Otras carreras Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

[aly1nf0rm4tiCa]

Buenas!, aquí os dejo un ejercicio en el que estoy fallando en unas cuantas cosas seguro, ya que me dan la solución final y no llego a ella...si alguien me pudiera corregir o guiarme un poco estaría genial. Este es:<br>**Descomponer un vector&nbsp;<strong>a = </strong>3<strong>i</strong> + 2<strong>j</strong> -&nbsp;<strong>k &nbsp;</strong>en dos componentes perpendiculares, de
forma que una de las componentes lleve la dirección de la recta [x=2z , 3-4y=z]<br><br>Estos son los pasos que creo hay que seguir, y la parte hasta donde llegué....<br><br><span style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);">1º) Averiguo la dirección de la recta. &nbsp;</span><img class="pod_vlatex_inline" src="http://forum.lawebdefisica.com/vlatex/pics/89_b849b52aeb56809781c22a82563831bb.png" alt="\dst \left\{ x=2z, 3-4y=z, z=z \right\} \to \left\{ x=2z, y=\frac{3-z}{4}, z=z \right\} " title="Haz doble click para mostrar el código" style="border: 0px; max-width: 100%; margin: 0px; padding: 0px; color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250); vertical-align: -9.53pt;"><br style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);"><br style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);"><span style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);">De tal forma que su dirección es aquella cuyos componentes son los coeficientes que acompañan a cada variable:&nbsp;</span><b style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);">d=2<b>i-0.25<b>j+<b>k<br><br></b></b></b></b><strong>2º</strong>) Hacerlo unitario (duda: ¿hacer unitario el vector <strong>a </strong>o <strong>d</strong>?...pienso que es el <strong>a</strong>, así que voy con ello)<br>\hat{a}=\frac{<strong>a</strong>}{a }<br>(a) Módulo de a= raíz cuadrada del la suma de todas las componentes al cuadrado<br>a=\sqrt{14}<br>Con lo que obtendríamos:&nbsp;\hat{a} =&nbsp;\frac{3}{ \sqrt{14}}\hat{\imath} +&nbsp;\frac{2}{\sqrt{14} }\hat{\jmath} -&nbsp;\frac{1}{ \sqrt{14}}\hat{k}<br>Y quitando la raiz cuadrado del denominador quedaría finalmente así:<br>\hat{a}=&nbsp;\frac{3\sqrt{14}}{ 14}\hat{\imath} +&nbsp;\frac{2\sqrt{14}}{ 14}\hat{\jmath} -&nbsp;\frac{\sqrt{14}}{14 }<br><br><strong>3º</strong>) Producto escalar del vector con&nbsp;<strong>d</strong>. Ahí tenemos una componente. <em>(duda:¿qué vector?...el unitario de a o el vector a?)</em><br><br><br><strong>4º</strong>) Producto vectorial de&nbsp;<strong>d</strong>&nbsp;con el vector; conseguimos así la dirección perpendicular a&nbsp;<strong>d</strong><br><br><strong>5º</strong>) Hacer unitario el vector resultante del paso cuarto.<br><br><strong>6º</strong>) Producto escalar de tu vector con el vector resultante del paso quinto. Ahí tenemos la otra componente.<br><br><b style="color: rgb(51, 51, 51); background-color: rgb(250, 250, 250);"><b><b><b><br></b></b></b></b>Las solución al problema es:<br><br>1ª componente:&nbsp;<strong>b</strong> =&nbsp;\frac{16}{ 9}\hat{\imath} -&nbsp;\frac{2}{9 }\hat{\jmath} +&nbsp;\frac{8}{9 }\hat{k}<br>2ª componente:&nbsp;<strong>c&nbsp;</strong>=&nbsp;\frac{11}{9 }\hat{\imath} +&nbsp;\frac{20}{9 }\hat{\jmath} -&nbsp;\frac{17}{9 }\hat{k}<br><br>Gracias de antemano<br>Un saludo!

P.D.: Si no se entiende mi mensaje avisadme please (y así puedo solventar el error), pues lo previsualizo y lo veo como código fuente

[angel relativamente]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

No se entiende nada no, ¿has hecho algún copia y pega con formato? Las fórmulas de LaTeX en este foro se meten entre las etiquetas [TEX][/TEX]
Saludos,

[pod]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

La verdad es que no me puedo imaginar qué has hecho para acabar con eso... ¿has copiado y pegado el código html de la previsualización?

En cualquier caso, creo que tu mensaje "limpiado" debe ser algo similar a esto (los saltos de línea me los he inventado un poco, y no he aplicado los cambios de color):

Buenas!, aquí os dejo un ejercicio en el que estoy fallando en unas cuantas cosas seguro, ya que me dan la solución final y no llego a ella...si alguien me pudiera corregir o guiarme un poco estaría genial. Este es:

Descomponer un vector a = 3i + 2j - k en dos componentes perpendiculares, de forma que una de las componentes lleve la dirección de la recta [x=2z , 3-4y=z]

Estos son los pasos que creo hay que seguir, y la parte hasta donde llegué....

