Calculo de la curvatura y la torsión de una función helicoidal

[inakigarber]

Buenas noches;

Se me ha planteado el siguiente problema que no se muy bien cómo resolverlo.

Calcular la curvatura y la torsión de la siguiente curva helicoidal.

x=5 cos(t), y=5 sen(t) z=t

Las soluciones que da son; Curvatura=0.5 , torsión=2,5

Para calcular la curvatura (c) parto de que $c=1/R$
Dado que $R^2=x^2+y^2$, me sale R=5 y curvatura=1/5=0,2, por lo que supongo que la solución dada para la curvatura esta mal, pero en el tema de la torsión, soy nuevo en la geometría diferencial, y no tengo una forma clara de como resolverlo. Por lo que entiendo al referirse a la torsión nos indica cuanto se sale una función del plano euclídeo. Una torsión=0 indicaría que la curva no se sale del plano, por ejemplo una esfera, en este caso es una curva helicoidal que se sale del plano, por lo que la torsión no será cero, pero no se como calcularla.

¿cómo debería haberlo?

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, pásate por https://es.wikipedia.org/wiki/Geomet...y_torsi%C3%B3n

y la seguimos-

tu primer calculo lo veo bien.

Saludos

[Alriga]

En general, para una curva en coordenadas cartesianas parametrizada por el parámetro $t$ las expresiones de la curvatura y la torsión son:

$\kappa (t)= \dfrac{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \right \|}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|^3}$

$\tau (t) =-\dfrac{\left (\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \right) \cdot \mathbf{r}'''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|^2}$

En este caso:

$\mathbf{r} (t) = 5 \cos t \, \hat i + 5 \sin t \, \hat j + t \, \hat k$

Derivando:

$\mathbf{r}'(t) = -5 \sin t \, \hat i + 5 \cos t \, \hat j + 1 \, \hat k$

$\mathbf{r}''(t) = -5 \cos t \, \hat i - 5 \sin t \, \hat j + 0 \, \hat k$

$\mathbf{r}'''(t) = 5 \sin t \, \hat i - 5 \cos t \, \hat j + 0 \, \hat k$

Ahora hay que hacer los productos vectoriales, los productos escalares y los módulos que requieren las expresiones de la curvatura y la torsión.

Si no me equivoco se obtiene:

$\kappa = \dfrac{5}{26}=0.192307692\dots$

$\tau = \dfrac{1}{26}=0.038461538\dots$

Nota que la curvatura de esta hélice de radio 5 es 0.1923 valor ligeramente menor que la curvatura de una circunferencia de radio 5 que es 0.2

Para el mismo radio, cuanto más "estirada" es la hélice, menor es su curvatura, por ejemplo la hélice:

$\mathbf{r} (t) = 5 \cos t \, \hat i + 5 \sin t \, \hat j + 5 t \, \hat k$

Tiene curvatura 0.1 y torsión 0.1

Saludos.

[inakigarber]

Gracias a los dos

El valor de la curvatura $\kappa$ si me coincide, pero el valor de $\tau$ se me resiste.

Saludos.
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Ambos valores me coinciden perfectamente.