Por otro lado, el asterisco de $(\sigma_{-\epsilon})_*$ significa que es un pushforward, o en otras palabras, la aplicación diferencial. Usando la definición:

$(\sigma_{-\epsilon})_*Y|_{\sigma_{\epsilon}(x)}=Y^{\mu}(\sigma_{\epsilon}(x))\dst\frac{\partial\sigma^{\nu}_{-\epsilon}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$

Derivando $\sigma_{-\epsilon}(x)=x-\epsilon X(x)$ se llega al resultado del libro, $\delta^{\nu}_{\mu}-\epsilon\partial_{\mu}X^{\nu}$.

Espero haber ayudado.

[Alofre]

Hola,

¡¡perfectamente claro, muchas gracias!!