1º) Averiguo la dirección de la recta.

$$\left\{ x=2z, 3-4y=z, z=z \right\} \to \left\{ x=2z, y=\frac{3-z}{4}, z=z \right\}$$

De tal forma que su dirección es aquella cuyos componentes son los coeficientes que acompañan a cada variable: $d=2i-0.25j+k$

2º) Hacerlo unitario (duda: ¿hacer unitario el vector a o d?...pienso que es el a, así que voy con ello)

$\hat{a}=\frac{a}{a }(a)$

Módulo de a= raíz cuadrada del la suma de todas las componentes al cuadrado $a=\sqrt{14}$

Con lo que obtendríamos:

$$\hat{a} = \frac{3}{ \sqrt{14}}\hat{\imath} + \frac{2}{\sqrt{14} }\hat{\jmath} - \frac{1}{ \sqrt{14}}\hat{k}$$

Y quitando la raiz cuadrado del denominador quedaría finalmente así:

$$\hat{a}= \frac{3\sqrt{14}}{ 14}\hat{\imath} + \frac{2\sqrt{14}}{ 14}\hat{\jmath} - \frac{\sqrt{14}}{14 }$$

3º) Producto escalar del vector con d. Ahí tenemos una componente. (duda:¿qué vector?...el unitario de a o el vector a?)

4º) Producto vectorial de d con el vector; conseguimos así la dirección perpendicular a d

5º) Hacer unitario el vector resultante del paso cuarto.

6º) Producto escalar de tu vector con el vector resultante del paso quinto. Ahí tenemos la otra componente.Las solución al problema es:

1ª componente:

$$b = \frac{16}{ 9}\hat{\imath} - \frac{2}{9 }\hat{\jmath} + \frac{8}{9 }\hat{k}$$

2ª componente:

$$c = \frac{11}{9 }\hat{\imath} + \frac{20}{9 }\hat{\jmath} - \frac{17}{9 }\hat{k}$$

Gracias de antemano
Un saludo!

P.D.: Si no se entiende mi mensaje avisadme please (y así puedo solventar el error), pues lo previsualizo y lo veo como código fuente

¿Es esto lo que querías publicar? Si es así, supongo que ahora será más fácil que recibas ayuda.

[aly1nf0rm4tiCa]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Siiii, fue eso lo que pasó y además no copié y pegué el código html de la previsualización (cosas de novata jaja)
Muchas gracias por el apunte, me ayudará para un futuro...el mensaje que quería mandar es el que ha puesto Pod en su post
Saludos

- - - Actualizado - - -

Eso era lo que quería publicar, perfectamente compilado
Graciassss por haberte tomado la molestia de haberle puesto las etiquetas, pensaba que se insertaba el código latex automaticamente...
Saludos

[pod]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Siiii, fue eso lo que pasó y además no copié y pegué el código html de la previsualización (cosas de novata jaja)
Muchas gracias por el apunte, me ayudará para un futuro...el mensaje que quería mandar es el que ha puesto Pod en su post
Saludos

- - - Actualizado - - -

Eso era lo que quería publicar, perfectamente compilado
Graciassss por haberte tomado la molestia de haberle puesto las etiquetas, pensaba que se insertaba el código latex automaticamente...
Saludos

Bueno, ¿por qué no empezamos por el final? Queremos descomponer el vector $\vec a$ en dos componentes perpendiculares entre si, que tú has llamado $\vec b$ y $\vec c$. Eso quiere decir que se tiene que cumplir que $\vec a = \vec b + \vec c$ (y también que $\vec c \cdot \vec b = 0$). Con la solución que has dado, ¿se cumplen estas condiciones?

[aly1nf0rm4tiCa]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Suma:
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}=\frac{27}{ 9}\hat{\imath}+\frac{18}{ 9}\hat{\jmath}-\frac{9}{9 }\hat{k}$
$3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}=3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}$

Producto escalar:
$\frac{16}{9 }*\frac{11}{9 }-\frac{20}{ 9}*\frac{2}{9 }-\frac{17}{ 9}*\frac{8}{9 }=0$
$\frac{176}{ 81}-\frac{40}{ 81}-\frac{136}{81 }=0$

Sí, se cumplen ambas condiciones

[pod]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Suma:
$\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}$
$3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}=\frac{27}{ 9}\hat{\imath}+\frac{18}{ 9}\hat{\jmath}-\frac{9}{9 }\hat{k}$
$3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}=3\hat{\imath}+2\hat{\jmath}-\hat{k}$

Producto escalar:
$\frac{16}{9 }*\frac{11}{9 }-\frac{20}{ 9}*\frac{2}{9 }-\frac{17}{ 9}*\frac{8}{9 }=0$
$\frac{176}{ 9}-\frac{40}{ 9}-\frac{136}{9 }=0$

Sí, se cumplen ambas condiciones

¡Bien!

