1r ciclo Duda con conjuntos de generadores

[Forseti]

En el enunciado me piden demostrar que
$<S>=<S'>$
Siendo S: ${(1,2,3,4),(2,1,0,0)}$ y S': ${(1,2,0,0),(0,0,1,0)}$

Lo que intenté fue ver si todas las combinaciones lineales del primero son iguales a todas las combinaciones lineales del segundo, es decir:


$\alpha (1,2,3,4) + \beta (2,1,0,0)$

=$\gamma (1,2,0,0) + \lambda (0,0,1,0)$

De donde se obtiene que todos los parámetros son 0. Con esto es suficiente para afirmar que $<S>\not= <S'>$ ?

[Alriga]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Si en S, $\alpha (1,2,3,4) + \beta (2,1,0,0)$ haces $\alpha=1$ y $\beta=0$ por ejemplo, obtienes el vector:

$\vec v=(1,2,3,4)$

Pero en S' con $\gamma (1,2,0,0) + \lambda (0,0,1,0)=(\gamma, 2 \gamma, \lambda, 0)$ , como la 4ª componente es siempre cero, es imposible obtener $\vec v$

Luego S y S' no generan lo mismo.

Saludos.

[Forseti]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Si en S, $\alpha (1,2,3,4) + \beta (2,1,0,0)$ haces $\alpha=1$ y $\beta=0$ por ejemplo, obtienes el vector:

$\vec v=(1,2,3,4)$

Pero en S' con $\gamma (1,2,0,0) + \lambda (0,0,1,0)=(\gamma, 2 \gamma, \lambda, 0)$ , como la 4ª componente es siempre cero, es imposible obtener $\vec v$

Luego S y S' no generan lo mismo.

Saludos.

Muchas gracias por tu respuesta, ahora me queda más claro.

[The Higgs Particle]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Una pregunta, ¿el enunciado está escrito tal cual?

En el enunciado me piden demostrar que
$<S>=<S'>$
Siendo S: ${(1,2,3,4),(2,1,0,0)}$ y S': ${(1,2,0,0),(0,0,1,0)}$

Es que nunca he visto escrito "$<S>$", sino que he visto que un subespacio $S$ es la combinación lineal ($<>$) de una familia de vectores.



El caso. Como ves, la mejor forma de demostrarlo es un contraejemplo, pero creo que también de la forma en la que lo has hecho se pueden extraer algunas cosillas:
Un vector $v$, si pertenece a $S$, se puede expresar como:

$v = \alpha(1,2,3,4)+\beta(2,1,0,0)$

Si $S=S'$, entonces por supuesto también podrá expresarse en función de la base de $S'$ (... que supone, entonces, que es también base de $S$):

$v=\gamma(1,2,0,0)+\lambda(0,0,1,0)$

Como el vector es el mismo:

$\alpha(1,2,3,4) + \beta(2,1,0,0) = \gamma(1,2,0,0)+\lambda(0,0,1,0)$

Que es exactamente lo que tú has escrito.

¿Moraleja? Un espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero están relacionadas entre sí. En esto se basan los cambios de base.

[Weip]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Hola, vengo a comentar el detalle de la notación:

Es que nunca he visto escrito "$<S>$", sino que he visto que un subespacio $S$ es la combinación lineal ($<>$) de una familia de vectores.

Es una notación muy habitual para decir "el espacio vectorial generado por $S$". También lo podrás ver en otros contextos cuando se quiere decir "tal conjunto general tal cosa". Por otro lado un subespacio vectorial no puede ser combinación lineal de una família de vectores, en todo caso son los vectores los que puedes poner en combinación lineal de otros vectores. Y ya sabes que soy titismiquis pero no puedo evitarlo:

Un vector $v$, si pertenece a $S$, se puede expresar como:

$v = \alpha(1,2,3,4)+\beta(2,1,0,0)$

El vector $v$ no solo puede pertenecer a $S$ sino que en general pertenece a $<S>$. Por ejemplo, si $v=(2,4,6,8)$ entonces $v$ pertenece a $<S>$ pero no a $S$, que tiene solo dos elementos, $(1,2,3,4)$ y $(2,1,0,0)$. Como puedes ver entre los elementos de $S$ no se encuentra $(2,4,6,8)$.

Si $S=S'$, entonces por supuesto también podrá expresarse en función de la base de $S'$ (... que supone, entonces, que es también base de $S$):

Ten presente que $S$ y $S'$ son conjuntos sin más, no son espacios vectoriales. Yo supongo que quieres decir lo mismo pero involucrando $<S>$ y $<S'>$, que sí son espacios vectoriales.

Y esto es todo. Igual esto también le sirve a Forseti para aclarar conceptos. Sobre el ejercicio en sí no tengo nada que decir, ya lo habéis explicado todo. ¡Saludos!

[The Higgs Particle]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Ten presente que $S$ y $S'$ son conjuntos sin más, no son espacios vectoriales. Yo supongo que quieres decir lo mismo pero involucrando $<S>$ y $<S'>$, que sí son espacios vectoriales

Creo que ahí está la cosa, porque sí le he visto usar varias veces "$S$" y no "$<S>$" de la misma forma que yo hice en el ese post. Para mi profesor $S$ no son sólo dos elementos, sino infinitos, porque él lo define como $S =<(1,2,3,4),(2,1,0,0)>$. Supongo que son notaciones equivalentes

[Weip]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Creo que ahí está la cosa, porque sí le he visto usar varias veces "$S$" y no "$<S>$" de la misma forma que yo hice en el ese post. Para mi profesor $S$ no son sólo dos elementos, sino infinitos, porque él lo define como $S =<(1,2,3,4),(2,1,0,0)>$. Supongo que son notaciones equivalentes

Tu profesor lo escribe correctamente, pero lo que él hace no es lo mismo que lo que has escrito en tu anterior intervención, por lo que veo es solo un choque entre la notación que usáis en clase y la que usa Forseti. Tu profesor toma $S$ como el espacio que genera los dos vectores mientras que para Forseti el espacio es generado por un conjunto de vectores que, casualidades de la vida, llama $S$. Pero el $S$ de Forseti y el $S$ que usa tu profesor no son lo mismo. Y a partir de ahí has hecho una mezcla rara. En la notación de Forseti, es como si llamaras $E=<S>$. $E$ espacio vectorial, $S$ conjunto. Tu profesor lo que hace es cambiarle el nombre a $S$ y a $E$ lo llama $S$.

[The Higgs Particle]

Re: Duda con conjuntos de generadores

Tu profesor lo escribe correctamente, pero lo que él hace no es lo mismo que lo que has escrito en tu anterior intervención, por lo que veo es solo un choque entre la notación que usáis en clase y la que usa Forseti. Tu profesor toma $S$ como el espacio que genera los dos vectores mientras que para Forseti el espacio es generado por un conjunto de vectores que, casualidades de la vida, llama $S$. Pero el $S$ de Forseti y el $S$ que usa tu profesor no son lo mismo. Y a partir de ahí has hecho una mezcla rara. En la notación de Forseti, es como si llamaras $E=<S>$. $E$ espacio vectorial, $S$ conjunto. Tu profesor lo que hace es cambiarle el nombre a $S$ y a $E$ lo llama $S$

Ya he entendido lo que quieres decir. Gracias, Weip