La otra condición es que uno de ellos (el $\vec b$) sea paralelo a la recta. Será paralelo si existe una constante $k$ tal que todas las coordenadas de $\vec b$ sea igual a k por la coordenada correspondiente del vector de la recta (que tu has llamado $\vec d$, creo). ¿Existe esa constante?

Alternativamente, puedes comprobar que son paralelos si el productor vectorial es cero, $\vec b \times \vec c = 0$. ¿Lo es?

[aly1nf0rm4tiCa]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Si multiplicamos las coordenadas correspondientes a $\vec{d}=2\hat{\imath}-\frac{1}{ 4}\hat{\jmath}+\hat{k}$ por K=$\frac{8}{ 9}$, obtenemos $\vec{b}=\frac{16}{ 9}\hat{\imath}-\frac{2}{ 9}\hat{\jmath}+\frac{8}{ 9}\hat{k}$, entonces efectivamente existe esa constante K

Para comprobar si son paralelos hice $\vec{b}\times\vec{c}$ como me dijiste y me volví un poco loca porque hice tres veces Sarrus y no me daba cero...pero ya pensándolo un poco creo que querías poner $\vec{b}\times\vec{d}$, que sí me da cero...por lo tanto $\vec{b}$ es paralelo al vector de la recta $\vec{d}$

[pod]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Si multiplicamos las coordenadas correspondientes a $\vec{d}=2\hat{\imath}-\frac{1}{ 4}\hat{\jmath}+\hat{k}$ por K=$\frac{8}{ 9}$, obtenemos $\vec{b}=\frac{16}{ 9}\hat{\imath}-\frac{2}{ 9}\hat{\jmath}+\frac{8}{ 9}\hat{k}$, entonces efectivamente existe esa constante K

Para comprobar si son paralelos hice $\vec{b}\times\vec{c}$ como me dijiste y me volví un poco loca porque hice tres veces Sarrus y no me daba cero...pero ya pensándolo un poco creo que querías poner $\vec{b}\times\vec{d}$, que sí me da cero...por lo tanto $\vec{b}$ es paralelo al vector de la recta $\vec{d}$

Entonces, ¡acabas de demostrar que tu resultado es correcto! Felicidades.

El procedimiento que sigues es esencialmente correcto. Depende de gustos, quizá se podría hacer otro procedimiento más directo. Si quieres ver otra versión del procedimiento, podemos proceder así de la siguiente manera.

En primer lugar, obtenemos el vector director igual que has hecho tú. El resultado es (como tú ya obtienes), $\vec d = (2,\ -1/4,\ 1)$. Tenemos también la versión unitaria de este vector, que llamaremos $\hat d = \vec d / d$ (no lo calculo todavía, yo soy de la escuela de substituir los números al final).

Seguimos construyendo directamente el vector que será longitudinal a la recta. Para seguir tu notación, lo llamaré $\vec b$. Por definición de paralelo, debe cumplirse que $\vec b = \alpha \hat d$. Ese $\alpha$ es el módulo del vector buscado, y por las propiedades del producto escalar sabemos que debe ser igual a $\alpha = \vec a \cdot \hat d$. Depende de lo familiarizada que estés con las propiedades del producto escalar, esto puede resultar más o menos obvio. Si resulta poco obvio, entonces puedes justificarlo mediante trigonometría, haciendo el dibujito de los vectores y recordando que el producto escalar se define con el coseno (multiplicado por los módulos de los vectores). Esta es una operación que a menudo se llama "proyección". Aquí es importante que el vector director es unitario. En resumen,

$$\vec b = (\vec a \cdot \hat d) \hat d = \frac{\vec a \cdot \vec d}{d^2} \vec d.$$

Si lo comparas con tu mensaje anterior, verás que esa combinación del producto escalar dividido por el módulo al cuadrado no es, ni más ni menos, que el factor K (sólo que ahora lo hemos encontrado por construcción, en vez de buscar el factor para comprobar el resultado). Te dará lo mismo.

Para acabar el problema, simplemente haz una resta:

$$\vec c = \vec a - \vec b$$

Es fácil demostrar que $\vec b$ y $\vec c$ son siempre perpendiculares. Es una de las propiedades de la proyección.

Si sigues este procedimiento re-obtendrás los mismos resultados, aunque de una forma quizá un pelín más directa. En la práctica, utiliza el método con el que te encuentres más cómoda.

[aly1nf0rm4tiCa]

Re: Dudas en un ejercicios de álgebra vectorial

Me lo has dejado super claro, voy a practicar yo sola con otros ejercicios similares para dejarlo aprendido
Si me va surgiendo alguna duda del tema te voy comentando
Muchísimas gracias por hacer el esfuerzo de que lo entienda...y sobretodo porque lograr que lo haya entendido!